1、考試知識點歸類及串講（一）單項選擇題一、函數部分1. 定義域（尤其是分段函數；已知一個函數的定義域，求另一個的定義域；函數的相同；反函數）如：設函數 f ( x)ln( x21),1x2x2 ,2，則 f ( x) 的定義域為（）9x3A 1 x 3 B 1 x 3C 1 x 2或 2 x 3D x1或 x 3函數 y9x2arcsin(2x 5) 定義域已知 f (2 x1) 的定義域為 0,1, 則 f (x) 的定義域為（）A 1/2,1B -1,1C0,1D -1,2設 f (1x2 ) 的定義域為1,5 ，則 f ( x) 的定義域為 _下列函數相等的是A y1, yxBy( x24

2、), yx2 x2Cyx, y cos(arccos x)D y2, y | x |xx函數 y(4x3) 2 （ x0）的反函數是 _2.函數的性質函數圖像的對稱軸（復合函數的奇偶性）函數的有界性如： f ( x)ln1x （ (1,1)內奇函數？）1x已知 f ( x) 不是常數函數，定義域為a, a ，則 g ( x)f (x)f (x) 一定是 _。A 偶函數B 奇函數C 非奇非偶函數D 既奇又偶函數下列函數中為奇函數的是_。A f (x)exe x sin 2 xBf ( x) x tan xcos x2Cf ( x)ln( xx21)Df ( x)x1x3.函數的表達式 、函數值（

3、填空）如：設 f ( x) 為 (,) 上的奇函數，且滿足f (1)a, f (x2)f ( x)f (2) ，則 f (2)_二、重要極限部分11 )lim(1)1,lim(110lim sin 3x3； lim(12)xe2 ， lim (11) xlim (11)x (11) xe 1 11x 0xxxxxxxx三、無窮小量部分1.無窮小量的性質：無窮小量乘有界仍為無窮小2.無窮小量（大量）的選擇3.無窮小量的比較（高階、低階、等價、同階）如 n時與 sin 3 1等價無窮小量是（）n如設 f ( x)sin x t 2 dt, g (x)x3x4 , 則當 x0 時， f ( x) 是

4、比 g( x) 的（）0x0時，無窮小量 2x3x2 是的（）x0時，1 x1x 是的（）4.無窮小量的等價替代四、間斷點部分1. 第類間斷點（跳躍間斷點、可去間斷點）2. 第類間斷點（ 無窮間斷點 ）如 點 x 0是函數 yx1ex 的（）1函數 f ( x)ex 1 , x 0則 x0 是（）ln(1x),1x0cosx1, x0若 f ( x)xsin0 是 f ( x) 的（）x則 xex1,x 0五、極限的局部性部分1.極限存在充要條件2.若 lim f ( x)A0(0) ,則存在的一個鄰域 U ( x0 ,) ，使得該鄰域內的任意點，有 f (x) 0( 0)x x0如 f (

5、x) 在點 xx0 處有定義，是當xx0 時， f (x) 有極限的（）條件若 f (1) 0 ， limf ( x)2 ，則 f (x) 在 x 1處（）（填 取得極小值）x1 ( x 1)2六、函數的連續(xù)性部分11.連續(xù)的定義如設 f ( x)(1 x) x , x0 在點 x0 處連續(xù)，則（）k, x0設函數 f (x)1sin x, x0 在,x內處處連續(xù)，則 =_.a, x02.閉區(qū)間連續(xù)函數性質：零點定理（方程f ( x)0 根存在及個數 ）如 方程 x4x1 0 ，至少有一個根的區(qū)間是()(A) (0, 1)(B) ( 1 ,1)(C)(2,3) (D) (1,2)22最大值及最

6、小值定理如設 f ( x) 在 a,b 上連續(xù)，且f (a)f (b) ，但 f ( x) 不恒為常數，則在(a,b) 內（）A 必有最大值或最小值B 既有最大值又有最小值C 既有極大值又有極小值D 至少存在一點使得f ( )0七、導數定義limf ( x)f (x)f(x), limf ( x)f (x0 )f ( x0 )0x x0xx0如f ( x) 在點 x1 可導，且取得極小值，則limf (12x)f (1)x0xf ( x) 存在，則 limf ( x)設f(1)0 ，且極限 lim設函數 f (x)(3t 2x 1 x1x1 2x2sin t)dt , 則 limf ( xh)

7、f ( x)x1h 0hf (a)f (ah)設 f(a)3，則 lim_.hh0已知 f (3)6 ,則 limf (3h) f (3)_.h02h求高階導數（幾個重要公式）(1)(n )(1)n n!；(sin x)(n )sin( x2n)xc( xc) n1如 設 y1x ，則 y n1x(A)2n!11 n(B)n!1n 1 C)1 n 2n!1n 1(D) 2 n!1n 1x1 x1x1x八、極值部分極值點的必要條件（充分條件），拐點的必要條件（充分條件）如 函數 yf ( x) 在點 x x0 處取得極大值，則必有（）f(x0 ) 0 或不存在設函數 yf (x) 滿足 f( x

8、)xf(x)1 ex ，若 f ( x0 )0 ，則有（）設 yf ( x) 是方程 y2 y4 y0的一個解，若f ( x0 )0, 且 f ( x0 ) 0, 則函數在有極（）值設函數 f ( x) 滿足 f ( x)3ex ，若 f (x0 )0,則有（） f (x0 ) 是 f ( x) 的極大值九、單調、凹凸區(qū)間部分f ( x)0 ，函數在相應區(qū)間內單調增加；f (x)0 ，則區(qū)間是上凹的如 曲線 yxe x3x1的上凹區(qū)間為（）(2,)曲線 yx424x26x 的下凹區(qū)間為（）十、漸近線水平漸近線 lim f (x)A , yA 為水平漸近線； limf (x)， x x0 為垂直

9、漸近線xxx0如 函數 yln x 的垂直漸近線的方程為_曲線 yex的水平漸近線為 _.x 2x31曲線 yex既有水平又有垂直漸近線？曲線 y1的鉛錘漸近線是 _.xx x2十一、單調性應用設 f (a)g( a) ，且當 xa 時， f ( x)g ( x) ，則當 xa 必有（）已知函數fx 在區(qū)間 1,1內具有二階導數， fx嚴格單調減少， 且 f 1f 11，則有(A) 在 1,1和 1,1內均有 fxx (B)在 1,1 和 1,1內均有 fx x (C)在 1,1內 f xx ，在 1,1內f xx (D) 在 1,1內 f xx ，在 1,1內 fxx十二、中值定理條件、結論

10、、導數方程的根如 函數 f ( x) x32x 在 0,1 上滿足拉格朗日中值定理的條件，則定理中的為（）設 f ( x)( x 1)(x 2)( x 3)( x4) ，則 f ( x)0 實根個數為（）設函數 f ( x) 在 a,b 上連續(xù)，且在 (a, b) 內 f( x)0 ，則在 (a, b) 內等式 f ( )f (b)f (a) 成立的 _ Aba存在 B 不存在 C 惟一 D 不能斷定存在十三、切線、法線方程如 曲線ysin 2t在 t處的法線方程為（）xcost4設函數 f ( x) 在 a,b 上連續(xù)， 在 (a, b) 內可導， 且 f (a)f (b) ，則曲線 yf

11、( x) 在 (a, b) 內平行于軸的切線 （）（至少存在一條）十四、不定積分部分1.不定積分概念（原函數）如F (x), G (x) 都是區(qū)間內的函數f ( x) 的原函數，則F (x)G ( x)C2. 被積函數抽象的換元、分部積分如 設 lnf (t)cost,則f (t)ln f (t )tlnf (t )dt t costcostdtt cost sin t ctdtf (t )若( )xf (ln x)ln x，則fxexdxf (ln x)cecx c設 f ( x) 連續(xù)且不等于零，若f ( x)dxarctan xc ，則dx(1 x2 )dx xx3cf ( x)3若 f

12、 (ex )1x, 則f (x)令 tex , xln tf (t )1ln t ，即 f (x)1ln x ，故 f ( x)x ln xc十五、定積分部分bf ( x) dxa0. 定積分的平均值：（填空）ba如設 f (x)xx) dt 求 f (x) （知道即可）1.變上限積分sin(t0令 u0f (x)sin xt x, f ( x)sin udux2. 定積分等式變形等若 f ( x) 為連續(xù)函數，則1020 f ( x)dxf (sin x) cos xdx設 f ( x) 在 2,2 上連續(xù)，則1f (2x)dx f (2 x)11 f (2x)f ( 2x)dx2f (t

13、)1/ 2dt2令 t 2x, f (t ) f (t ) f ( t)dt120設函數 f ( x) 在區(qū)間 a, b 上連續(xù)，則bf( )b()()ax dxaf t dt1| x(2 x 1) |dx0十六 廣義積分部分1.無窮限廣義積分如 廣義積分dx1111x12 x2x22 3 x1x2dx3ln | x2|22. 暇積分（無界函數的積分，知道即可）1101111 11不存在，不收斂dx1 xdxxdx 而dx ln x |01 x00 x十七、空間解析幾何部分1. 方程所表示的曲面注意：缺少變量的方程為柱面；旋轉曲面的兩個變量系數相等；拋物面、錐面可用截痕法判別如 方程： x2y

14、2z0 在空間直角坐標系內表示的二次曲面是（）旋轉拋物面在空間直角坐標系下，方程x24( y1)20 表示（）x 2( y 1) 兩條直線，所以兩個平面方程 x2y2z20 在空間直角坐標系內表示的二次曲面是（）圓錐面2. 直線與直線、直線與平面等位置關系直線x2 yz50與直線 x 1y 0z 2 的位置關系（）不平行也不垂直2xyz603354443. 數量積、向量積概念已知 | a |1,|b |5, a b3,| a b | | a | b | sin5 4454. 投影曲線方程zx2y2在 xoy 平面上的投影曲線方程 _空間曲線 C：( x2z2y2 )十八、全微分概念1.偏導數概

15、念設 f ( x, y) 在點（ a,b）處有偏導數存在，則有 lim f (ah,b)f (ah, b)limf (a h,b)f (a,b) f (a,b)f (a h, b)h 0hh0hf x (a,b)f (ah, b)f (a,b)2 fx (a, b)limhh0設函數 zx2 ln( x2y2 ), 則zx2x22 yyy22.全微分設 zexy3ln( xy), 則 dz |(1,2)dz( yexyx3 )dx( xexy3)dy dz |(1,2)(2 e21)dx (e21)dyyxy十九、二元極值部分0. 極限連續(xù) 1. 駐點 2. 極值點要使函數 f (x, y)2

16、x2y24處連續(xù)，應補充定義 f (0,0) _ 。x2y 2在點 0,0AB 41D1C44二元函數 f (x, y)4( xy)x2y2 , 則 (2, 2)是（）極大值點二十、二重積分部分1. 交換積分次序42x4y設 Idxf ( x, y) dy, 交換積分次序后， Idy y2 f ( x, y)dx,0x04積分區(qū)域注意，先畫出草圖2. 化為極坐標形式aa 2 y2f (x, y) dx 化為極坐標形式為（）2 da把積分dyf (r cos , r sin )rdr0000積分區(qū)域也是應先畫出草圖設 f ( x, y) 在上連續(xù)，則f ( x, y) d _xDAf dBf (

17、 x, y)dC 0D f ( x, y)DxD二十一、曲線積分部分（一個選擇題）1. 對弧長曲線積分 2.對坐標的曲線積分設為拋物線x 1y22 y 上從點A(1,到點B(1,的一段弧，則( eyx)dx(xey2 y)dy22 y)dye2 5(eyL0注意 1. 與路徑無關的條件即P(x, y)dxQ (x, y)dy 中有 PyQx ；L格林公式2.下限對應于起點參數是圓弧： xa cost, yasin t , a0,0t,2則 L xyds02 a costa sin t a23dta 1/ 2注意：下限一定小于上限參數二十二、級數部分1. 收斂性問題（絕對還是條件） ：常數項級數

18、；冪級數在某點收斂2. 冪級數和函數問題注意幾個函數展開式公式（看教材：六個重要公式）如 級數an ( x 1)n 在 x1 處收斂，則此級數在 x2 處（）絕對收斂n1如 冪級數2n xn的和函數為（） e2x 1、n 1 n!必要條件已知級數ln( n!)收斂，則 limln( n!)sin( n3 )33n 1nnn若 n 1 11發(fā)散，則的取值范圍是_？an二十三、微分方程部分1. 通解問題（一階可分離、齊次、線性等）2. 特解問題（二階常系數非齊次方程）函數 yC cos（xC為任意常數）是微分方程yy0 的（）把代入 yy0 成立，但只有一個獨立常數，只能說明是解設函數 yf (x

19、) 是微分方程 y2 y4 y0 的一個解，且f ( x0 )0, f ( x0 )0 ，則 f (x) 在點處（）有極大值把 yf ( x) 代入得 f( x)2 f(x)4 f ( x)0 ，再令 xx0 即可函數 yy(x) 圖形上點（0,-2 ）的切線為2x 3y 6 ，且 y( x) 滿足微分方程y 6x, 則此函數為（）注意y |x 02/ 3, y |x 02 y x32 / 3x 2設 y1 , y2 是微分方程 yp( x) yq( x) y 0的兩個解，則y c1 y1c2 y2 (c1, c2為任意常數 ) 是（）A 該方程的通解B 該方程的解C 該方程的特解D 不一定是方程的解（二）填空題一、計算函數值、表達式x2x0f ( x)2xx，則 f ( x)x0設 g(x)2xx0x2x0x2x； f (x)xx，則 g ( f ( x)（知道即可）00已知 f (ln x)x23x5 ，則 f (x1)二、計算極限（等價無窮小替換、重要極限等）limx23limx1，x xx _sin2( x1)2(x1)( x2limx)x 1x 13)x (1已知當 x0 時， f ( x) 與 1cos x 等價，則 limf ( x)x 0x sin x三、連續(xù)區(qū)間、切線方程、漸近線曲線 f ( x)x ln x 的平行于直線