1、 固體物理學習題參考第一章1.1 有許多金屬即可形成體心立方結構，也可以形成面心立方結構。從一種結構轉變為另一種結構時體積變化很小.設體積的變化可以忽略，并以Rf和Rb代表面心立方和體心立方結構中最近鄰原子間的距離，試問Rf/Rb等于多少？答：由題意已知，面心、體心立方結構同一棱邊相鄰原子的距離相等，都設為a：對于面心立方，處于面心的原子與頂角原子的距離為：Rf=a對于體心立方，處于體心的原子與頂角原子的距離為：Rb=a那么，=1.2 晶面指數為（123）的晶面ABC是離原點O最近的晶面，OA、OB和OC分別與基失a1，a2和a3重合，除O點外，OA，OB和OC上是否有格點？若ABC面的指數為

2、（234），情況又如何？答：根據題意，由于OA、OB和OC分別與基失a1，a2和a3重合，那么1.3 二維布拉維點陣只有5種，試列舉并畫圖表示之。答：二維布拉維點陣只有五種類型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分別如圖所示：正方a=bab=90°六方a=bab=120°矩形abab=90°帶心矩形a=bab=90°平行四邊形abab90° 1.4 在六方晶系中，晶面常用4個指數（hkil）來表示，如圖所示，前3個指數表示晶面族中最靠近原點的晶面在互成120°的共平面軸a1，a2，a3上的截距a1/h，a2/k，a3/i，第四個指數表

3、示該晶面的六重軸c上的截距c/l.證明：i=-（h+k） 并將下列用（hkl）表示的晶面改用（hkil）表示：（001）（100）（010）答：證明設晶面族（hkil）的晶面間距為d，晶面法線方向的單位矢量為n°。因為晶面族（hkil）中最靠近原點的晶面ABC在a1、a2、a3軸上的截距分別為a1/h，a2/k，a3/i，因此 (1)由于a3=（a1+ a2）把（1）式的關系代入，即得根據上面的證明，可以轉換晶面族為（001）（0001），（100），（010），1.5 如將等體積的硬球堆成下列結構，求證球可能占據的最大面積與總體積之比為（1）簡立方：（2）體心立方：（3）面心立方：

4、（4）六方密堆積：（5）金剛石：。答：令Z表示一個立方晶胞中的硬球數，Ni是位于晶胞內的球數，Nf是在晶胞面上的球數，Ne是在晶胞棱上的球數，Nc是在晶胞角隅上的球數。于是有：邊長為a的立方晶胞中堆積比率為假設硬球的半徑都為r，占據的最大面積與總體積之比為，依據題意（1）對于簡立方，晶胞中只含一個原子，簡立方邊長為2r，那么：= = （2）對于體心立方，晶胞中有兩個原子，其體對角線的長度為4r，則其邊長為，那么：= = （3）對于面心立方，晶胞中有四個原子，面對角線的長度為4r，則其邊長為r，那么：= = （4）對于六方密堆積 一個晶胞有兩個原子，其坐標為（000）（1/3，2/3，1/2），

5、在理想的密堆積情況下，密排六方結構中點陣常數與原子半徑的關系為a=2r，因此=（5）對于金剛石結構Z=8 那么=.1.6 有一晶格，每個格點上有一個原子，基失（以nm為單位）a=3i，b=3j，c=1.5（i+j+k），此處i，j，k為笛卡兒坐標系中x，y，z方向的單位失量.問：（1）這種晶格屬于哪種布拉維格子？（2）原胞的體積和晶胞的體積各等于多少？答：（1）因為a=3i，b=3j，而c=1.5（i+j+k）=1/2（3i+3j+3k）=1/2（a+b+c）式中c=3c。顯然，a、b、c構成一個邊長為3*10-10m的立方晶胞，基矢c正處于此晶胞的體心上。因此，所述晶體屬于體心立方布喇菲格子

6、。（2）晶胞的體積= = =27*10-30(m3)原胞的體積=13.5*10-30(m3)1.7 六方晶胞的基失為：，求其倒格子基失，并畫出此晶格的第一布里淵區.答：根據正格矢與倒格矢之間的關系，可得：正格子的體積=a·（b*c）= 那么，倒格子的基矢為 ， ，其第一布里淵區如圖所示：1.8 若基失a，b，c構成正交晶系，求證：晶面族（hkl）的面間距為答：根據晶面指數的定義，平面族（hkl）中距原點最近平面在三個晶軸a1，a2，a3上的截距分別為，。該平面（ABC）法線方向的單位矢量是這里d是原點到平面ABC的垂直距離，即面間距。由|n|=1得到故1.9 用波長為0.15405n

7、m的X射線投射到鉭的粉末上，得到前面幾條衍射譜線的布拉格角如下序號12345/（°）19.61128.13635.15641.15647.769已知鉭為體心立方結構，試求：（1）各譜線對應的衍射晶面族的面指數；（2）上述各晶面族的面間距；（3）利用上兩項結果計算晶格常數.答：對于體心立方結構，衍射光束的相對強度由下式決定：考慮一級衍射，n=1。顯然，當衍射面指數之和（h+k+l）為奇數時，衍射條紋消失。只有當（h+k+l）為偶數時，才能產生相長干涉。因此，題給的譜線應依次對應于晶面（110）、（200）、（211）、（220）和（310）的散射。由布喇格公式得 同法得應用立方晶系面間

8、距公式可得晶格常數把上面各晶面指數和它們對應的面間距數值代入，依次可得a 的數值*10-10m為3.2456，3.2668，3.2767，3.2835，3.2897取其平均值則得1.10 平面正三角形，相鄰原子的間距為a，試給出此晶格的正格矢和倒格矢；畫出第一和第二布里淵區.答：參看下圖，晶體點陣初基矢量為 用正交關系式求出倒易點陣初基矢量b1，b2。設由 得到下面四個方程式 （1） （2） （3） （4）由（1）式可得：由（2）式可得：由（3）式可得：由（4）式可得：于是得出倒易點陣基矢第三章 習題答案3.1 試求由5個原子組成的一堆單原子晶格的格波頻率，設原子質量m8.35×10

9、27kg，恢復力常數15N·m1 解：一維單原子鏈的解為 據周期邊界條件 ，此處N=5,代入上式即得 所以 2（為整數） 由于格波波矢取值范圍：。 則 故可取2，1，0，1，2這五個值 相應波矢：,0, , 由于，代入，m及q值 則得到五個頻率依次為（以rad/sec為單位） 8.06×1013，4.99×1013，0，4.99×1013，8.06×10133.2 求證由N個相同原子組成的一維單原子晶格格波的頻率分布函數可以表示為 式中是格波的最高頻率，并求證它的振動模總數恰為N解：對一維單原子鏈， 所以 （1） 由色散關系 求得 （2） 而，

10、 則由（1）式可得 由于 ，則總的振動模數為 令，則積分限為0到 ， 故3.3 設晶體由N個原子組成，試用德拜模型證明格波的頻率分布函數為解：由書上（369）式可得 （1）由（371）可得 由此可得 ，代入（1）式得3.4 對一堆雙原子鏈，已知原子的質量m8.35×1027kg，另一種原子的質量M4m，力常數15N·m1，試求（1） 光學波的最高頻率和最低頻率和；（2） 聲學波的最高頻率；（3） 相應的聲子能量（以eV為單位）；（4） 在300K可以激發頻率為，和的聲子的數目；（5） 如果用電磁波來激發長光學波振動，電磁波的波長大小。 解：（1）（2） （3） ， ， （4

11、）光速 ，3.5 設有一維晶體，其原子的質量均為m，而最近鄰原子間的力常數交替地等于和10， 且最近鄰的距離為，試畫出色散關系曲線，并給出和處的。解：設標為奇數的原子和附近為偶數的原子所處的環境不同，參看圖， 10 10mx2n-1 x2n x2n+1 x2n+2原子的運動方程應是即 求格波解， 令 ，代入運動方程，可導出線性方程組為：令，從A，B有非零解的系數行列式等于零的條件可得可解出 色散關系見下圖時，時，3.6在一維雙原子鏈中，如，求證 證 由書中（3.22）式知，雙一維原子鏈聲學支 ， 由近似式， 得 ， 對，由于，3.7 在一維雙原子晶格振動情況中，證明在布里淵區邊界處，聲學支格波

12、中所有輕原子m靜止，而光學支格波中所有重原子M靜止。畫出這時原子振動的圖象。證 由（318）第一式得 ，當 時 且對聲學支，代入上式即得： ，故A0， 輕原子靜止 再由（318）第二式得 ，當 時 且對光學支，代入上式即得 故B0， 重原子靜止3.8 設固體的熔點對應原子的振幅等于原子間距的10的振動，推證，對于簡單晶格，接近熔點時原子的振動頻率，其中M是原子質量。解 當質量為M的原子以頻率及等于原子間距的10的振幅振動時，其振動能為： 在熔點時，原子的能量可按照能量均分定理處理，即一個一維原子的平均能量為，于是有，由此得3.9 按德拜近似，試證明高溫時晶格熱容 證明：由書（3.73）式可知在

13、高溫時，則在整個積分范圍內為小量，因此可將上式中被積函數化簡為 將上式代入的表達式，得3.10 設晶格中每個振子的零點振動能為，試用德拜模型求三維晶格的零點振動能 解：由（369）式知，狀態密度 則 3.11 在德拜近似的基礎上，討論由一個N個原子組成的二維晶格的比熱，證明在低溫下其比熱正比于證明：此題可推廣到任意維m，由于 而德拜模型中，故 令，則上式變為 在低溫時 則積分 為一個于T無關的常數 故 對三維 m3 對本題研究的二維 m2 對一維 m1 3.12 設某離子晶體中相鄰兩離子的相互作用勢為， b為待定常數， 平衡間距，求線膨脹系數。 解：由書上（3.114）式知，線膨脹系數 其中：

14、， 由平衡條件 ， 由于 ，3.13 已知三維晶體在附近一支光學波的色散關系為 ， 試求格波的頻譜密度 解： 則 這是q空間的一個橢球面，其體積為，而 ， q空間內的狀態密度 ，故橢球內的總狀態數N為 故 第四章4.1晶體中空位和間隙原子的濃度是否相同？為什么？答：晶體中空位和間隙原子的濃度是相同的。在離子晶體中，由于電中性的要求，所以晶體中的空位和間隙原子一般都是成對出現，所以它們的濃度是相同的。4.2試從能量角度說明滑移方向必定是密排方向.4.3如果已知空位形成能為Eu=0.67eV，試問當溫度為300K時在金里肖特基缺陷數與格點數之比是多少？答：設肖特基缺陷數為n，格點數為N。那么由公式

15、可得=5.682*10-124.4某間隙原子在晶格的間隙位置間跳躍。該間隙原子在晶格中振動的頻率為2*1015s-1，如該間隙原子在跳躍過程中需要克服的勢壘高度為0.1eV，求該原子在1s內跳躍的次數。答：由公式可得=2*1015*0.02=4*10134.5在離子晶體中，由于電中性的要求，肖特基缺陷多成對地產生，令n代表正、負離子空位的對數，W是產生一對缺陷所需要的能量，N是原有的正、負離子對的數目。（1）試證明：n/N=Bexp（-W/2kBT）；（2）試求有肖特基缺陷后體積的變化V/V，其中V為原有的體積。答：（1）設n對肖特基缺陷是從晶體內部移去n個正離子和n個負離子而形成的。從N個正

16、離子中形成n個正離子空位的可能方式數為同時，從N個負離子中形成n個負離子空位的可能方式數也是于是，在整個晶體中形成n對正、負離子空位的可能方式數由此而引起晶體熵的增量為設形成一對正、負離子空位需要能量w，若不考慮缺陷出現對原子振動狀態的影響，則晶體自由能的改變 （1）熱平衡時，并應用斯特令公式，從（1）式得因為實際上N»n，于是得n/N=Bexp（-W/2kBT）（2）對離子晶體的肖特基缺陷來說，每產生一對缺陷同時便產生了兩個新的結點，使體積增加。當產生n對正、負離子空位時，所增加的體積應該是式中a為離子最近鄰距離。因為為晶體原有的體積，有上式可得4.6已知擴散系數與溫度之間的關系為

17、：下列數據是鋅在銅晶體中擴散的實驗結果：T/K8781007117612531322D/m2·s-11.6*10-204.0*10-181.1*10-184.0*10-171.0*10-16試確定常數Do和擴散激活能EA.答：由公式 ，可得當T=878，D=1.6*10-20時，D01=4.7銅和硅的空位形成能Eu分別是0.3eV和2.8eV。試求T=1000K時，銅和硅的空位濃度。答：由公式可得：對于銅 對于硅4.8碘化鉀在不同溫度下的鉀蒸汽中增色，通過測試F帶的光吸收就可得F心的形成能EB。當溫度從570上升到620時，吸收常數增加了3.9%左右。假設光吸收的增加是由F心的數目增

18、加引起的，試計算F心形成能EB。答：4.9考慮一體心立方晶格：（1）試畫出（110）面上原子的分布圖；（2）設有一沿方向滑移、位錯線和平行的刃位錯。試畫出在（110）面上原子的投影圖。答：如圖所示：4.10求體心立方、面心立方、六方密堆積等晶體結構的最小滑移矢量的長度。答：滑移面往往是那些原子面密度較大的晶面，滑移向也總是原子密度較大的晶向（即沿該方向的周期最小）。（1）體心立方：滑移面為（110）面，滑移向為111，最小滑移矢量b即111晶向上一個格點間距的長度。設晶格常數為a，則（2）面心立方：滑移面為（111），滑移向為101。最小滑移矢量b等于101方向上相鄰格點間的距離，即（3）六角

19、密堆：滑移面是基面（0001），滑移向是。晶向上原子間距為a，因此，4.11在FCC晶格中存在一個位錯，其位錯線的方向用晶向指數表示為，該位錯滑移的方向和大小用伯格斯矢量表示為。試確定該滑移面的晶面指數，并問該位錯是刃位錯還是螺位錯。第六章6.1 一維周期場中電子的波函數應滿足布洛赫定理，若晶格常數為，電子的波函數為（1） （2） （3） （f是某個確定的函數） 試求電子在這些狀態的波矢解：布洛赫函數為 （1） ， ， （2） 同理， ， ， （3） 此處 ， ，6.2 已知一維晶格中電子的能帶可寫成，式中是晶格常數，m是電子的質量，求（1）能帶的寬度，（2）電子的平均速度，（3） 在帶頂和帶

20、底的電子的有效質量 解：能帶寬度為 ， 由極值條件 ， 得 上式的唯一解是的解，此式在第一布里淵區內的解為 當k0時，取極小值，且有當時，取極大值 ，且有 由以上的可得能帶寬度為 （2）電子的平均速度為 （3）帶頂和帶底電子的有效質量分別為6.3 一維周期勢場為 ， 其中 ，W為常數，求此晶體第一及第二禁帶寬度 解：據自由電子近似得知禁帶寬度的表示式為 ， 其中是周期勢場傅立葉級數的系數，該系數為： 求得，第一禁帶寬度為 第二禁帶寬度為6.4 用緊束縛近似計算最近鄰近似下一維晶格s態電子能帶，畫出，與波矢的關系，證明只有在原點和布里淵區邊界附近，有效質量才和波矢無關。解： 根據緊束縛近似， 對

21、一維，最近鄰 則 為余弦函數 （圖省） 有效質量 的圖也省 在原點附近，很小， 在布里淵區邊界，6.5 某晶體電子的等能面是橢球面 ，坐標軸1，2，3互相垂直。求能態密度。 解：由已知條件可將波矢空間內電子能帶滿足的方程化為 將上式與橢球公式比較可知，在波矢空間內電子的等能面是一橢球面，與橢球的體積 比較可得到，能量為E的等能面圍成的橢球體積 由上式可得 能量區間內電子的狀態數目 是晶體體積，電子的能態密度6.6 已知能帶為：其中，為晶格常數，試求（1） 能帶寬度（2） 電子在波矢狀態下的速度（3） 能帶底附近電子的能態密度解：（1） ，可看出，n為偶數時E為極小值，n為奇數時為極大值故，能帶

22、寬度（2） 其中 在時（3） 能帶底n為偶數，可取為零，故，均很小據 有 用和6.5題相同的方法，其中 ，則：6.7 用緊束縛模型求最近鄰近似的s態電子能帶公式，寫出二維正三角形網絡的能帶，計算電子的速度及有效質量張量。解：對二維正三角晶格（如圖），yx6個最近鄰的坐標為，代入上式并化簡得：電子速度：，其中由于6.8 用緊束縛近似計算面心立方晶格最近鄰近似下s態電子能帶（1） 證明在k0附近，能帶的等能面是球形的，導出有效質量。（2） 畫出100與111方向的曲線。（3） 畫出平面內能量的等值線。解：（1）面心立方最近鄰有十二個原子，其Rs位置在將這些Rs代入上式并簡化可得： 在k0附近，均很

23、小，利用，（x<<1, 則得故 由于其余（2） 在100方向，則 即可按此函數作圖（圖省） 在111方向， 可據上函數作圖（圖省）（4） 在平面內， 等值線即 （C為常數）6.9 對體心立方晶格，用緊束縛法近似計算最近鄰近似下s態電子能帶，證明在帶底和帶頂附近等能面近似為球形，寫出電子的有效質量。解：s態電子能帶可表示為對體心立方，最近鄰原子為8個，其Rs為：，化簡后即得：故 由于，可看出時，為極大值，即而，。即時， 為極小值，即故帶寬在帶底附近，由于，用，則 這顯然是一個球形有效質量，所以 在帶頂附近，可寫為，很小則這顯然也是個球形而，6.10 金屬鉍的導帶底部有效質量倒數張量為

24、求有效質量張量的各分量，并確定此能帶底部附近等能面的性質解：的逆矩陣即為矩陣，用矩陣計算方法，可求得 ， ， 其余為0 為確定等能面，在作為k矢量原點的能帶底部附近泰勒展開（有用的僅二階項），并假定能帶底E0，在能帶底一階導數為0，即，且故有顯然等能面是一個橢球面固體物理第七章答案7.3 （1）先決定導帶底及價帶頂的極值位置導帶極小值的能量價帶極大值的能量禁帶寬度Eg為（2）導帶底電子有效質量價帶頂電子有效質量（3）7.4 重空穴能量比輕空穴小7.57.6 （1）利用類氫模型，InSb中施主雜質的電離能為（2）施主雜質的玻爾半徑（3）銻化銦為fcc結構，晶體的總體積一個施主雜質所波及的體積為因

25、此，雜質之間不發生重迭的臨界雜質數為：每個原胞中含有4個原子，所以使雜質間不發生重迭的最小雜質濃度為：7.7 運動方程 B平行于Z軸，載流子是電子時，穩態時，時間導數為0，其中，稱為回旋頻率，解得其中，v同理，當載流子是空穴時：總電流令jy=0求得：代入jx表達式，并由霍耳系數定義式得：略去得7.8 由7.42可得7.9 在溫度不太高時可忽略本征激發，載流子將主要是由施主能級激發到導帶的電子，這時，導帶中電子數目顯然和空的施主能級數目相等。其中，稱為有效能級密度，當施主電離很弱時，可略去右邊分母中的1。若要使則7.10 通過p-n結的電流與偏壓的關系為當T=300K，V=0.15V時，1eV/kBT=5.8，因此，反向電流實質上便是I0，故正向電流為第九章9.1Sn在零磁場時Tc為3.7K，在絕對零度時的臨界磁場Hc（0）為24*103A/m