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1、空間向量與立體幾何解答題精選（選修2-1）1已知四棱錐的底面為直角梯形，底面，且，是的中點。（）證明：面面；（）求與所成的角；（）求面與面所成二面角的大小。證明：以為坐標原點長為單位長度，如圖建立空間直角坐標系，則各點坐標為.（）證明：因由題設知，且與是平面內的兩條相交直線，由此得面.又在面上，故面面.（）解：因（）解：在上取一點，則存在使要使為所求二面角的平面角.2如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側面是正三角形,平面底面 （）證明：平面； （）求面與面所成的二面角的大小證明：以為坐標原點，建立如圖所示的坐標圖系. （）證明：不防設作，則， ， 由得，又，因而與平面內兩條相交直線，都垂直. 平

2、面. （）解：設為中點，則，由因此，是所求二面角的平面角，解得所求二面角的大小為3如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側棱底面， 為的中點. （）求直線與所成角的余弦值；（）在側面內找一點，使面，并求出點到和的距離.解：（）建立如圖所示的空間直角坐標系，則的坐標為、，從而設的夾角為，則與所成角的余弦值為. （）由于點在側面內，故可設點坐標為，則，由面可得， 即點的坐標為，從而點到和的距離分別為.4如圖所示的多面體是由底面為的長方體被截面所截面而得到的，其中. （）求的長； （）求點到平面的距離.解：（I）建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設.為平行四邊形，（II）設為平面的法向量，的夾角為，則到平面

3、的距離為5如圖，在長方體，中，點在棱上移動.（1）證明：； （2）當為的中點時，求點到面的距離； （3）等于何值時，二面角的大小為.解：以為坐標原點，直線分別為軸，建立空間直角坐標系，設，則（1）（2）因為為的中點，則，從而，設平面的法向量為，則也即，得，從而，所以點到平面的距離為（3）設平面的法向量，由 令，依題意（不合，舍去）， .時，二面角的大小為.6如圖，在三棱柱中，側面，為棱上異于的一點，已知，求： （）異面直線與的距離； （）二面角的平面角的正切值.解：（I）以為原點，、分別為軸建立空間直角坐標系.由于，在三棱柱中有,設又側面，故. 因此是異面直線的公垂線，則，故異面直線的距離為.（II）由已知有故二面角的平面角的大小為向量的夾角.7如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，是上一點，. 已知求（）異面直線與的距離； （）二面角的大小.解：（）以為原點，、分別為軸建立空間直角坐標系.由已知可得設 由，即 由，又，故是異面直線與的公垂線，易得，故異面直線,

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