1、專題2 導數的綜合應用刷難題1. 已知是自然對數的底數，。1求曲線在點處的切線方程；2當，時，求證：。答案1因為，所以，。      .3分所以曲線在點處的切線方程為，即。      .6分2設，則。      .8分設，則。因為，所以，。所以在內單調遞增。所以當時，即。      .10分因為，所以。所以當時，在內單調遞增。所以當，時，即。 &#

2、160;    .12分解析:此題主要考查導數的計算，導數在研究函數中的應用。1因為曲線在點處的導數即為切線的斜率，求出的導數，結合題中條件，即可求得切線方程；2令，對二次求導，結合題中所給條件“，”，即可證得結論。2. 已知函數 , 的圖象在 處的切線方程為  (1)求實數a,b的值; (2)假設存在 ,使 恒成立,求k的最大值.解:(1)f(x),f(1),根據題意得f(1)=3,又,綜上:, (2)(x),設, ,g(x), ,; 

3、;,是減函數; ,是增函數; , 又, , , 恒成立, 所以 又,所以3. 已知函數.()討論的單調性;()假設有兩個極值點,證明:.解:(1),不妨設,則關于x的方程的判別式,當時,故,函數在上單調遞減,當時,方程有兩個不相等的正根,不妨設,則當及時,當時,在,遞減,在遞增;(2)由(1)知當且僅當時有極小值 和極大值,且,是方程的兩個正根,則, , ,令,當時,在內單調遞減,故,.解析:(1)先求出函數的導數,通過討論a的范圍,確定導函數的符號,從而判斷函數的單調性;(2)表示出

4、,通過求導進行證明.4.已知函數1求fx的單調區間；2求曲線y=fx在點1，f1處的切線方程；3求證：對任意的正數a與b，恒有答案1先求出函數fx的定義域，再求出函數fx的導數和駐點，然后列表討論，求函數fx的單調區間和極值2欲求在點1，f1處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數求出在x=1處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率從而問題解決3所證不等式等價為，而，設t=x+1，則，由1結論可得，Ft在0，1單調遞減，在1，+單調遞增，從而得到證明解析1函數，由fx0x0；由fx0-1x0；fx的單調增區間0，+，單調減區間-1，02，當x=1時，y'=得切線的

5、斜率為，所以k=；所以曲線在點1，f1處的切線方程為：y-ln2+=×x-1，即x-4y+4ln2-3=0故切線方程為 x-4y+4ln2-3=03所證不等式等價為而，設t=x+1，則，由1結論可得，Ft在0，1單調遞減，在1，+單調遞增，由此Ftmin=F1=0，所以FtF1=0即，記代入得：得證5已知函數.(1)討論的單調性;(2)假設對任意恒成立,求實數a的取值范圍(e為自然常數).解:(),當時,的單調增區間為,單調減區間為;當時,的單調增區間為,單調減區間為;()令,則,假設,即,在上是增函數,無解.假設,即,在上是減函數;在上是增函數,即.,即,.假設,即,在上

6、是減函數,即,綜上所述,.解析:(1)先求導,再分類討論即可得到函數的單調性;(2)令,從而求導,再由導數的正負討論確定函數的單調性,從而求函數的最大值,從而化恒成立問題為最值問題即可.6. 已知函數  (1)討論函數 的單調性; (2)當 有極大值與極小值時,求證函數 在定義域內有唯一的零點.解:(1)根據題意得,f(x), 由f(x)=0,得,當,即,令f(x),又,可得或; 令f(x),可得, 函數的單調增區間是和,單調減區間是; 當,即時,f(x),當且僅當時,f(x)=0, 

7、函數在區間上是單調增函數; 當,即時,令f(x),又,可得或; 令f(x),可得函數的單調增區間是和,單調減區間是; 當,即時,令f(x),計算得出:,令f(x),計算得出:, 在遞減,在遞增. (2)有極大值與極小值,由(1)可以知道,或, 當時,函數的單調增區間是和,單調減區間是, 假設,無零點, 假設,則, ,有一個零點, 則當時,有唯一的零點, 當函數的單調增區間是和,單調減區間是; 假設, 有,則,則,即在內無零點,假設,則,即在有一個零點, 則當時,有唯一的零點,