1、其實二次方程這一課所講的是甚麼？香港中文學(xué)課程與教學(xué)學(xué)系黃毅英楔子記得多年前，當(dāng)筆者還在香港大學(xué)數(shù)學(xué)系當(dāng)助教時，一天與一位充任數(shù)學(xué)教師約一年的同學(xué)於系內(nèi)重遇。筆者問他教數(shù)學(xué)的感受，說：我根本沒有機(jī)會教數(shù)學(xué)。筆者驚訝地問：學(xué)校委派你教其他科嗎？他說：我確是教數(shù)學(xué)科，不過我覺得只是替學(xué)生過關(guān)吧了二十多年過去了，大家似乎還未完全擺脫這個困局：對於成績不如理想的學(xué)生，教師用盡九牛二虎之力搞好課堂秩序，似乎大家肯安坐於座位上不搞事已經(jīng)很不錯了；對於中等的學(xué)生，學(xué)校最重要的任務(wù)就是協(xié)助他們在公開試獲取滿意的成績，這才算對家長有所交代；而對於尖子，他們亦早已能為自己打算，大家亦沒有多大提升他們的辦法。今天唯

2、一有所不同的，可能是要同時協(xié)助尖子在各種數(shù)學(xué)競賽中多拿點獎牌！當(dāng)然，盡心盡力希望教好數(shù)學(xué)的老師仍屬不少。筆者只是想指出，假如對著成績不如理想的學(xué)生，我們常要把精力花在課堂管理、學(xué)習(xí)動機(jī)等非數(shù)學(xué)教學(xué)技巧上；但對於行有餘力的學(xué)生，我們無法教授他們數(shù)學(xué)精蘊，不是十分可惜嗎？我們不是說引起動機(jī)等並不重要，但我們可否反過來看，對於成績不如理想的學(xué)生，假若我們能讓學(xué)生實實在在地領(lǐng)會到數(shù)學(xué)的質(zhì)感(而不是空洞地叫他們以公式代入計算)，也許會引起他們學(xué)習(xí)之動機(jī)；而對於成績好的學(xué)生，我們並沒有理由相信讓他們通透地理解數(shù)學(xué)的課題是會拖累他們公開試的成績，反而，他們在掌握強(qiáng)而有力的數(shù)學(xué)思考方法後，應(yīng)能更有效地解決數(shù)學(xué)

3、題。透過溫書(而非第一次施教)來表達(dá)重拾數(shù)學(xué)教學(xué)的思想就是筆者寫這一系列文章的動機(jī)。最近又有一位中四學(xué)生提出不少對二次方程的疑惑，於是今次便選取這個課題與大家分享。何以要解二次方程？大家對設(shè)未知數(shù)解方程的概念應(yīng)該不會陌生，學(xué)生在小學(xué)階段已有所接觸了。老師亦很可能在課堂上用自由落體中時間與距離之關(guān)係，又或圓面積與直徑之關(guān)係等讓大家看到現(xiàn)實世界裏有不少二次的關(guān)係，於是要學(xué)解二次方程便是很自然的事。當(dāng)然若果所有二次關(guān)係都如上面的例子，只屬於x2 = a (1)的形式就好了，那末 (2)就做完了。可惜世界不是這麼簡單，一般的二次方程就是 ax2 + bx + c = 0這個模樣，在x2項及常數(shù)項之外還

4、有個bx，故不能直接開方。中國古代就叫這個方法做帶從開方術(shù)，就好似帶著bx這個侍從一樣。x + = 0所以我們要千方百計把(1)分拆成 的模式，亦即因式分解成(兩個)一次(線性)的方程。由於我們懂得解一次方程，如此一來，問題就得迎刃而解了。這種以簡馭繁、用已知的方法解未知的問題的做法在數(shù)學(xué)是常見的。要做到這點，最重要是利用 = 0 = 0 = 0，若 則 或(即若AB = 0，則A = 0 或B = 0)這個關(guān)係，但在運用它時，必須注意右邊必須是0，例如不要不小心地誤以為或 x 4 = 3之類。太多方法，無所適從？在中學(xué)階段，我們似乎學(xué)了很多解二次方程的方法。暫且不談圖象解法，就已經(jīng)有(i)

5、利用 x2-a2 = (x + a) (x - a)(ii) 觀察法，或所謂十字法、交叉法(iii) 完全平方法(iv) 二次方程公式那麼，何時用哪個方法呢？當(dāng)然二次方程公式是萬能的了，它是最後絕招，所以大家若要解二次方程便大可安心，最大不了就是用二次方程公式，肯定能得出答案(除非二次方程沒有實根，縱使如此，二次方程公式亦能自動告訴你該方程沒有實根)。不過二次方程公式比較複雜，所以若對於較簡單的二次方程如x2 9 = 0(x+3)2-(x-7)2 = 0x2 +6x + 9 = 0之類，用(i)和(ii)會快捷得多。至於(iii)和(iv)，不少同學(xué)均沒意識到兩者其實是一而二、二而一！二次方程

6、公式如何得出來的？就是靠完全平方！那末，我們可否說，有了二次方程公式，就可以把完全平方法拋諸腦後了？這基本上是對的，但有的時候，問題涉及二次方程或二次式，但不是要求直接求個答案(根)，從此完全平方法仍是有其作用的。例如(v) 求 -x2 +6x + 19 = 0的最大值(當(dāng)然若你已背誦出 ax2 +bx + c 的拐點出現(xiàn)於的時候，也可以不用完全平方法，但其實上面的結(jié)果也是來自完全平方法！)(vi) 證明無論任何k, x2 +2kx +3k2永遠(yuǎn) > 0 (當(dāng)然你也可用迂迴的方法：先証明0，再代 x 以任何數(shù)後，如x = 0 以得出結(jié)論，但其實這比完全平方法更為複雜) 又例如要利用二次方

7、程公式因式分解經(jīng)典 的x4+ y4就有點麻煩了，有興趣的不妨試試。完全平方法：亞洲人之光榮其實完全平方法未必像大家想像般可怕，它本身也是值得學(xué)習(xí)而極美妙的方法。中國人和阿拉伯人在很久以前就懂得了 詳見蕭文強(qiáng)(1993)。從方程到群的故事。載蕭文強(qiáng)(編)。1, 2 ,3, 以外數(shù)學(xué)奇趣錄，頁91-123。香港：三聯(lián)書店。上面說過，若果所有二次方程都像(1)那樣，天下早就太平了。完全平方法之目的就是要達(dá)至這樣的理想國！ （補(bǔ)上k2）x2c bx kxkx?x2c kxkxk2x2k2c圖一：完全平方法 以 x2 +6x -9 = 0為例，我們首先將之變成 x2 +6x = 9(熟練的同學(xué)其實不用作

8、此移項)，我們之目的是把有x的項(x2, 4x)合起來，於是夾硬(人工化地)將左邊變成 x2 + 2(3)x + (3)2要做到這樣，我們事實上夾硬加上了(3)2，為了保持=這個天秤，於是就得出x2 + 2(3)x +(3)2 = 9 + (3)2顯然，左邊就可以組合起來(也就是完全平方)，成為(x+3)2。右邊貌似複雜，但它究竟不涉及x，怎麼複雜也只是數(shù)字運算吧了：(x+3)2 = 18這就是我們所渴望的(1)之模式了。於是乎一切都走向 大直路： 或或假如 x2前面(係數(shù))不是1，把它整條式除掉就可以了。例如： - 7x 9 = 0 這是否很像二次方程公式呢？當(dāng)然囉！上面不是已經(jīng)說過了嗎？兩

9、者根本一而二、二而一。以一般的(2)說 ，做法也是完全一樣。大家不妨互相比對著看看： 若對於二次式(而非方程)作因式分解，做法仍是一樣。大家不妨自己試試:判別式判別式 =b2-4ac的運用，相信大家都很清楚了，它的作用是當(dāng)我們不需要確切找出 ax2 +bx +c = 0的答案(根)時，也可很快捷地看出它有多少個答案，尤其當(dāng)我們遇到一些不容易直接找根的問題時。例如：若(m-2) x2 +4x +2 = 0只有一根，求m。圖二：ax2+bx+c0這題數(shù)，若直接用二次方程公式去做，不只是很麻煩，差不多是不可能，用判別式就簡單很多了：由於=0故42 = 4(m-2)(2) 2 = m-2 m = 4又

10、例如假若 y = mx 為圖 x2 + y2 + 12x + 4y +36 = 0 之切線，求 m（有興趣者請試試看）。有些同學(xué)看題目涉及 >0就馬上以為 >0， 大家應(yīng)分析清楚，也可用圖去協(xié)助理解。假若說 ax2 +bx +c永遠(yuǎn) >0 (見圖二)， 恰恰 < 0。因為 y = ax2 +bx +c永遠(yuǎn)在x 軸之上，也就是說，ax2 +bx +c = 0 沒有根，亦即是 < 0了。例如：大家可試證明，無論k為任何數(shù)， x2 +kx +3k2 總是>0。， + ， 根與係數(shù)的關(guān)係又是另一件看似多此一舉的事情。假若兩個根 、 已經(jīng)可以透過二次方程公式直接找到，

11、把它們加起來及乘起來不就得到 + 和 嗎？道理就是同上面一樣，有些時候，和是相當(dāng)複雜，若只需要求 + 及，而非直接求 及，用 比較快捷。例如求 2x +4y -15 =0 與 x2 +y2 -2x -4y +1 =0 兩個交點的中點。況且有時會涉及另一些參數(shù)（k之類），又或有時要作還原的題目（知道根、求方程下面再談）哩！例如：求x2-78x-96 = 0兩個根的積若直接求 、 就很麻煩了，但可馬上知道 = -96。又例如： 證明無論任何m，(x+3m)(x+4m) = (7m+8)x，兩個根的平均值皆為4。 (x+3m)(x+4m) = (7m+8)x 即為x2+7mx+12m2 =7mx+8

12、x 即 x2-8x+12m2 =0 再進(jìn)一步1. 上面的題目不是抄來的，是筆者自己擬的。有興趣的同學(xué)若試自行擬這些題，就應(yīng)更能掌握二次方程中係數(shù)、判別式等箇中關(guān)係的規(guī)律。2. 於高年班，我們甚至可利用 + ，等求一些更複雜的結(jié)果。例如求斜率為1的直線切出y2 = x中點的軌跡。設(shè)這些直線為y = x+ c，代入y2=x就得出y2-y+c=0，無論c是甚麼，中點皆為。故此所求的軌跡為水平直線。有興趣的同學(xué)可試試以下的變化：直線斜率為m，曲線變?yōu)閥2=4x 此外，根與係數(shù)之關(guān)係亦是解方程之一道鑰匙。對於高次(三次、四次)方程亦是如此。此外已知及，重組二次方程自然是 (x - )(x )=0了。(若

13、知三次方程的根為 a、b及g，方程就是(x -a) (x-b) (x -g)=0，那時候a =1，b= - (a+b+g)，c=ab +bg+ag，d= -abg ，常見的問題當(dāng)然是由這一道二次方程出發(fā) ax2+bx+c=0，根為及問題在於求另一個二次方程，其根為及 的某些組合，如(+2) ，(2+) 之類。當(dāng)中其實是涉及一些常見之小秘技吧了，盡量將這些組合化作+ 和 ： a2 + b2 = (a + b)2 2(ab)(a b)2 = (a + b)2 4(ab) a3 + b3 = (a + b)(a2 + b2 - ab) = .之類。做多了，其實也不必刻意去記，因為相關(guān)題目千變?nèi)f化，亦

14、萬變不離其宗：主要是要將新方程的兩個根的和與積化成+ 及 。一些變著最後，我們這裏借助兩題數(shù)再作一些補(bǔ)充(vii) 解:(2x+1)2-(2x+1)=2當(dāng)然把(2x+1)2拆開來是沒問題的，但若留意到其實呈現(xiàn)2 - - 2 = 0的形式(認(rèn)出一些典型form也是數(shù)學(xué)上常見的手法)，故此有 (-2)(+ 1) = 0寫得好一點，就是(2x+1)-2(2x+1)+1 = 0即x = 1/2 或 -1若拆開，一樣可以得出同一答案2x -11x 12x x =x (2x+1)2 - (2x+1) = 2 4x2+4x+1-2x-1 = 2 4x2+2x-2 = 0 2x2+x-1=0 x = 1/2 或 -1(viii)解(x-1)(x+1) = (x-1)(2x+7)有些同學(xué)一時間會誤以為兩邊的x-1是可以約去的。其實這是要切記不可的(將來涉及不等式亦如是)。因為只當(dāng)x-10時才可以約，而x-1=0正正是其中一個根，故解答為 x-1 = 0或 x+1 = 2x+7 即 x = 1 或 x = -6 1x 61x -1 6x x =5x大家亦可拆開作解： x2-1 = 2x2+5x-7 x2+5x-6 = 0 x = -6或x = 1結(jié)語Ausubel 等