1、第7章平面向量的坐標表示1.理解向量的有關概念（1）向量的概念：既有方向又有大小的量，注意向量和數量的區別；（2)零向量：長度為零的向量叫零向量，記作:，注意零向量的方向是任意方向；（3)單位向量:給定一個非零向量,與同向且長度為1的向量叫的單位向量， 的單位向量是；（4）相等向量:方向與長度都相等的向量，相等向量有傳遞性;（5）平行向量（也叫共線向量）:如果向量的基線互相平行或重合則稱這些向量共線或平行，記作:，規定零向量和任何向量平行;提醒：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；兩個向量平行與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個平行向量的基線平行或重合, 但兩條直線平行不包含兩條直線

2、重合；平行向量無傳遞性！（因為有)；三點共線共線；(6)相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量，的相反向量是長度相等方向相反的向量。2。向量的表示方法(1)幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如,注意起點在前,終點在后；（2）符號表示法:用一個小寫的英文字母來表示，如,，等；(3）坐標表示法:在平面內建立直角坐標系，以與軸、軸方向相同的兩個單位向量，為基底，則平面內的任一向量可表示為,稱為向量的坐標，叫做向量的坐標表示，如果向量的起點在原點，那么向量的坐標與向量的終點坐標相同.3實數與向量的積：實數與向量的積是一個向量，記作,它的長度和方向規定如下：（1）;（2）當時，的方向與的方向相同

3、；當時，的方向與的方向相反;當時，零向量,注意：。4平面向量的數量積：（1)兩個向量的夾角：已知兩個非零向量和,過O點作，,則AOB (0°180°) 叫做向量與的夾角當0°時，與 同向；當180°時，與反向；如果與的夾角是90°，我們說與垂直，記作（2）兩個向量的數量積的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角為，則數量叫做與的數量積(或內積)，記作,即規定零向量與任一向量的數量積為0若，則(3)向量的數量積的幾何意義：叫做向量在方向上的投影 （是向量與的夾角）的幾何意義是，數量等于模與在上的投影的積（4）向量數量積的性質:設與都是非零向量,是單

4、位向量，是與的夾角 當與同向時,；當與反向時，； （5)向量數量積的運算律：【提醒】（1）若則為銳角或者角若則為鈍角或者角.（2）|可以用來證明.（3）非零向量，夾角的計算公式：.(4)|. ; 5。 平面向量的基本定理：如果和是同一平面內的兩個不共線向量,那么對該平面內的任一向量，有且只有一對實數、,使=，、稱為一組基底.6向量的運算：(1）幾何運算：提醒：平行四邊形法則要求參與加法的兩個向量的起點相同，三角形法則要求參與加法的兩個向量的首尾相接.可推廣到（據此，可根據需要在一個向量的兩個端點之間任意插點）向量加法：利用“平行四邊形法則"進行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向

5、量，除此之外,向量加法還可利用“三角形法則”：設,那么向量叫做與的和，即;向量的減法:用“三角形法則”：設,那么由減向量的終點指向被減向量的終點.容易得出：（2)坐標運算：設，則： 向量的加減法運算：; 實數與向量的積：； 若,則,即一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標; 平面向量數量積：=； 向量的模:；7向量的運算律：(1）交換律:，,=;( 2 ） 結合律：，；（3)分配律:，。8。 向量平行(共線）的充要條件：(1） 向量與非零向量共線的充要條件是；實數是唯一存在的,當與同向時，；當與異向時，； （2） 若,，則9向量垂直的充要條件:=向量中一些常用的結論：（

6、1）一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運用；（2），特別地，當同向或有；當反向或有；當不共線 (這些和實數比較類似).（3）在中，若，則其重心的坐標為.為的重心，特別地為的重心；為的垂心；向量所在直線過的內心(是的角平分線所在直線)；是的外心； （4）向量中三終點共線存在實數使得且.7.1向量的坐標表示及其運算例題精講【例1】已知分別是和的重心，是的中點，若A,B，C，D的坐標分別是，求點的坐標【例2】已知點O（0，0），A（1，2），B（4,5）及=+t，求：(1）t為何值時,P在x軸上？P在y軸上?P在第二象限?(2）四邊形OABP能否構成平行四邊形？若能，求出相應的t值；若

7、不能,請說明理由過關演練1已知，若，則的值分別為_2已知向量,，若，則_3已知平行四邊形的頂點、，則頂點的坐標為_4若向量,，則向量的坐標是_5若,，且，則等于_6若為的重心，則下列各向量中與共線的是（）A BC D7在矩形中，,則向量的長度等于（)A BCD8在中,、分別為邊、的中點,已知點坐標為，點坐標為，點坐標為，則點坐標為_ 9已知,，當與共線時,的值為_10當_時,向量與共線且方向相同；當_時，與共線且方向相反 11若三點，共線，則_ 12設，,用、作基底有，則_,_13已知點在向量所在的直線上,則所滿足的條件是_ 14。已知，(1）若點在線段上，且則點的坐標是；（2）若點在線段的延

8、長線上，且則點的坐標是；（3）若點在線段的延長線上， 則點的坐標是；（4)若點在線段的延長線上， , 則點的坐標是。15下列四個命題:若，則或；若為單位向量，則;若與共線，與共線，則與共線其中錯誤命題的序號是_16已知、，且，則當_時，點落在軸上 17已知，是兩個非零向量，則“，不共線”是“”的_18下列四個命題中是真命題的有_個若與是共線向量，則與也是共線向量若，則與是共線向量若，則與是共線向量若，則與任何向量都共線19.在中,設向量，則的面積=,的周長=。 20。對個向量,如果存在不全為零的實數使得，則稱性相關。若已知,是線性相關的，則=_.21。 在四邊形中，,，則四邊形的面積是_。7.

9、2向量的數量積例題精講【例1】設O是直角坐標原點,，在軸上求一點P，使最小，并求此時的大小.【例2】已知,且的夾角為,又,求.注意:有關向量的運算也可以利用數形結合的方法來求解，本例就可以由作圖得解【例3】已知銳角中內角的對邊分別為，向量 ，且（1）求的大小，（2）如果，求的面積的最大值.過關演練1（1）已知，與的夾角為，則_（2）已知,，則向量與的夾角為_ 2（1)已知，與的夾角為,則在方向上的投影為_（2）已知，,，則在上方向上的投影為_3已知，,且，則的值為_ 4已知,與的夾角正弦值為，,則_5已知,則_6已知，,與的夾角為，要使與垂直，則_7在平行四邊形中,已知，則=_ 8是所在平面上

10、一點，若，則是的_9已知向量，是不平行于軸的單位向量，且，則=_10與向量的夾解相等，且模為的向量是_11在中,，且，則的值為_12在中，已知，且，則這個三角形的形狀是 _ 13下列四個命題：若，則；若,則或；若,且，則或；對任意兩個單位向量，都有其中正確命題的序號是_14。若，則與的夾角為_15在中，O為中線上一個動點，若，則的最小值是。16已知滿足，則的形狀一定是_。17。在ABC中，AB2,AC1,D是邊BC上一點，DC2BD，則=_。18。如果，且,那么（ )AB C D在方向上的投影相等19若、是非零向量且，則一定有()A BC D20.已知，如果與的夾角為銳角,則的取值范圍是_。2

11、1已知向量，|1，對任意tR,恒有t|，則( ）A B（） C(） D（)（）22已知兩個單位向量和互相垂直，則的充要條件是（ ） A BC D23在中，有命題；若，則為等腰三角形；若,則為銳角三角形.上述命題正確的是（ ）A B C D24點在所在平面內，給出下列關系式：（1);（2);（3）;（4)則點依次為的 （ ）A內心、外心、重心、垂心 B重心、外心、內心、垂心C重心、垂心、內心、外心 D外心、內心、垂心、重心7。3平面向量的分解定理例題精講【例1】已知是的邊上的點,且，如圖1所示若用表示，則=過關演練1。已知等差數列的前n項和為，若,且A、B、C三點共線（該直線不過原點O），則_。

12、2.下列條件中,三點不共線的是（ ）ABCD3下列向量組中能作為它們所在平面內所有向量的基底的是（）ABC D4已知向量,，,用和來表示,則為（）A B CD5設 M 是ABC 的重心,則=（）ABCD6、分別為的邊、上的中線，且，那么為（)ABCD7過的重心作一直線分別交、于點、若，則的值為_8。 是內的一點,則的面積與的面積之比為_。A2B3CD69。請用表示=_。10已知。設，則等于_.11已知四邊形是菱形，點在對角線上，（不包括端點、)，則等于（）A，(0，1）B，（0,）C,(0,1)D，（0， )12。如圖，在ABC中,設， ， ，(0<1),，(0<<1）,試用向量,表示。7.4向量的應用例題精講【例1】是過拋物線焦點的直線,它與拋物線交于A、B兩點，O是坐標原點，則ABO是（）A、銳角三角形;B、直角三角形；C、鈍角三角形；D、不確定與P值有關。【例2】已知向量.設。（1）若且,求的值；（2）若函數的圖像按向量平移后得到函數的圖像,求實數的值。過關演練1。求等腰直角三角形中兩直角邊上