1、高二數學競賽班二試講義第一講琴生不等式、哥平均不等式班級 姓名一、知識要點：1 .琴生不等式凸函數的定義：設連續函數f(x)的定義域為 a,b ,對于區間 a,b內任意兩點Xi,X2,都有 f( j)2f(Xi) f(X2)反之，若有f (-22X2),則稱f(x)為a,b上的下凸(凸)函數;f(Xi) f(X2)則稱f(x)為a,b上的上凸(凹)函數。f(Xi_Xn)nf(Xi) f(X2)琴生(Jensen)不等式(1905年提出)：若f(x)為a, b上的下凸(凸)函數，則 f (Xn)“ n邊形”的重心在圖象上)(想象n邊形的重心在圖象的上方，n個點重合時琴生(Jensen)不等式證明

2、：1) n 2時，由下凸(凸)函數性質知結論成立；2)假設n k時命題成立，即f(Xi X2 kf(Xi) f(X2)那么當n k 1時，設Ak iXiX2Xk if(Xk)f(Ai) f(k 1)21 (k 1)人2kk 1Xif(X2 kXkXk i(k 1)A iki二f(A) 2所以2kf(Akf(Xki) (k i)f(Aki)f(Xki (k 1)Aki)ki)f(Xi) f(X2)所以(k 1)f (Ak i)f(xi)f(x2)2 .加權平均琴生(Jensen)不等式：k1 f(Xi)1JJ2 kf (Xk) f(Xk i) (k 1)f(Ak i) f(Xk) f(Xki),

3、得證若f (x)為a,b上的下凸(凸)函數,i 1, i 0,則 f(iXi)i f (Xi)13 .曲線凸性的充分條件：設函數f(x)在開區間I內具有二階導數,(i)如果對任意(2)如果對任意x £I,fx I,f(X)(X)4.哥平均不等式:則曲線y=f(x)在I內是下凸的； 則y=f(x)在I內是上凸的。nX0,0, X 0,則(O-n1)一333由哥平均不等式得3 a 3 c二、例題精析例1 .設x 0 (i1,2, ,n),求證：X11 X1X21X2Xnxnxn例 2.已知 a,b, c 0 , a b例3.應用琴生(Jensen)不等式證明哥平均不等式:1)"

4、nXi 二) nnX，且 0,0 , Xi0 ,則("n例4.應用琴生(Jensen)不等式證明赫爾德(Holder )不等式：ai,bi(1 i n)是2n 個正實數， ，0,1 ,則 ai bia2b2an bn(ai a? an) (bi b2bn)三、精選習題1.在圓內接n邊形中，試證明正 n邊形的面積最大。2.設m 2是實數，則在A . B . C ABC 中，有 tan tan tan 3tan m m m 3m3.設 a 0,b 0,且 a b 1,求證：Jia2 yib2 J54 .已知函數g (x) xln x , 0 a b,證明:g(a) g(b) 2g(-aj

5、b) 05 .已知x, y, z 0,且x y z 1 ,求證:1(x1128 3彩 Z)(76 .若 x 0 ,且 Xi X2Xn 100,求證：10麻衣 后 10而7.已知 x, y, z 0,且 x y z求證：工三6 4x 1 4y 1 4z 1108 .已知x 3(1)當0 t 1時，有不等式(2)當t 1時，有不等式xtxt (x 1)t (x 2)t (x 3)t ; (x 1)t (x 2)t (x 3)，。9 .設P是ABC內一點，求證:PAB, PBC, PCA中至少有一個小于或等于 300。10 .設0 為(i 1,2, ,n),且x '匕2殳，證明:nnsin

6、xi 1 xnsin xx四、拓展提高:11 .已知 a,b,c 0,且 ab bc ca 1 ,求證：3 6b ?j 6c ?j- 6a a - b c abc高二數學競賽班二試講義第一講琴生不等式、哥平均不等式n例1 .【分析】 為1,適合應用琴生不等式i 1【解答】設函數f (x)且xf(x)則 f (x)1 x31x)2 (2 x) 3(1 x)2(12 x3，2(1 x)531x)2 3(1 x).4(1 x)34(1 x)3、X又由算術平均不小于平方平均得-一xn所以f (x)在(0,1)上下凸,所以.nx1. x2、xnXX2xn所以 1x11 x21xn【思考】構造函數，用二階

7、導數判斷函數的凸性，求導運算是關鍵。例2.【分析】兩邊取自然對數，把積化為和【解答】ln .a1 ab1bc1 c 1(1 a)ln a -(1 b)ln b -(1 c)ln c 222111因為f(x) ln x在(0,)上是上凸函數，且 一(1 a) - (1 b) - (1 c) 1 222由加權平均琴生不等式111111(1 a)ln a (1 b)ln b (1 c)ln c ln (1 a)a (1 b)b (1 c)c2222222,1 1x2,221z 2, 22(abc)1ln一(abc )ln ( abc 一)2 23331 a 1 b 1c 1所以 a b c3【思考】

8、“兩邊取自然對數，把積化為和”是處理乘積問題的常用手段nnXi iXi 2例3 .【分析】(L一)一 (L一)一 nn構造f (x) x解題nnn_nXXi _(Xi )Xii i(j)i i)nnnn【解答】 證明：0時，f(x) X為下凸函數，一1-1XiX2XnXiX2XnXX?XnXX?Xn() ()()nnnn用x代替Xi ,得證。當 0 和0時，有同樣的結論。Xi i【思考】(小一)" n例4 .【分析】變形:Wba2 d(ai a2an)(a a2 bian) (bibib2對第i項取自然對數，得In1)anan bnb5an(aia2ai a2anIn bi一)( a

9、nbnb2bnn) ib1b2bn一是加權平均琴生 bnXi 1(JJ-)兩邊同形，把Xi看成X是關鍵。n37332-1 22由哥平均不等式得3g一££一b3(Jensen)不等式的形式。【解答】證明：令A ai a2an,B bi b2bn, f(x) In x上凸,aibaibabaibIn 一 In 一 ln( 一 一),所以(一)(一) 一 一ABABABAB累加得”(*)得)i i A Bnaii iAnbi iBnn推廣：aj0,ki 0,ki i,有(akiakji ij ii,得證。nna：；) (aij)ki(a2j)k2j ij in(anj )kn j

10、 i、raija2j證明：kjnjk2In即a2jj ij ianjaijanj kn In-In(ki kn )anja janjj ij ij i【思考】好方法是在有目的的變形之后想到的。i.設圓半徑為r ,內接正n邊形的面積為S ,各邊所對圓心角分別為i, 2,S ir2(sin i sin 22sin n)sin x 0)函數f(x) sin x在區間0,上是上凸函數，(因為f (x)所以 sin sin 2晅 sin -nn1 2 , .故 S r (sin2,1 2.sin n) r nsin22 時，正n邊形的面積最大，最大值為12.2 -r nsin 2 n2.當m2時,f(x

11、),X十tan 一在區間 m0,上是下凸函數,(因為f(x)_ Xsin mx cosm11m 2 x cos 一m(x)x 2sin m所以tan3.所以mf(x)1 xf(a) f(b)2tan一 m4. g (x) ln x所以 g(a) g(b)5.令g設 f (x)f (x)23 XI cos 一 mC0) C tan 3tanm的圖象是等軸雙曲線a bF11,g (x)a2g(-,1、，1(2X)(2x b 2T) y)(N z1,ln( x),則xf (x)1fq32.X 1的上支,所以,1 a23tan 3m在區間R上是下凸函數,1 b250,所以g(x) xln x在(0,)

12、上是下凸函數z)，則 ln g111ln( x) ln( y) ln( z)6 x "(X10x3 2x3x3 2-4，x x(5.27川x)2(x4X3 (5 ,27)020X)-1,一 所以f (x) ln( x)在(0,1)上是下凸函數，于 x是，由琴生不等式得,1 、一 1 、一 1、ln g ln( x) ln( y) ln( z)x28 3 g噂)-_ 23ln(3286.由y JX為上凸函數，有 7“ 灰1283)lnX)X1X2nxn107所以Xi. x2(X , X2XiX2xn所以.X1、x2故 10X1x2.Xn, Xn)2100,Xn10. nXi X210x

13、n 10 . n7令 f(x) 4TT 2f (x)Xn 2(, X1X2, XX34xx(4x 1)224(x a)(x b)，2(X)3，.x(4x 1)其中，0 x2 3 3 /一2.3 3 八a - 1 , b - 01212故可知f (x)口 c 1，口，r -0, f(x)是0,-上是上凸函數由琴生不等式8.設 f (x)當0f (x)所以&、y 33 f(1) 3.64x 1 4y 1 4z 1(6)70tt 1,t 2x ,則 f (x) tx , f (x) t(t 1)xt 1時，f(x 2)-t 2f (x) t(t 1)x0, f (x)在(0,)上是上凸函數,

14、2所以 f (x) f (x 1)遞推得f (x 1) f (xf(f (x2)x x 221) f (x f(x 2)f (x 1)(因為2)f(x 3),從而有 f (x) f (x 1) f(x 2) f (x 3),故- , 、一 t 2 一(2)當 t 1 時，f (x) t(t 1)x0 ,類似(1)可證(x1)t9.如圖,引進(x 2)t (xPBsinf(x)PA所以sinsinsinsinsin sin設 f (x)In sin x ,f (x)cosx , 1 sin x所以f (x)在(0,)時上是上凸函數,ln(sin2sin sin )In sinIn sin所以si

15、nsin sin2 ,所以等號不能取)t /x (xxt 在(0,PCPBsin sin(X) Lsin xln(sin sin sin sin sinIn sin6ln sinsinsin ),中必有一個其正弦值不大于當30o時，命題成立，當1 、幾.,設 sin 2150o時,必有12，30°,10 .由 0 xi(i 1,2, ,n),得 xXix2xnsin x設 f (x) In, x (0,)，則 f (x) In sin x In x ,所以xf (x)在(0,)時上是上凸函數,所以1 n1 f(x)nXi f nf (xi) nf (x)1所以n sin xinf (Xi)ei1nf (x) e(x 2)t (x 3)t)上是下凸函數，PA PCsin sin命題也成立。(0,),所以sin xsin xx22sin x xf (x)-2；2x sin x0,，1 ab bc ca11 .因為一6b 6b7bac ab bc ca6c 6b 7ccabc6aab bc ca -_, ab6a 7a b 6b)(b16c) ( 6a) 8(a cc、/bc c)( -c ca ab6(a