1、二次函數與一元二次方程（二）一、學生知識狀況分析學生的知識技能基礎：學生在上學期學習了用多種方法求解一元二次方程的根，其中有因式分解法、配方法、求根公式法，通過這些方法他們可以準確的求出方程的根。在上節課，他們學習了通過觀察二次函數圖象與x軸的交點個數，來討論一元二次方程的根的情況；理解了一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函數y=ax2+bx+c 與直線y=h（h是實數）圖象交點的橫坐標。這些知識基礎完全可以使他們很好的完成本節課的學習目標。學生活動經驗基礎：學生在本章第4節學習了“二次函數y=ax2+bx+c的圖象”，其間他們學習了用列表、描點的方法畫出拋物線。上節課他們又學習了利

2、用“數”與“形”兩種方法來研究二次函數與一元二次方程關系的問題，因此他們積累了一定的數形結合思想運用的認識經驗，這些經驗可以讓他們很好的理解本節新課的學習任務。二、教學任務分析本課的具體學習任務：進一步體會二次函數與一元二次方程之間的聯系；通過觀察二次函數圖象與x軸的交點，估計對應的一元二次方程的根的取值，進一步培養學生運用“數形結合”思想解決問題的能力;由于學生明白了一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函數y=ax2+bx+c 與直線y=h（h是實數）圖象交點的橫坐標，學生在知識準備上，他們已經有了較充分的準備。本節課就是對上節課從實踐方面對二次函數與一元二次方程關系進行一次體驗。教

3、師在課堂上只需要通過新課前的熱身練習題組，由易到難的設問，讓學生回顧上節課的學習內容，再通過挑戰性的語言，讓學生對本節新課充滿期待和探索的欲望。在想一想、填一填、議一議、試一試等活動中，讓他們體驗到數學活動充滿著探索與創造，從而感受數學的理論學習最終要落實到實踐應用上。本節課的教學目標是：知識與技能1鞏固理解二次函數圖象與x軸交點的橫坐標就是方程ax2+bx+c=0的根；2鞏固理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函數y=ax2+bx+c 與直線y=h（h是實數）圖象交點的橫坐標過程與方法1經歷一元二次方程ax2+bx+c=0的根的近似值的探索得到的過程；2經歷一元二次方程ax2+b

4、x+c=h的根的近似值的探索得到的過程。情感態度與價值觀1通過對一元二次方程根的近似值探索過程，進一步體會二次函數與方程之間的聯系三、教學過程分析本節課設計了六個教學環節：仔細觀察、大膽聯想；課前熱身、耐心填一填；用心想一想、馬到成功；教材題變形、拓展提高；大膽嘗試、練一練；課堂小結；課內外提高、布置作業。第一環節 仔細觀察、大膽聯想問題：函數y = ax2 +bx +c的圖象如下圖所示，x= 為該圖象的對稱軸，根據圖象 信息你能得到關于系數a，b，c的一些 -1 1什么結論？ -1分析點撥： a0 -1c0 b2-4ac0; x= , 2a=-3b; 由，(4)得b0 由,得 abc0; 考

5、慮x = 1時y0，所以有a+b+c0 又x = -1 時 y0，所以有a-b+c0; 考慮頂點的縱坐標，有0c-1。 活動目的：通過一道開放性的訓練題，來訓練學生由“形”到“數”的形數結合能力，由于結論開放，可以考察出不同層次學生的思維能力，觀察問題的是否仔細、全面。教學中先給學生獨立思考的時間，再小組議論的形式，借此培養學生合作探究、相互交流、取長補短的合作意識和團隊精神。實際教學效果：由于本練習題思考解決的入手點的多樣性，學生回答問題的積極性很高，小組間的議論很熱烈。教學中，我開展了看哪個小組得到的結論多的活動，同學們之間、學習小組之間的競爭氣氛被很好的調動起來。有的小組得到了5個結論，

6、有的小組得到了6個結論，我及時帶領同學再認真從不同角度審圖，精簡點撥之后，又有些小組受到啟發，踴躍搶答。當同學們回答完我事先準備好的答案后，他們還提出了另一些結論：如a+2b+4c0，2等。課堂的氣氛被學生精彩的回答渲染的非常熱烈。-11-1第二環節 課前熱身、耐心填一填活動內容： 1. 拋物線y=ax2bxc經過點（0，0）與（12，0），最高點縱坐標是3，求這條拋物線的表達式_ . 2若a0，b0，c0，0，那么拋物線y=ax2bxc經過象限3. 在平原上，一門迫擊炮發射的一發炮彈飛行的高度y（m）與飛行時間x（s）的關系滿足y=x210x（1）經過_時間，炮彈達到它的最高點？最高點的高度

7、是_？（2）經過_秒，炮彈落在地上爆炸？4.一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函數y=ax2+bx+c的圖象拋物線與直線_交點的_坐標。5.一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函數y=ax2+bx+c的圖象拋物線與直線_交點的_坐標 .活動目的：教學第二個環節課前熱身訓練準備利用5分鐘時間讓學生盡快進入到學習新知識的準備中來。問題（1）的設置解題入手方向有三個，可以分別從一般式、頂點式、交點式考慮解決。以此來鞏固學生求二次函數解析式的分析、運算能力。問題（2）是考察學生對二次函數系數a、b、c、如何決定拋物線圖象位置，培養學生從“數”到“形”的探究能力。問題（3）是對上節課知

8、識內容的復習，考察學生對二次函數與一元二次方程關系的理解是否準確。問題（4）、（5）即作為對上節課內容的回顧，又為引入本節新課作好了鋪墊。實際教學效果： 學生對第（1）小題的解答確實出現了三種解法，由于時間有限，我沒有做詳細點評，只是提示了可以用三種方法得到，但三種方法的簡潔程度的確不同。第（2）小題從已知a、b、c的條件只能判斷出圖象的開口、對稱軸的位置，還不能判定頂點的位置，但學生很容易聯想到上節課學習的0可以決定圖象與x軸有兩個交點的結論，最終較準確判斷出拋物線的位置。第（3）小題由于是上節課例題的簡單變形，學生通過變形為頂點式和解方程很快的得到結論。第（4）（5）小題考察學生對上節課學

9、習內容的理解，在實際教學中，他們大多能夠準確回答出，為隨后的新課作好了引如的準備。第三環節 用心想一想，馬到功成活動內容：你能利用二次函數的圖象估計一元二次方程x2+2x-10=0的根嗎？分析解答：(1) 用描點法作二次函數y=x2+2x-10的圖象(2) 觀察估計二次函數y=x2+2x-10的圖象與x軸的交點的橫坐標；由圖象可知：圖象與x軸有兩個交點,其橫坐標一個在-5與-4之間,另一個在2與3之間,分別約為-4.3和2.3.(3) 確定方程x2+2x-10=0的解;由此可知,方程x2+2x-10=0的近似根為:x1-4.3,x22.3活動目的： 這一環節是本節新課的重點內容，例題的設計意圖

10、一是讓學生鞏固對二次函數圖象拋物線的形成的認識，其二主要是讓他們運用二次函數圖象與x軸交點的橫坐標就是方程ax2+bx+c=0的根的原理，經歷一元二次方程根的近似值探索過程，進一步體會二次函數與方程之間的聯系。 實際教學效果：在帶領學生回顧二次函數圖象與x軸交點的橫坐標就是方程ax2+bx+c=0的根的原理之后，我引導學生明確了除應用求根公式計算二次方程的根之外，還可以利用畫二次函數圖象與x軸的交點求二次方程的根。起初學生不明白為什么能用求根公式很快計算出根來，偏偏還要用畫圖的方法。此時，我向同學們解釋說，用求根公式求解是體現數形結合思想中“數”的一面，我們現在準備利用“形”的一面來解題。于是

11、學生便饒有興趣的思考下去了。利用列表、描點畫拋物線的方法學生顯的比較陌生了，我就在黑板上邊啟發、邊示范、邊講解，取自變量之前，最好先把一般式轉化為頂點式，先找出頂點的橫坐標，再在它左右等距離取不同的自變量值，然后分別求出對應的縱坐標值。在坐標系中描出各個點后，用光滑的曲線連接即成草圖。在觀察估計二次函數y=x2+2x-10的圖象與x軸的交點的橫坐標時，由于畫圖誤差，觀察數據與實際值有較大偏差。此時我向同學們提出一個問題：“如何更準確的估計出根的取值？如果精確到十分位，那么到底近似值取-4.1、-4.2、-4.3、-4.4、-4.5、-4.6、-4.7、-4.8、-4.9中的哪一個更準確呢？”我

12、故意把這9個數值在黑板上一一列出來，學生馬上想到可將-4到-5之間的單位長再十等分,把這9個自變量值分別代入函數中，借助計算器確定哪一個的函數值最接近0，那么它就是根的近似值。教學中雖然我發現了學生普遍感覺到這種方法很麻煩，但在探索求根的近似值的過程中，有必要讓他們感受到數學探索的過程并不是總充滿樂趣，有時還是很艱辛的。第四環節 教材題變形，拓展延伸活動內容：利用二次函數的圖象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.分析解答：(1) 用描點法作二次函數y=x2+2x-10的圖象(2) 作直線y=3；(3) 觀察估計拋物線y=x2+2x-10和直線y=3的交點的橫坐標；由圖象可知,它們有兩個

13、交點,其橫坐標一個在-5與-4之間,另一個在2與3之間,分別約為-4.7和2.7.(4) 確定方程x2+2x-10=3的解;由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根為:x1-4.7,x22.7活動目的： 鞏固學生理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函數y=ax2+bx+c 與直線y=h（h是實數）圖象交點的橫坐標這一代數原理，培養學生熟練畫函數圖象的能力，提高運算的準確性和熟練使用計算器的能力。由于要列表、取值計算、描點的工作量較大，教學中我組織了學生在學習小組內合作、分工來完成，借此培養學生合作意識。實際教學效果：學生經過前一例題的學習，他們都躍躍欲試。我知道要完整給出圖象解法

14、是很費時間的，于是我組織了小組間的畫圖競賽，看哪個小組完成的又好又準確。學習小組之間首先設計好解題思路，列表、取點、計算、描點、連線。當他們發現左邊的交點橫坐標在-5到-4之間時，模仿例題的方法也對將單位長進行了十等分,借助計算器求出了函數值，起初他們發現值都在3的左右而不是0時有些迷惑，隨后便恍然大悟。看到他們完全沉浸在數學探索、發現的樂趣中的樣子，我心理很欣慰。在小組成果對比中，同學們發現有個小組的圖象和別人的不同，起初有些議論，我就請了這個小組的成員上了講臺發言。原來他們把方程x2+2x-10=3轉化成了x2+2x-13=0，這樣問題就轉化成前面已經解決了問題了。附創新解法2：(1) 原

15、方程可變形為x2+2x-13=0；(2) 用描點法作二次函數y=x2+2x-13的圖象(3) 觀察估計拋物線y=x2+2x-13和x軸的交點的橫坐標；由圖象可知,它們有兩個交點,其橫坐標一個在-5與-4之間,另一個在2與3之間,分別約為-4.7和2.7。(4) 確定方程x2+2x-10=3的解;由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根為:x1-4.7 ，x22.7同學們明白了這種解法的簡潔原因，我也不失時機的向全班同學強調了數學學習中“化陌生為熟悉、化繁為簡”的化歸思想的重要性。第五環節 大膽嘗試、練一練活動內容：問題1：利用二次函數的圖象求一元二次方程-2x2+4x+1=0的近似根分析解答

16、：1)用描點法作二次函數y=-2x2+4x+1的圖象；2)觀察估計二次函數y=-2x2+4x+1的圖象與x軸的交點的橫坐標；由圖象可知,圖象與x軸有兩個交點,其橫坐標一個在-1與0之間,另一個在2與3之間,分別約為-0.2和2.2(3) 確定方程x2+4x+1=0的解;由此可知,方程x2+4x+1=0的近似根為:x1-0.2, x22.2問題2：利用二次函數的圖象求一元二次方程3x2-x=1的近似根.分析解答：(1) 原方程可變形為3x2-x-1=0；(2) 用描點法作二次函數y=3x2-x-1的圖象(3) 觀察估計拋物線y=3x2-x-1和x軸的交點的橫坐標；圖象可知,圖象與x軸有兩個交點,

17、其橫坐標一個在-1與0之間,另一個在0與1之間,分別約為-0.4和0.8.（4） 可估計x1-0.4, x20.8 活動目的：本環節是考察同學們是否理解了用圖象法求方程根的方法，能否快速準確的利用圖象探求方程根的近似值，觀察他們是否能自覺利用化歸思想把復雜問題轉化簡單情況解決。實際教學效果：在課堂巡視觀察中，學生基本上掌握了用圖象法估計方程根的方法，對第（2）小題也都能自覺轉化為簡單情況加以解決，說明學生基本上都掌握了本節課的學習任務。但他們也表示以后真的碰到這個問題時，他們準備先用求根公式把根計算出來，估計出根的近似值，再同時畫出圖象會更加快捷一些。第六環節 歸納小節、說一說活動目的：鼓勵學生結合本節課的學習談一談他們對二次函數與一元二次方程的關系的認識，通過學生的發言，觀察他們是否理解了一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函數y=ax2+bx+c 與直線y=h（h是實數）圖象交點的橫坐標，是否掌握了用畫圖象的方法來探求方程根的方法。實際教學效果：學生暢所欲言自己的切身感受與實際收獲，他們普遍認同了函數問題研究時，應該用數形結合思想從兩方面來考慮問題，說明數形結合思想在他們的數學思維中逐漸形成 。但他們也表示有的時候從“數”的一面研究比較方便，有時從“形”的一面研究問題會更