1、 .wd.一，2017·山東濟南調研如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5.(1)求證：AA1平面ABC；(2)求二面角A1BC1B1的余弦值；(3)在線段BC1上是否存在點D，使得ADA1B？假設存在，試求出的值(1)證明在正方形AA1C1C中，A1AAC.又平面ABC平面AA1C1C，且平面ABC平面AA1C1CAC，AA1平面AA1C1C.AA1平面ABC.(2)解由(1)知，AA1AC，AA1AB，由題意知，在ABC中，AC4，AB3，BC5，BC2AC2AB2，ABAC.以A為坐標原點，建立如下圖空間直角

2、坐標系Axyz.A1(0,0,4)，B(0,3,0)，C1(4,0,4)，B1(0,3,4)，于是(4,0,0)，(0,3，4)，(4，3,0)，(0,0,4)設平面A1BC1的法向量n1(x1，y1，z1)，平面B1BC1的法向量n2(x2，y2，z2)取向量n1(0,4,3)由取向量n2(3,4,0)cos .由題圖可判斷二面角A1BC1B1為銳角，故二面角A1BC1B1的余弦值為.(3)解假設存在點D(x，y，z)是線段BC1上一點，使ADA1B，且，(x，y3，z)(4，3,4)，解得x4，y33，z4，(4，33，4)又ADA1B，03(33)160，解得，0,1，在線段BC1上存在

3、點D，使得ADA1B，此時.二，如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，且四邊形ABCD為直角梯形，ABCBAD，PAAD2，ABBC1.(1)求平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值；(2)點Q是線段BP上的動點，當直線CQ與DP所成的角最小時，求線段BQ的長解以，為正交基底建立如下圖的空間直角坐標系Axyz，那么各點的坐標為B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)(1)由題意知，AD平面PAB，所以是平面PAB的一個法向量，(0,2,0)因為(1,1，2)，(0,2，2)設平面PCD的法向量為m(x，y，z)，那么m·0，m·0，即

4、令y1，解得z1，x1.所以m(1,1,1)是平面PCD的一個法向量從而cos，m，所以平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值為.(2)因為(1,0,2)，設(，0,2)(01)，又(0，1,0)，那么(，1,2)，又(0，2,2)，從而cos，.設12t，t1,3，那么cos2，.當且僅當t，即時，|cos，|的最大值為.因為ycos x在上是減函數，所以此時直線CQ與DP所成角取得最小值又因為BP，所以BQBP.三，2016·浙江卷如圖，在三棱臺ABCDEF中，平面BCFE平面ABC，ACB90°，BEEFFC1，BC2，AC3.(1)求證：BF平面ACFD；(2)求

5、二面角BADF的平面角的余弦值(1)證明延長AD，BE，CF相交于一點K，如下圖因為平面BCFE平面ABC，平面BCFE平面ABCBC，且ACBC，所以AC平面BCK，因此BFAC.又EFBC，BEEFFC1，BC2，所以BCK為等邊三角形，且F為CK的中點，那么BFCK，又ACCKC，所以BF平面ACFD.(2)解解法一：過點F作FQAK于Q，連接BQ.因為BF平面ACK，所以BFAK，那么AK平面BQF，所以BQAK.所以BQF是二面角BAD F的平面角在RtACK中，AC 3，CK2，得AK，FQ.在RtBQF中，FQ，BF，得cos BQF.所以二面角BADF的平面角的余弦值為.解法二

6、：如圖，延長AD，BE，CF相交于一點K，那么BCK為等邊三角形取BC的中點O，連接KO，那么KOBC，又平面BCFE平面ABC，所以KO平面ABC.以點O為原點，分別以射線OB，OK的方向為x軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標系Oxyz.由題意，得B(1,0,0)，C(1,0,0)，K(0,0，)，A(1，3，0) ，E，F.因此，(0,3,0)，(1,3，)，(2,3,0)設平面ACK的法向量為m(x1，y1，z1)，平面ABK的法向量為n(x2，y2，z2)由得取m(，0，1)；由得取n(3，2，)于是cosm，n.所以二面角BADF的平面角的余弦值為.四，2016·河南九校聯

7、考 (本小題總分值15分)如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，ADBC，ADCD，且ADCD2，BC4，PA2，點M在PD上(1)求證：ABPC；(2)假設二面角MACD的大小為45°，求BM與平面PAC所成角的正弦值解(1)證明：取BC中點E，連接AE，那么ADEC，ADEC，所以四邊形AECD為平行四邊形，故AEBC，又AEBEEC2，所以ABCACB45°，故ABAC，又ABPA，ACPAA，所以AB平面PAC，(4分)故有ABPC.(6分)(2)如圖建立空間直角坐標系Axyz，那么A(0,0,0)，B(2，2，0)，C(2，2，0)，P(0,0,2)，D(

8、0,2，0)(7分)設(0,2，2)(01)，易得M(0,2，22)，設平面AMC的一個法向量為n1(x，y，z)，那么令y，得x，z，即n1，(9分)又平面ACD的一個法向量為n2(0,0,1)，(10分)|cosn1，n2|cos45°，解得，(12分)即M(0，1)，(2，3，1)，而(2，2，0)是平面PAC的一個法向量，(13分)設直線BM與平面PAC所成的角為，那么sin|cos，|.故直線BM與平面PAC所成的角的正弦值為.(15分)五2016·平頂山二調(本小題總分值15分)在正三角形ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點，滿足AEEBCFFAC

9、PPB12，如圖1.將AEF沿EF折起到A1EF的位置，使二面角A1EFB成直二面角，連接A1B、A1P，如圖2.(1)求證：A1E平面BEP；(2)求二面角BA1PE的余弦值解不妨設正三角形ABC的邊長為3.(1)證明：在圖1中，取BE的中點D，連接DF. AEEBCFFA12，AFAD2，而A60°，ADF是正三角形又AEDE1，EFAD. 在圖2中，A1EEF，BEEF，A1EB為二面角A1EFB的平面角(4分)由題設條件知此二面角為直二面角，A1EBE.又BEEFE，A1E平面BEF，即A1E平面BEP.(6分)(2)建立分別以EB、EF、EA1所在直線為x軸、y軸、z軸的空

10、間直角坐標系，那么E(0,0,0)，A1(0,0,1)，B(2,0,0)，F(0，0)，P(1，0)，那么(0,0，1)，(2,0，1)，(1，0)，(1，0)(8分)設平面A1BP的法向量為n1(x1，y1，z1)，由n1平面A1BP知，n1，n1，即令x1，得y11，z12，n1(，1,2)(10分)設平面A1PE的法向量為n2(x2，y2，z2)由n2平面A1PE知，n2，n2，即可得n2(，1,0)(12分)cosn1，n2，(14分)所以二面角BA1PE的余弦值是.(15分)六2016·江蘇高考(本小題總分值20分)現需要設計一個倉庫，它由上下兩局部組成，上部的形狀是正四棱

11、錐PA1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如下圖)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍(1)假設AB6 m，PO12 m，那么倉庫的容積是多少？(2)假設正四棱錐的側棱長為6 m，那么當PO1為多少時，倉庫的容積最大？解(1)由PO12知O1O4PO18.(1分)因為A1B1AB6，所以正四棱錐PA1B1C1D1的體積V錐·A1B·PO1×62×224(m3)(4分)正四棱柱ABCDA1B1C1D1的體積V柱AB2·O1O62×8288(m3)(7分)所以倉庫的容積VV錐V柱24288312(

12、m3)(8分)(2)設A1B1a m，PO1h m，那么0<h<6，O1O4h.如圖，連接O1B1.(10分)因為在RtPO1B1中，O1BPOPB，所以2h236，即a22(36h2)(12分)于是倉庫的容積VV柱V錐a2·4ha2·ha2h(36hh3)，0<h<6，(15分)從而V(363h2)26(12h2)(17分)令V0，得h2或h2(舍)當0<h<2時，V>0，V是單調遞增函數；當2<h<6時，V<0，V是單調遞減函數故h2時，V取得極大值，也是最大值因此，當PO12 m時，倉庫的容積最大(20分)七

13、2016·北京高考(本小題總分值20分)如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD.(1)求證：PD平面PAB；(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在點M，使得BM平面PCD？假設存在，求的值；假設不存在，說明理由解(1)證明：因為平面PAD平面ABCD，ABAD，所以AB平面PAD，(3分)所以ABPD.又PAPD，所以PD平面PAB.(6分)(2)取AD的中點O，連接PO，CO.因為PAPD，所以POAD.因為PO平面PAD，平面PAD平面ABCD，所以PO平面ABCD.(8分)因為CO

14、平面ABCD，所以POCO.因為ACCD，所以COAD.如圖建立空間直角坐標系Oxyz.由題意得，A(0,1,0)，B(1,1,0)，C(2,0,0)，D(0，1,0)，P(0,0,1)(10分)設平面PCD的法向量為n(x，y，z)，那么即令z2，那么x1，y2.所以n(1，2,2)(12分)又(1,1，1)，所以cosn，.(14分)所以直線PB與平面PCD所成角的正弦值為.(15分)(3)設M是棱PA上一點，那么存在0,1，使得.因此點M(0,1，)，(16分)(1，)因為BM平面PCD，所以要使BM平面PCD，那么·n0，(18分)即(1，)·(1，2,2)0，解得

15、.所以在棱PA上存在點M，使得BM平面PCD，此時.(20分)八2016·天津高考(本小題總分值20分)如圖，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF平面ABCD，點G為AB的中點，ABBE2.(1)求證：EG平面ADF；(2)求二面角OEFC的正弦值；(3)設H為線段AF上的點，且AHHF，求直線BH和平面CEF所成角的正弦值解依題意，OF平面ABCD，如圖，以O為原點，分別以，的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，依題意可得O(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1，1,0)，C(1，1,0)，D(1,1,0)，E(1，1,2)，F(0,0,2)

16、，G(1,0,0)(2分)(1)證明：依題意，(2,0,0)，(1，1,2)設n1(x，y，z)為平面ADF的法向量，那么即不防設z1，可得n1(0,2,1)，(5分)又(0,1，2)，可得·n10，又直線EG平面ADF，所以EG平面ADF.(7分)(2)易證，(1,1,0)為平面OEF的一個法向量(8分)依題意，(1,1,0)，(1,1,2)設n2(x，y，z)為平面CEF的法向量，那么即不妨設x1，可得n2(1，1,1)(11分)因此有cos，n2，(13分)于是sin，n2.所以二面角OEFC的正弦值為.(14分)(3)由AHHF，得AHAF.因為(1，1,2)，所以，進而有H

17、，(17分)從而，因此cos，n2.(19分)所以，直線BH和平面CEF所成角的正弦值為.(20分)九2017·河北五校聯考(本小題總分值20分)如圖1所示，在四邊形ABCD中，ABCD，AB2BC2CD8，CDBC，O為AB的中點將四邊形OBCD沿OD折起，使平面OBCD平面ODA，如圖2，點E，F分別為CD，OA的中點(1)求證：DF平面AEB；(2)線段AD上是否存在一點M，使BM與平面AEB所成角的正弦值為？假設存在，請求出的值；假設不存在，請說明理由解(1)證明：如圖，取AB的中點G，連接FG，EG.又F為OA的中點，所以FGOB，又OBDE，所以FGDE.又FGOB，DEOB，所以FGDE.(3分)所以四邊形EDFG為平行四邊形，所以DFEG.又EG平面AEB，DF平面AEB，所以DF平面AEB.(7分)(2)依題意知平面OBCD平面ODA，OBOD，平面OBCD平面ODAOD，所以OB平面AOD，得OBOA.又AOOD，故以O為坐標原點，OD，OA，OB所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如下