1、立體幾何基礎題題庫（三）（有詳細答案）101. ABC是厶ABC在平面a上的射影,(A)ABC </ ABC(C)ABC >Z ABC解析：D那么 ABC和/ ABC的大小關系是 （）（B） AB C >Z ABC（D）不能確定一個直角，當有一條直角邊平行于平面時，則射影角可以等于原角大小，但一般情況不等.102. 已知：如圖， ABC中 , ACB= 90 , CD平面 ，AD BD和平面 所成的角分別為 30和45, CD= h,求：D點到直線AB的距離。解析：1、先找出點 D到直線AB的距離，即過D點作 DEAB從圖形以及條件可知，若把DE放在 ABD 中不易求解。2、

2、由于CD平面，把DE轉化到直角三角形中求解，從而轉化為先求 DE在平面 的射影長。解：連AC BC 過D作DE AB 連CE貝U DE為D到直線AB的距離。/ CD AC BC分別是AD BD在 的射影。 DAC DBC分別是AD和BD與平面 所成的角 DAC= 30 ， DBC= 45在 Rt ACD中，/ CD= h， DAG= 30 AC=、,3h在 Rt BCD中/ CD = h， DBG= 45 BC= h/ CD ，DE AB CE ABAB 、. AC2 BC2 2hS 1 AC BC -AB CE2 2 CEAC BC.3h h . 3 ,'AB2h2 "在R

3、t DCE中,v'32(h)2hDEDC2 CE2h222點D到直線AB的距離為遼h。2103. 已知a、b、c是平面a相交于一點O的三條直線，而直線 l和a相交，并且和a、b、c三條直線 成等角.求證：I丄a證法一：分別在 a、b、c上取點A、B C并使AO= BO= CO設I經過O,在I上取一點 巳在厶POAA POBA POC中,/ PO公用，AO= BO= CO / POA= / POB/POC POA POB2A POC PA = PB= PC 取 AB中點 D 連結 OD PD,貝ODLAB, PDL AB PD OD D AB丄平面POD/ PO 平面 POD PCL A

4、B同理可證 POL BC/ AB , BC , AB BC B- POL a,即卩I丄a I I 丄 a.證法二：采用反證法假設I不和a垂直，則I和a斜交于O.同證法一，得到 PA= PB = PC過P作P0于0，則AO BO CO , 0是厶ABC的外心.因為 0也是 ABC的外心，這樣， ABC有兩個外心，這是不可能的.假設I不和a垂直是不成立的.I 丄 a若I不經過0點時，過0作I / I，用上述同樣的方法可證 I丄a , - I 丄 a評述：(1)證明線面垂直時，一般都采用直接證法(如證法一)，有時也采用反證法(如證法二)或同 一法.104. P是厶ABC所在平面外一點， 0是點P在平

5、面a上的射影.(1) 若PA= PB= PC,則0是厶ABC的心.(2) 若點P到厶ABC的三邊的距離相等，貝U 0是厶AB 心.(3) 若PA、PB PC兩兩垂直，則 0是厶AB 心.(4) 若厶ABC是直角三角形，且 PA= PB= PC則0是厶ABC的心.(5) 若厶ABC是等腰三角形，且 PA= PB= PC,貝U 0是厶ABC的心.(6) 若PA PB PC與平面 ABC所成的角相等，貝U 0是厶ABC的心；解析：(1)外心.TPA=PB=PC O/=OB=OC 0是厶 ABC的外心.(2)心(或旁心).作ODL AB于 D,OEL BC于E,OF丄 AC于F,連結 PD PEPF.

6、vPC丄平面 ABC OD OE OF分別為PD PE PF在平面 ABC的射影，由三垂線定理可知， PDL AB PEI BC PF丄AC由 已知PD=PE=PF,得ODO匡OF 0是厶ABC的心.(如圖答 9-23 )(3) 垂心.(4) 外心.(5)外心(6)外心.PA與平面ABC所成的角為/ PAO在厶PAO PBO PCC中, P0是公共邊，/ POA/ POB/ POC90°,/ PAO/ PBO/ PCO： PA3A PB3A PC。二 OA=OE=OC / 0為厶 ABC的外心.（此外心又在等腰三角形的底邊高線上）.刃105. 將矩形ABCD&對角線BD折起來

7、，使點 C的新位置C在面ABC上的射影E恰在AB上.求證：AC BC分析：欲證 AC BC，只須證BC與AC所在平面 AC D垂直；而要證 BC丄平面AC D，只須證BC 丄CD且BC丄AD因此，如何利用三垂線定理證明線線垂直就成為關鍵步驟了.證明：由題意， BC丄C D，又斜線BC在平面ABCDt的射影是 BA BA丄AD由三垂線定理，得 C B AD , C D DA D . BC丄平面C AD，而C A 平面C ADCP BC 丄 AC106.已知異面直線li和丨2,丨1丄丨2, MN是 l 1和丨2的公垂線，MN= 4, A li, B l 2, AM= BN= 2 , O是 MN中點

8、. 求丨1與OB的成角.求 A點到 OB距離.分析：本題若將條件放入立方體的“原型”中，抓住“一個平面四條線”的圖形特征及“直線平面垂直”的關鍵性條件，問題就顯得簡單明了.解析：（1）如圖，畫兩個相連的正方體，將題目條件標在圖中.OB在底面上射影 NBL CD由三垂線定理， OBL CD又CD/ MA OBL MA即OB與丨1成90°（2）連結BO并延長交上底面于 E點.ME= BN ME= 2，又 0N= 2 OB OE 2 2 .作AQL BE連結MQ對于平面EMO而言，AM AQ MQ分別為垂線、斜線、斜線在平面的射影，由三垂線逆定理得MQ E0在 Rt MEOK MQME M

9、OEO2 22. 2評述：又在 RtAMQK AQ . AM 2 MQ242.6 ,本題通過補形法使較困難的問題變得明顯易解；求點到直線的 距離，仍然是利用直線與平面垂直的關鍵條件，抓住“一個面 四條線”的圖形特征來解決的.107. 已知各棱長均為 a的正四面體 ABCDE是AD邊的中點，連結CE求CE與底面BCD所成角的正弦值. 解析：作AHL底面BCD垂足H是正 BCD中心，連DH延長交BC于F,則平面 AHQ平面BCD作 EOL HD于 O,連結 EC則/ ECO是 EC與底面BCD所成的角貝U ECL底面BCDHD 2DF - a a3323AH . AD2 HD2EO -AH21aa

10、 , CEa2362sin ECO23108. 已知四面體 S ABC中, SA±底面ABC ABC是銳角三角形， H是點A在面SBC上的射影.求證： H 不可能是厶SBO的垂心.分析：本題因不易直接證明，故采用反證法.證明：假設 H是厶SBQ的垂心，連結 BH并延長交 SC于D點，貝U BHL SCC/ AH丄平面SBC BH是AB在平面SBC的射影 SC丄AB （三垂線定理）又 SAL底面ABC AC是 SC在面的射影 AB丄AC （三垂線定理的逆定理） ABC是 Rt與已知厶ABC是銳角三角形相矛盾，于是假設不成立. 故H不可能是厶SBC的垂心.109. 已知ABC是邊長為4的

11、正方形，E、F分別是AB AD勺中點，GCt直于ABC所在的平面，且GC= 2 .求 點B到平面EFG距離.解析：如圖，連結EG FG EF、BD AC EF B酚別交ACF H O.因為ABC是正方形，E F分別為AB 和AD勺中點，故EF/ BD H為AO勺中點.BD不在平面EFGh否則，平面EF®平面ABC重合，從而點G在平面的ABC上，與題設矛盾.4分由直線和平面平行的判定定理知 BD/平面EFG所以BD和平面EFG勺距離就是點B到平面EFG勺距離. BDL AC EFL HC/ GCL平面 ABCDEF± GC EF丄平面HCG平面EFG_平面HCG HG!這兩個

12、垂直平面的交線.一一6分作0!丄HG<HGF點K由兩平面垂直的性質定理知 0!丄平面EFG所以線段0K勺長就是點B到平面EFG勺距 離.一一8分正方形ABC的邊長為4, GG2, AC=4 .,2 , H(= . 2 , HC=3 2 .在Rt HC中, HgJ3、/2 2 22 <22 .由于Rt HK和Rt HC有一個銳角是公共的，故 Rt HK®A HCGHO GC 2 22 11 Or= 一HG11即點B到平面EFG勺距離為 乙丄1 . 10分11注：未證明“ BD不在平面EFGk”不扣分.110.已知：AB與CD為異面直線，AC= BC AD= BD求證：ABL

13、 CD說明：(1)應用判定定理，掌握線線垂直的一般思路.(2) 思路：欲證線線垂直，只需證線面垂直，再證線線垂直，而由已知構造線線垂直是關鍵.(3) 教學方法，引導學生分析等腰三角形三線合一的性質構造圖形，找到證明方法.證明：如圖，取 AB中點E,連結CE DE AC= BC E 為 AB中點. CEL AB同理 DEL AB 又 CE? DE= E,且CE 平面CDE DE 平面CDE又CD平面CDE A吐 CD111. 兩個相交平面、都垂直于第三個平面證明：在取一點P,過P作PA垂直與丄且丄 PA丄且 PBL PA丄 a 且 PBL a a丄112. 在立體圖形P- ABC曲，底面ABCD

14、I正方形,，那么它們的交線 a 一定和第三個平面垂直.PA!底面 ABCD P4 AB Q是PC中點.AC BD交于0點.(I)求二面角 Q- BD- C的大小：(H)求二面角 B- QD- C的大小.11解析：(I)解：連 Q0貝U QQ PA且QO - PA=丄AB22/ PA丄面 ABCD QOL面 ABCD面QBE過QO面 QBI1 面 ABCD故二面角 Q- BD- C等于90°.(H)解：過O作OhlQD垂足為H,連CH面 QBL面 BCD又 CCL BDQDCCL面 QBDCH在面QBD勺射影是OH/ OHL QD CHL QD于是 / OHC!二面角的平面角.設正方形

15、ABCD邊長2, 則 OQ= 1, OD= . 2 , QD= ,3 .OH- QD= OQ ODOH=又 OC=2在 Rt COH中: tan / OH&OCOH/ OHG 60 °故二面角B- QD- C等于60°113.如圖在 ABC中，AD 丄 BC ED=2AE 過 E作 FG/ BC且將 AFG沿 FG折起,使/ A'ED=60°，求證:A'E丄平面 A'BC解析：弄清折疊前后，圖形中各元素之間的數量關系和位置系。解:/ FG/ BC, ADL BC A'E 丄 FG A'E 丄 BC設 A'E=

16、a，則 ED=2a由余弦定理得：A'D 2=A'E2+ED-2? A'E? EDcos60°=3a2 ED=A'D2+A'E2 A'D 丄 A'E A'E丄平面 A'BC114. a、卩是兩個不同的平面， m n是平面a及卩之外的兩條不同直線，給出四個論斷：mL n,a丄卩，n丄卩，mL a.以其中三個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一 個命題，并證明它.解析：mha, n丄卩，a丄卩mL n （或 mL n, mL a , n丄卩 a丄卩）證明如下：過不在 a、卩的任一點 P,作PM/ m

17、 PN/ n過PM PN作平面r交a于MQ交卩于NQmPMPM MQ,PM /m同理PNL NQ因此/ MPI4Z MQN=°,故/ MQN= 90 °/ MPN= 90即a丄卩mL n.115.已知:a , a 丄 y,卩丄 Y, b/a, b/®.求證：a丄丫且b丄y 解析：在a上任取一點P,過P作PQL r.卩丄 r, PQ ,PQ PQ與a重合，故a丄r.過b和點P作平面S,則S和a交于PQ, S和卩交于PQ,/ b / a , b / 卩 b / PQ,且 b / PQ.于是PQ和PQ與a重合，故b / a，而a丄r， b丄r.116.已知PA丄矩形 A

18、BCD所在平面，且 AB= 3, BC= 4, PA= 3,求點P到CD和BD的距離. 解析：T PA丄平面 ABCD AD丄CD且CD 平面ABCDPD丄CD(三垂線定理)在 Rt PAD中, PD= . PA2 AD 2 = . 32 42 = 5.又作PH丄BD于 H,連結AH,由三垂線定理的逆定理,在 Rt ABD中 ,AH=AB AD _ 12BD5r2369在 Rt PAH中 ,PH=、PA2 AH 2 =32125.5有AHL BD這里，PH為點P到BD的距離.117.點P在平面ABC的射影為 Q且PA PB PC兩兩垂直，那么 0是厶ABC的()(A)心(B)外心(C)垂心(D

19、)重心解析：由于PCL PA PCL PB所以PC丄平面PAB PCI AB又P在平面ABC的射影為Q連CQ則CO是 PC在平面ABC的射影，根據三垂同理可證AOL BC 0是厶ABC的垂心，答案選 C.118.如圖02，在長方體 ABCD- ABCD中，P、Q R分別是棱 AA、BB、BC上的點，PQ/ AB CQ丄PR求 證：/ DQf=90°證明： PQ/ AB AB丄平面BC, PQL平面BC, QR是 PR在平面BC的射影.根據三垂線定理的逆定理，由CQL PR得 GQ! QR又因D C丄平面BC,則CQ是 DQ在平面B C的射影，根據三垂線定理，由 C Q丄QF得QR_

20、D Q/ DQF=90°1 19.在空間四邊形 ABC呼,已知AC BD AD BC 求證：AB CD解析： 1、條件ACBD ADBC可以看作斜線 AD AC與平面BCD勺直線的位置關系，從而聯想到用三 垂線定理或其逆定理證明命題。2、如何找斜線在平面的射影，顯然是過A點作直線垂直于平面 BCD這樣斜線與直線的位置關系，通 過射影與直線的位置關系判定。證明： 過A點作AO垂直于平面 BCD于 O連 BQ CO DO AO 平面 BCD AC BDCO BD/ AO 平面 BCD AD BC DO BC OBCD勺垂心 BO CD AB CD120.如圖,在空間四邊形 SABC中 ,

21、 SA平面ABC ABC= 90 , AN SB于N, AM SC于M 求證:AN BC; SC平面ANME解析：要證AN BC 轉證，BC平面SAB要證SC平面ANM轉證,SC垂直于平面 ANM勺兩條相交直線,即證SC AM SC AN要證SC AN轉證 AN平面SBC就可以了。證明： SA平面ABC SA BC又 BC AB 且 AB SA = A BC平面SAB AN 平面 SAB AN BC AN BC AN SB 且 SB BC= B AN平面SBC/ SCC平面 SBC AN SC又 AM SC 且 AM AN= A SC平面ANM121. 已知如圖，P 平面 ABC PA=PB=

22、PCZ APB玄 APC=60 , / BPC=90 求證：平面 ABCL平面 PBC解析：要證明面面垂直，只要在其呈平面找一條線，然后證明直線與另 平面垂直即可。顯然 BC中點D,證明AD垂直平PBC即可證明：取BC中點D連結AD PD/ PA=PB / APB=60 PAB為正三角形同理 PAC為正三角形設 PA=a在 RTA BPC中, PB=PC=aBC= .2aPD=，在 A ABC中2AD= .ABBD/ aD+p&=a2=aPA APD為直角三角形即AD丄DP 又 AD丄 BC AD丄平面PBC平面ABCL平面PBC122. 如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的

23、交線也垂直于這個平面。已知：B丄a, 丫丄a,B丫 =a求證：a丄a解析：利用線面垂直的性質定理證明：設a3 =AB,a 丫 =CD在平面B作L1丄AB在平面丫作L1丄CDa丄L1丄a同理L2丄aL1/L2L1 3L1/a- a 丄a123. 已知SA SB SC是共點于 S的且不共面的三條射線，/BSAN ASC=45 , / BSC=60，求證：平面BSAL平面 SAC解析：先作二面角B-SA-C的平面角，根據給定的條件，在棱S上取一點P,分別是在兩個平面作直線與棱垂直C證明：在SA上取一點P過 P 作 PRL SA交 SC于 R過P作PQL SA交SB于Q/ QPF為二面角 B-SA-C

24、的平面角設PS=a/ PSQ=45，/ SPQ=90 PQ=a SQ=/2 a同理 PR=a sr=72 a/ PSQ=60 , SR=SQ= 2 a RSQ為正三角形則 RQ=、2 a / pR+pQ=2a2=QR/ QPQ=90二面角 B-SA-C 為 90°平面 BSAL平面 SAC124.設 S 為 ABC 平面外的一點，SA=SB=SC ASB 2 , BSC 2 , ASC 2，若2 2 2sin sin sin ，求證：平面 ASC 平面ABC解析：(1)把角的關系轉化為邊的關系(2)禾U用棱錐的性質(三棱錐的側棱相等，則頂點在底面上的射影為底面三角形的外心)證明：設D

25、為AB的中點SA SBASDsinADSAAB2SABC .AC冋理sin,sin2SB2SCSA SB SC 且 si n2si n2si n2AB2 BC2 AC2即 ABC為Rt ABC且S在平面上的射影 O為 ABC的外心 則O在斜邊AC的中點。SO 平面ABCSO 平面SAC平面ASC平面ABC125. 兩個正方形 ABC和ABEF所在的平面互相垂直，求異面直線AC和BF所成角的大小.解析：作BP/ AC交DC延長線于P,則/ FBR或補角)就是異面直線 BF和AC所成的角，設正方形邊長為a, 廠1PF 6a在厶BPF中，由余弦定理得 cos FBP ，異面直線 AC和BF成60&#

26、176;角.2126. 二面角a - a- 3的值為e (0 ° < e <180° )，直線I丄a,判斷直線l與平面卩的位置關系，并證明 你的結論.解析：分兩種情況，e =90°, e 90°當BM90°時，I必與卩相交，也可用反證法證明.127. 已知平面a丄平面卩，交線為AB C, DAB AC BC 4J3 , E為 BC的中點，ACL BD BD= 8.求證：BDL平面 求證：平面 AEDL平面BCD 求二面角 B- AC D的正切值.解析：AB是AC在平面卩上的射影，由 ACL BD得 AB丄BDa 丄卩.二 DBL a

27、 .由AB=AC且E是BC中點，得 AE! BC又AE! DB故AE!平面BCD因此可證得平面 AEDL平面BCD在 Rt BFD中, tg BFDBD 4BF 3128.如圖， ABCA DBC所在的兩個平面互相垂直，且AB=BC=BD / ABC/DBC120。，求(1) A、D連線和直線BC所成角的大小；二面角A- BD- C的大小解析：在平面ADC乍AHL BC H是垂足，連 HD因為平面ABCL平面BDC所以AHL平面BDC HD是 AD在平面BDC勺射影.依題設條件可證得 HDL BC由三垂線定理得 ADL BC即異面直線 AD和 BC形成的角為90°在平面BDC乍HFL

28、 BD R是垂足，連 AR HR是 AR在平面BDC的射影，二 AFL BD / ARH是二面角 A BDC的平面角的補角，設 A事a,可得，AH設F是AC中點，連BF, DF.由于 ABC是正三角形，故 BFL AC又由DBL平面a ,貝U DFLAC / BFD 是二面角 B- AC D的平面角，tg ARH 如 2.HR面角 A BD- C的大小為n arctg2 .129.正方體ABCD- ABCD中，E、F分別是BB, CC的中點，求異面直線 AE和BF所成角的大小.解析：取DD的中點G可證四邊形 ABFG是平行四邊形，得出 BF/ AGGEB1D1.2a, AEAG5 a .2在厶

29、AEG中,由余弦定理得cosGAE2AG AE2 22 GE2554412 AGAE2 j_5 _552 2GAE1 arccos.5則/ GAE是異面直線AE與BF所成的角連 GF,設正方體棱長為 a,130.矩形ABCD AB=3, BC=4沿對角線BD把厶ABD折起，使點A在平面BCD上的射影 A'落在BC上，求.面角A-BD-C的大小的余弦值.E 4團5A0 =AB* ADBD0Ay 二匚'E =E 匚厶CED*而BC =BDtgZCBB = 2720在 Rt AA O中，/ AA 0=90°,AO 16所UXcosZAOA j-即所求的二面角A - ED -

30、 C的大小的余弦值為:.10131. 已知：如圖12, P是正方形 ABCD所在平面外一點， PA=PB=PC=PD=aAB=a求：平面APB與平面CPD相交所成較大的二面角的余弦值.m 12分析：為了找到二面角及其平面角，必須依據題目的條件，找出兩個平面的交線.解：因為 AB / CD CD U平面CPD AB英平面CPD所以 AB /平面CPD又 P 平面 APB 且P平面 CPD因此平面APBA平面 CPD=I,且P l .所以 二面角B-I-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一個二面角.因為 AB /平面 CPD AB 1平面 APB 平面 CPDT平面 APB=I ,所以 AB

31、 / I .過 P 作 PEL AB, PEL CD因為 I / AB/ CD因此PE 丄 l , PF丄 l ,所以/ EPF是二面角B-l-C的平面角.因為PE是正三角形APB的一條高線，且 AB=a,所以羽PE = a.2同理9=密因為E, F分別是AB, CD的中點，所以EF=BC=a.cosZEPFFEPF' -EF*2 冥 FExPF在厶EFP中,所以平面APE禾呼面CPL4目交所成較大的二面角的余弦值為-132.在四面體 ABCD中，AB= AD= BD= 2, BC= DC= 4，二面角 A BD- C的大小為60°,求 AC的長.解析：作出二面角A BD-

32、C的平面角1在棱BD上選取恰當的點1AB= AD BC= DC解：取BD中點E,連結AE EC/ AB= AD BC= DC AE± BD ECL BD / AEC為二面角 A- BD- C的平面角 / AEC= 60 °AD= 2 , DC= 4AE= .3 , EC= .15據余弦定理得：AO 18 3 5 133.河堤斜面與水平面所成角為60°,堤面上有一條直道 CD它與堤角的水平線 AB的夾角為30°,沿著這條直道從堤角向上行走到10米時，人升高了多少（精確到 0.1米）？解析：已知所求II河堤斜面與水平面所成角為60°E到地面的距離利

33、用E或G構造棱上一點F以EG為邊構造三角形解：取CD上一點E,設CE= 10 m，過點E作直線AB所在的水平面的垂線 EG垂足為 G則線段EG的長 就是所求的高度.在河堤斜面，作 EF丄AB垂足為F,連接FG由三垂線定理的逆定理，知FGL AB因此，/ EFG就是河堤斜面與水平面 ABG所成的二面角的平面角，/ EFG= 60 °由此得：EG= EFsin60 °=CEsin30 ° sin60=10x 1 x 3 4.3 (m2 2答：沿著直道向上行走到10米時，人升高了約 4.3米.卩的距離分別為a, b.求：P到棱134.二面角a a卩是120 °

34、的二面角，P是該角的一點.P到a a的距離.解析:設PAL a于A PB丄卩于B.過PA與PB作平面r與a交于AQ與3交于OBPAL a , PEL 3，二 a 丄 PA 且 a丄 PBa丄面r , a丄PO PO的長為P到棱a的距離.且/ AOB是二面角之平面角，/ AOB=120 / APB= 60 ° , PA = a , PB = b .AB v'a2 b2 2abcos60<'a2 ab b2ABsin APBPO，PO 甘 a2 ab b2 .135.如圖，正方體ABCB A1B1CD 中,E、F分別為AB CC的中點，則異面直線AC與EF所成角的余

35、弦值(A)于(B)丄3解析：選哪一點，如何作平行線是解決本題的關鍵，顯然在EF上選一點作AC的平行線要簡單易行，觀察圖形，看出F與AQ確定的平面 ACC 恰是正方體的對角面，在這個面，只要找出AC的中點0,連結OF這條平行線就作出了，這樣，/ EFO即為異面直線 AC與EF所成的角.容易算出這個角的余弦值是2，答案選B.3136.在60°的二面角 M-a- N有一點P, P到平面M、平面N的距離 分別為1和2,求P點到直線a的距離.解析：本題涉及點到平面的距離，點到直線的距離，二面角的平面角 等概念，圖中都沒有表示，按怎樣的順序先后作出相應的圖形是解決 本題的關鍵可以有不同的作法，下

36、面僅以一個作法為例，說明這些 概念的特點，分別作 PAL M M是垂足，PBL N, N是垂足，先作了兩 條垂線，找出P點到兩個平面的距離，其余概念要通過推理得出：于301便02是PA PB確定平面a，設a n M=AC a n N=BC c a.由于PALM貝U PAL a,同理PB丄a,因此a丄平 面a,得a丄PC這樣，/ ACB是二面角的平面角， PC是P點到直線a的距離，下面只要在四邊形 ACBP2< 21利用平面幾何的知識在厶 PAB中求出AB再在 ABC中利用正弦定理求外接圓直徑 2R=，即為P點到直線a的距離，為2-21137.已知空間四邊形 ABCDK AB = BC =

37、CD= AD = BD = AC E、F分別為 AB CD的中點,(1) 求證：EF為AB和CD的公垂線(2) 求異面直線AB和CD的距離解析：構造等腰三角形證明 EF與AB CD垂直，然后在等腰三角形中求 EF解；連接 BD和 AC AF和 BF, DE和 CE設四邊形的邊長為 aAD= CD= AC= a ABC為正三角形DF= FCAF DC且 AF=-a2同理BF= A2BF FA即厶AFB為等腰三角形在厶AFB中，/ AE = BE FE AB同理在 DEC中EF DC EF為異面直線AB和CD的公垂線在 AFB中/ EF AB且 AFAE -AB 丄aa '22EF . A

38、F2 AE2a2EF DC,EF ABEF為異面直線 AB和CD的距離AB和 CD的距離為厶2.正方形ABCD中，以對角線 BD為折線，把 ABD折起，使二面角 Ax -BD-C為60°,求二面角 B-A x C-D 的余弦值解析：要求二面角B-Ax C-D的余弦值，先作出二面角的平面角，抓住圖形中Ax B=BCA，D=DC的關系，采用定義法作出平面角/ BED（E 為AC的中點）然后利用余弦定理求解解：連BD AC交于0點貝U A' 0丄 BD COLBD / A' OC為二面角 A' -BD-C的平面角 / A' OC=60設正方形ABCD勺邊長為

39、a A O=OC=4a2/ A OC=60Ca2取A C的中點，連DEBE/ A B=BC BEL A C同理DEI A C/ DEB為二面角 B-A' C-D的平面角在 BA C中BE= BA2 AE2a2、14a4同理de4 a4在 A BED中, BD已 2a2 2BE DE cos Z BED=2BE ?DEBD2、14a414a422a面角B-A' C-D的余弦值為-丄7.如圖平面SACL平面ACB A SAC是邊長為4的等邊三角形，A ACB為 直角三角形，Z ACB=90 , BC=4j2，求二面角S-AB-C的余弦值。解析：先作出二面角的平面角。由面面垂直可得線

40、面垂直，作SD丄平面ACB然后利用三垂線定理作出二面角的平面角解：過S點作SD丄AC于D,過D作DM丄AB于M 連SM 平面SACL平面ACB SD丄平面ACB SMLAB又 DML AB Z DMS為二面角S-AB-C的平面角在 A SAC中 SD=4X在 A ACB中過C作CHL AB于H/ AC=4, BC=4、.2 AB=4、. 3/ S=1/2AB CH=1/2AC- BCAC?BC 4?4 一 24 一 2-CH=AB 4屈 品/ DM/ CH且 AD=DC DM=1/2CH= '3/ SD丄平面 ACB DM 平面 ACB SDL DM在 RTA SDM中SM= SD2

41、DM 2 cos / DMS=dMSM140.已知等腰 ABC中, AC= BC= 2 ,ACB= 120都等于4，求直線PC與平面ABC所成的角。ABC所在平面外的一點 P到三角形三頂點的距離解析：解：設點P在底面上的射影為 0,連OB OC則OO PC在平面ABC勺射影， PCC是 PC與面ABC所成的角。/ PA= PB= PC點P在底面的射影是 ABC的外心，注意到 ABC為鈍角三角形，點0在 ABC勺外部, / AC= BC 0是 ABC的外心, 0CXAB在 0BC中, 0C= OBOCB= 60OBC為等邊三角形， 0C= 2在 Rt POO中, cos PCOOCPCPB, P

42、A丄 a，且 PA=AD MN依次PCO= 60。141.如圖在二面角 a - l- B 中，A、Ba, C、D l , ABCD為矩形, 是AB PC的中點求二面角a - l - B的大小求證明：MNL AB求異面直線PA與MN所成角的大小解析： 用垂線法作二面角的平面角 只要證明AB垂直于過MN的一個平面即可過點A作MN的平行線，轉化為平面角求解解：連PD/ PAla, AD丄 I PD丄 I / PDA為二面角a - I- B的平面角在RTA PAD中/ PA=PD/ PDA=45二面角 a - I - B 為 45°設E是DC的中點，連ME NE/ M N E分別為AB PC

43、 D的中點 ME/ AD, NE/ PD MEL I , NEL I I丄平面MEN/ AB/ I AB丄平面MEN/ MN 平面 MNE MN AB設Q是DP聽中點，連NQ AQ貝U NQ/ DC 且 NQ=1/2DC/ AM/ DC 且 AM=1/2AB=1/2DC QN/ AM QN=AM QNM為平行四邊形 AQ/ MN / PAQ為PA與MN所成的角設 VA= a，則 VA=VC= AC= a， VO在 Rt VO沖，sinVBOVBa2/ PAQ=45即PA與 MN所成角的大小為45 °142.如圖： ABC的 ABC 90 , V是平面ABC外的一點，VA= VB= V

44、C= AC 求VB與平面 ABC所成的 角。解析：1、要求VB與平面ABC所成的角，應作出它們所成的角。2、要作出VB與平面ABC所成的角，只要找出VB在平面ABC的射影就可以了。3、 作斜線在平面的射影，只要在斜線上找一點作直線垂直于平面，即找此點在平面的射影，顯然找V點,V點在平面的射影在何處？由條件可知，射影為 ABC的外心。解：作V0平面ABC于Q 則0B為VB在平面ABC的射影， VBC為VB與平面ABC所成的角。連OA OB 0C則OA OB 0C分別為斜線段 VA VB VC在平面ABC的射影。VA= VB= VC OA= OB= OC OABC為外心 ABC為直角三角形，且AC

45、為斜邊r O為AC的中點VBO= 60 VB與平面ABC所成的角為60。143.已知：平面a門平面卩=直線a. 平行于直線b.3同垂直于平面Y,又同求證：（I舊丄丫；（n）匕丄丫.證明：證法一（I ）設aQ Y =AB卩n Y =AC在Y任取一點P并于丫作直線 PMIL AB PN丄AC 1 分 PMIL a .而 a a , PML a.同理PNL a.又 PM y , PN- a丄 y (n )于a上任取點Y丄a,4分Y ,6分Q過b與Q作一平面交a于直線 ai,交B于直線a2.7分同理b II a2.8分/ ai, a2同過Q且平行于b,/ ai, a2重合.又 ai a , a23 ,

46、 ai, a2都是a、3的交線，即都重合于 a.10分/ b I ai,. b/ a.而a丄y , b丄 y i2 分注：在第n部分未證明b/ a而直接斷定b丄丫的，該部分不給分.證法二（I ）在a上任取一點P,過P作直線a'丄y i分T a 丄 y, P a,同理a' 卩.一一3分可見a'是a,卩的交線.因而a'重合于a.5分又a'丄丫，a丄 丫.6 分(n )于a任取不在a上的一點，過b和該點作平面與 d.t b II a , b II 3 . b I c, b/ d.刃該點作平面與咬于直線一同進過作平面與a交于直線c .同法過b作平面與3交于直線7分又 c 3 , d 3,可見c與d不重合.因而c / d.于是c / 3 .c I 3 , c a , aA3 =a,c / a.10 分b I c, a/ c, b 與 a 不重合(b a, a a ),b I a.11 分12分注：在第n部分未證明 b/ a而直接斷定b丄丫的，該部分不給分.144.設 S 為 ABC 平面外的一點，SA=SB=SC ASB 2 , BSC 2 , ASC 2，若2 2 2sin sin sin ，求證：平面 ASC 平面ABC 解析：(1)把角的關系轉化為邊的關系(2)利用棱錐的性質(三棱錐的側棱