1、數學實驗報告實驗序號：8 日期：6/5班級信科姓名學號實驗名稱概率與頻率問題背景描述：概率，又稱為幾率、或然率，是反映某種事件發生的可能性大小的一種數量指標。它介于0和1之間。這里的事件是指隨機現象中出現的某個可能結果。實驗目的：概率論是研究隨機現象統計規律的一門數學分支學科，它有著悠久的歷史。通過本實驗的學習，加深對頻率和概率等概念的理解和認識，并幫助掌握一些概率統計的原理。實驗原理與數學模型：相關函數（命令）簡介1rand(m,n):生成 m×n的隨機矩陣,每個元素都在(0,1)間,生成方式為均勻分布 2randn(m,n): 生成m×n的隨機矩陣,每個元素都在(0,1

2、)間,生成方式為正態分布 3. randperm(m)：生成一個 1n的隨機整數排列。 4perms(1:n)：生成1到n的全排列，共n！個。 5一系列取整的函數： (1) fix(x)：截尾法取整； (2) floor(x)：退一法取整(不超過 x 的最大整數)； (3) ceil(x)：進一法取整(=floor(x)+1)； (4) round(x)：四舍五入法取整。 6unique(a)：合并a中相同的項。 7switch 表達式 case 情況1 命令系列1 case 情況2 命令系列2 otherwise 命令系列 end 8prod(x)：向量 x 的所有分量元素的積。9.unid

3、rnd(n)生成一個1到n的隨機整數。實驗所用軟件及版本：Matlab 2009主要內容（要點）：1通過實驗，填寫完成表格26的數據3用Monte Carlo方法求兩平面曲線y=x2x0與y=1-x2及y軸所圍成的區域的面積。試分析程序甲和程序乙的不同之處。試問：哪一個程序是對的？為什么？4分析附錄中的程序丙和程序丁的設計本意。請問他們為什么都是錯誤的？5設計一個三維投點的蒙特卡羅法計算。并比較運行結果與二維投點的蒙特卡羅法的運行結果，哪個更準確些。提示：隨機投點落在單位正方體的內切球體內部。實驗過程記錄（含基本步驟、主要程序清單及異常情況記錄等）：1通過實驗，填寫完成表格26的數據實驗1：隨

4、機投擲均勻骰子，驗證各點數出現的概率是否為1/6表2試驗次數/n100001000010000100001000010000國徽朝上頻率0.49680.50780.49360.49990.50070.5004國徽朝下頻率0.50310.49780.49910.49430.50170.5019實驗2：隨機投擲均勻骰子，驗證各點數出現的概率是否為1/6表3試驗次數n1000010000100001000010000出現一點頻率0.17150.16750.17040.1660.1683出現二點頻率0.16610.16280.16170.16480.1673出現三點頻率0.16290.16560.16

5、850.16760.1748出現四點頻率0.17230.16290.16380.1660.1616出現五點頻率0.1610.170.16760.16580.1634出現六點頻率0.16620.17120.1680.16980.1646實驗3：利用蒙特卡羅（monte carlo）投點法計算。表4試驗次數n100000100000100000100000100000100000所得的近似值3.13843.14523.13823.13853.14223.1321實驗4：蒲豐（buffon）投針實驗表5試驗次數n100000100000100000100000100000針長l/平行線間距d0.50

6、.50.50.50.5相交頻率0.31760.31960.31690.31660.3191相交概率的理論值3.14153.14153.14153.14153.1415的近似值3.14853.12873.15603.15863.1335實驗5：生日問題，設某班有m個學生，則該班至少有兩人同一天生日的概率為多少？ 表6試驗次數n10001000100010001000班級人數m5050505050至少有兩人生日相同的頻率0.96900.97400.97600.96500.9600至少有兩人生日相同的概率的理論值0.97040.97040.97040.97040.97043用Monte Carlo方

7、法求兩平面曲線y=x2x0與y=1-x2及y軸所圍成的區域的面積。試分析程序甲和程序乙的不同之處。試問：哪一個程序是對的？為什么？程序甲 結果 程序乙 結果從實驗結果我們可以看出程序乙 的誤差要小很多，所以我們有理由認為程序乙正確，另一方面，分析程序甲和程序乙的不同之處：（1）程序甲沒有分別用變量x和y事先定義rand(1)*a和rand(1)*b （2）程序甲的if條件句：rand(1)*b>=(rand(1)*a)2&rand(1)*b<1-(rand(1)*a)2程序乙的if條件句：y<=1-x2&y>x2 即：rand(1)*b<=1-(r

8、and(1)*a)2&rand(1)*b>(rand(1)*a)2 可以看出程序甲和程序乙的取等情況及不等式的順序不同，不過很顯然，這兩種邏輯并不影響實驗結果。經過分析程序甲和程序乙的不同之處我們可以認為，由于程序甲沒有用變量x和y事先定義rand(1)*a和rand(1)*b而引起甲乙兩結果不同，所以Monte Carlo投點法在使用過程中應事先定義，再進行if語句的運行。4分析附錄中的程序丙和程序丁的設計本意。請問他們為什么都是錯誤的？程序丙 結果 程序丁 結果通過分析對比程序丙和程序丁與程序乙的區別，我們可以看出：程序丙的a的賦值是錯誤的，曲線y=x2x

9、0與y=1-x2的交點橫坐標為22，縱坐標為1，所以在對初始值a,b賦值時應分別賦為a=22,b=1程序丁不僅沒有事先定義rand(1)*a和rand(1)*b，而且程序丁的if條件句rand(1)<1-rand(1)2&rand(1)>=rand(1)2也是錯誤的，rand(1)沒有乘以a或b，使得結果偏小很多。5設計一個三維投點的蒙特卡羅法計算。并比較運行結果與二維投點的蒙特卡羅法的運行結果，哪個更準確些。提示：隨機投點落在單位正方體的內切球體內部。試驗次數n100000100000100000100000100000100000（二維）所得的近似值3.13843.14523.13823.13853.14223.1321（三維）所得的近似值3.14833.12673.13983.12953.14523.1216 通過對比二維與三維投點的蒙特卡羅法的運行結果可以發現，二維投點的蒙特卡羅法的運行結果更加準確。實驗結果報告與實驗總結： 通過本實驗加深了我們對頻率和概率等概念的理解和認識，而且我們可以體會到運用經典的蒙特卡羅投點法可以近似求解無理數或是不規則曲面