1、啟東教育學科教師輔導講義講義編號：學員編號：年級：課時數：學員姓名：輔導科目：學科教師：課題授課日期及時段教學目標1、2、教學內容一、學生對于本次課的評價：特別滿意滿意一般差學生簽字：二、教師評定：1、 學生上次作業評價： 好 較好 一般 差2、 學生本次上課情況評價： 好 較好 一般 差教師簽字：二次函數試題論：拋物線 y1 x21是由拋物線 y1 x2 怎樣移動得到的？22拋物線 y1( x1)2 是由拋物線 y1x 2 怎樣移動得到的？22拋物線 y1 ( x1)21 是由拋物線 y1 x 21怎樣移動得到的？22拋物線 y1 ( x1)21 是由拋物線 y1 ( x1)2 怎樣移動得到

2、的？22拋物線 y1 ( x1)21 是由拋物線 y1 x2怎樣移動得到的？22選擇題：1、 y=(m-2)x m2- m是關于 x 的二次函數，則 m=（）A-1B2 C-1或2D m 不存在2、下列函數關系中，可以看作二次函數y=ax 2+bx+c(a 0) 模型的是（）A 在一定距離內，汽車行駛的速度與行駛的時間的關系B 我國人中自然增長率為 1%，這樣我國總人口數隨年份變化的關系C 矩形周長一定時，矩形面積和矩形邊長之間的關系D 圓的周長與半徑之間的關系4、將一拋物線向下向右各平移2 個單位得到的拋物線是y=-x 2，則拋物線的解析式是（）Ay= （ x-2）2+2B y= （ x+2

3、）2+2Cy= （ x+2） 2+2D y= （ x-2）2 215、拋物線y=2yx2-6x+24 的頂點坐標是（）A （ 6， 6）B （ 6，6）C （ 6，6）D （6， 6）6、已知函數 y=ax 2+bx+c, 圖象如圖所示，則下列結論中正確的有（）個x abc a cb a+b+c c b101yA B C D7、函數 y=ax 2-bx+c （ a 0）的圖象過點（-1， 0），則ab=c）=的值是（bcacab1-1 0xA -1B11DC-228、已知一次函數y= ax+c 與二次函數y=ax2+bx+c （ a 0），它們在同一坐標系內的大致圖象是圖中的（）yyyyxxx

4、xABCD二填空題：13、無論 m 為任何實數，總在拋物線y=x 22mx m 上的點的坐標是 。16、若拋物線y=ax 2+bx+c （ a 0）的對稱軸為直線x，最小值為，則關于方程ax2+bx+c 的根為 。22k17、拋物線 y= （ k+1） x +k -9 開口向下，且經過原點，則解答題：（二次函數與三角形）1、已知：二次函數y= x 2+bx+c ，其圖象對稱軸為直線 x=1，且經過點（ 2， ）（ 1）求此二次函數的解析式（ 2）設該圖象與 x 軸交于 B、C 兩點（ B 點在 C 點的左側），請在此二次函數 x 軸下方的圖象上確定一點并求出最大面積2、如圖，在平面直角坐標系中

5、，拋物線與x 軸交于 A、B 兩點（ A 在 B 的左側），與 y9y軸交于點 C (0，4)，頂點為（ 1， 2）C（ 1）求拋物線的函數表達式；（ 2）設拋物線的對稱軸與軸交于點D，試在對稱軸上找出點P，使 CDP 為等腰三角形，請直接寫出滿足條件的所有點P 的坐標A O（ 3）若點 E 是線段 AB 上的一個動點（與 A、 B 不重合），分別連接 AC、 BC，過點 E作 EF AC 交線段 BC 于點 F ，連接 CE，記 CEF 的面積為 S，S 是否存在最大值？(第若存在，求出 S 的最大值及此時E 點的坐標；若不存在，請說明理由E，使 EBC的面積最大，DBx2題圖)3、如圖，一

6、次函數42 bxy 4x 4 的圖象與 x 軸、y 軸分別交于 A 、C 兩點，拋物線 yx3c 的圖象經過A、 C 兩點，且與x 軸交于點B（ 1）求拋物線的函數表達式；（ 2）設拋物線的頂點為 D，求四邊形 ABDC 的面積；（ 3）作直線 MN 平行于 x 軸，分別交線段AC、BC 于點 M 、N問在 x 軸上是否存在點P，使得 PMN 是等腰直角三角形？如果存在，求出所有滿足條件的P 點的坐標； 如果不存在，請說明理由yAOBxC(第 3 題圖)（二次函數與四邊形）4、 已知拋物線 y1x2mx2m722(1)試說明：無論 m 為何實數，該拋物線與 x 軸總有兩個不同的交點；(2)如圖

7、，當該拋物線的對稱軸為直線x=3 時，拋物線的頂點為點C，直線 y=x 1 與拋物線交于 A、B 兩點，并與它的對稱軸交于點 D 拋物線上是否存在一點P 使得四邊形 ACPD 是正方形？若存在，求出點P 的坐標；若不存在，說明理由；平移直線 CD ，交直線AB 于點 M，交拋物線于點N，通過怎樣的平移能使得C、D、 M、N 為頂點的四邊形是平行四邊形5、如圖，拋物線y mx2 11mx24m ( m0) 與 x 軸交于 B、C 兩點（點 B 在點 C 的左側），拋物線另有一點 A 在第一象限內，且 BAC 90°（ 1）填空： OB_，OC _；（ 2）連接 OA，將 OAC 沿 x

8、 軸翻折后得 ODC，當四邊形OACD 是菱形時，求此時拋物線的解析式；（ 3）如圖 2，設垂直于x 軸的直線l： xn 與（ 2）中所求的拋物線交于點M，與 CD 交于點 N，若直線l 沿 x 軸方向左右平移，且交點M 始終位于拋物線上A、C 兩點之間時，試探究：當n 為何值時，四邊形AMCN的面積取得最大值，并求出這個最大值6、如圖所示，在平面直角坐標系中，四邊形的中點， A 、B 、D 三點的坐標分別是A（ABCD 是直角梯形， BC AD ， BAD=90 °， BC 與 y 軸相交于點M ，且1 ，0 ），B（1 ，2 ），D（3，0）連接 DM ，并把線段 DM 沿 DA

9、 方向平移到M是BCON若拋物線yax2bxc經過點D、M、N（ 1）求拋物線的解析式（ 2）拋物線上是否存在點 P，使得 PA=PC，若存在，求出點 P 的坐標；若不存在，請說明理由（ 3）設拋物線與 x 軸的另一個交點為 E，點 Q 是拋物線的對稱軸上的一個動點，當點 Q 在什么位置時有 |QE-QC|最大？并求出最大值7、已知拋物線yax22ax3a ( a0) 與 x軸交于A 、 B兩點（點A 在點B 的左側），與y 軸交于點C，點D 為拋物線的頂點（ 1）求A、 B 的坐標；（ 2）過點 D 作 DH 丄 y 軸于點 H ，若 DH=HC ，求 a 的值和直線CD 的解析式；（ 3）

10、在第（ 2）小題的條件下，直線CD 與 x 軸交于點E，過線段OB 的中點 N 作丄 x 軸，并交直線CD 于點 F，則直線 NF 上是否存在點M ，使得點 M 到直線 CD 的NF距離等于點M 到原點O 的距離？若存在，求出點M 的坐標；若不存在，請說明理由（二次函數與圓）8、如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c（ a0）的圖象經過M （1，0）和 N（ 3， 0）兩點，且與y 軸交于 D（0， 3），直線 l 是拋物線的對稱軸1）求該拋物線的解析式2）若過點A（ 1， 0）的直線AB 與拋物線的對稱軸和x 軸圍成的三角形面積為6，求此直線的解析式3）點 P 在拋物線的對稱軸

11、上，P 與直線 AB 和 x 軸都相切，求點P 的坐標9、如圖， y 關于 x 的二次函數y=（ x+m ）（ x 3m）圖象的頂點為M ，圖象交 x 軸于 A 、B 兩點，交 y 軸正半軸于D 點以 AB 為直徑作圓，圓心為 C定點 E 的坐標為（ 3， 0），連接 ED（m 0）（ 1）寫出 A 、 B、 D 三點的坐標；（ 2）當 m 為何值時 M 點在直線 ED 上？判定此時直線與圓的位置關系；（ 3）當 m 變化時，用 m 表示 AED 的面積 S，并在給出的直角坐標系中畫出 S 關于 m 的函數圖象的示意圖。10 、 已 知 拋 物 線 yax2bxc的對 稱軸 為直 線x2 ，且

12、與 x 軸交于 A、 B 兩點與 y 軸交于點 C其中 AI(1 ， 0)， C(0 ，3 )（ 1）（ 3 分）求拋物線的解析式；（ 2）若點 P 在拋物線上運動（點 P 異于點 A ）（ 4分）如圖 l 當 PBC 面積與 ABC 面積相等時求點 P 的坐標；（ 5分）如圖 2當 PCB= BCA 時，求直線 CP 的解析式。答案：1、解：（ 1）由已知條件得，（2 分）解得 b= ， c= ，此二次函數的解析式為y= x2 x ；（1 分）2=3，（ 2） x x =0，x= 1， x12B（ 1，0）， C（ 3， 0）， BC=4，（ 1 分）E點在 x 軸下方，且 EBC 面積最大

13、，E 點是拋物線的頂點，其坐標為（1， 3），（ 1 分） EBC的面積 =×4×3=6（ 1 分）9292、（ 1） 拋物線的頂點為（1， 2）設拋物線的函數關系式為y a ( x1) 2拋物線與 y 軸交于點 C (0，4) ， a (01) 2 9 4解得 a 122所求拋物線的函數關系式為y 1( x 1) 292217（2）解： P1 (1，17)， P2 (1， 17)， P3(1， 8)， P4(1，)，8192（ 3）解：令 ( x 1) 0，解得 x1 2， x1 422拋物線 y 1( x1)2 9與 x 軸的交點為 A ( 2， 0)C (4， 0)2

14、2過點 F 作 FMOB 于點 M， EF AC， BEF BAC， MF EB又OC 4， AB 6， MF EB× OC2EBOCABAB3設 E 點坐標為 (x，0)，則 EB 4x， MF 2 S 1113 (4 x)SSBCEBEF2 EB· OC 2 EB· MF2 EB(OC MF ) 1 (4 x)4 2 (4 x) 1x2 2x 8 1( x 1) 2 3233333 a 1 0， S 有最大值當 x 1 時， S 最大值 3 此時點 E 的坐標為(1， 0)33、（ 1） 一次函數 y 4x 4 的圖象與 x 軸、 y 軸分別交于 A、 C 兩

15、點， A ( 1，0)C (0， 4) 把 A ( 1， 0) C (0， 4)代入 y4x2 bx c 得4 b c083b4 28x 4 3解得3 y xc 4c4334284216頂點為 D （ 1，16）（ 2） y x x 4 ( x 1)33333yEAOBxCD(第 3 題圖)設直線 DC 交 x 軸于點 E由 D （ 1， 16） C (0， 4)y43易求直線 CD 的解析式為 yx 431× 6× 1616PAOBx易求 E（ 3， 0），B（ 3， 0）S EDB 23S ECA1× 2×44S 四邊形 ABDC SEDB SECA

16、 12MN2（ 3）拋物線的對稱軸為x 1(第3題圖)做 BC 的垂直平分線交拋物線于E，交對稱軸于點 D3易C求 AB的解析式為 y3x 3 D 3E 是 BC 的垂直平分線 D3E AB設 D3E 的解析式為 y3x b D 3E 交 x 軸于（ 1， 0）代入解析式得b 3, y 3x 3把 x 1 代入得 y 0 D3(1， 0),過 B 做 BHx 軸，則 BH111在 Rt D1HB 中，由勾股定理得D 1H 11 D1（ 1，113）同理可求其它點的坐標。可求交點坐標D1（ 1，113）, D2（ 1，22）, D3( 1， 0), D4 ( 1,11 3) D5（ 1， 22）

17、4、 (1)=2412m7= m24m7= m24m 43=m223 ，不管 m 為何實數，總有m22m 22=m23 0，無論 m 為何實數，該拋物線與x 軸總有兩個不同的交點 0，2(2) 拋物線的對稱軸為直線， m3 ，x=3拋物線的解析式為y1x23x5=1x322 ，頂點 C 坐標為（ 3， 2），222yx1,x11x27解方程組15 ，解得2y或y2，所以 A 的坐標為（ 1， 0）、B 的坐標為（ 7，6），yx3x06212x3時 y=x 1=3 1=2， D 的坐標為（ 3，2），設拋物線的對稱軸與x 軸的交 點為 E，則 E 的坐標為（ 3，0），所以 AE=BE=3，

18、DE =CE=2， 假設拋物線上存在一點P 使得四邊形 ACPD 是正方形，則AP、CD 互相垂直 平分且相等，于是P 與點 B 重合，但 AP= 6，CD= 4，AP CD ，故拋物線上不存在一點P 使得四邊形 ACPD 是正方形 ( )設直線 CD 向右平移 n 個單位（ n 0）可使得 C、 D、 M、 N 為頂點的四邊形是平行四邊形，則直線CD 的解析式為 x=3n ，直線 CD與直線 y=x1 交于點 M（ 3n ， 2n ），又 D 的坐標為（ 3， 2）， C坐標為（ 3， 2）， D 通過向下平移4 個單位得到 C C、D、M、N 為頂點的四邊形是平行四邊形，四邊形CDMN 是

19、平行四邊形或四邊形CDNM 是平行四邊形（）當四邊形CDMN 是平行四邊形，M 向下平移4 個單位得 N， N 坐標為（ 3n ， n2），又 N 在拋物線 y1 x23x5上， n213n3 3n5，22222解得 n10 （不合題意，舍去） ， n22 ，（）當四邊形CDNM 是平行四邊形，M 向上平移4 個單位得 N， N 坐標為（ 3n ， n6），又 N 在拋物線 y1 x23x5上， n613n3 3n5，22222解得 n1117 （不合題意，舍去） ， n2117，( ) 設直線 CD 向左平移 n 個單位（ n 0）可使得 C、 D、 M、 N 為頂點的四邊形是平行四邊形，則

20、直線CD 的解析式為 x=3n ，直線 CD 與直線 y=x 1 交于點 M（ 3 n ， 2n ），又 D 的坐標為（3，2），C 坐標為（ 3， 2）， D 通過向下平移 4 個單位得到 C C、D、M、N 為頂點的四邊形是平行四邊形，四邊形CDMN 是平行四邊形或四邊形CDNM 是平行四邊形（）當四邊形CDMN 是平行四邊形，M 向下平移4 個單位得 N， N 坐標為（ 3n ，2n ），又 N 在拋物線 y1 x23x5上，2 n1 3n3 3n5 ，22222解得 n10 （不合題意，舍去） ， n22 （不合題意，舍去） ，（）當四邊形CDNM 是平行四邊形，M 向上平移4 個單位

21、得 N， N 坐標為（ 3n ，6n ），又 N 在拋物線 y1 x23x5上， 6 n1 3n3 3n5，22222解得 n117 ， n2117 （不合題意，舍去） ，1綜上所述，直線CD 向右平移2 或（117 ）個單位或向左平移（117 ）個單位，可使得C、D 、M、N 為頂點的四邊形是平行四邊形5、解：（ 1） OB 3， OC 8（ 2）連接 OD ，交 OC 于點 Ey1四邊形 OACD 是菱形 AD OC，OE EC 2× 84ABE431又 BAC 90°， ACE BAEAECEOB ECxBEAE AE2 BE·CE 1× 4DAE

22、2點 A 的坐標為 (4， 2)把點 A 的坐標(4， 2)代入拋物線 y mx211mx 24m，得 m 1拋物線的解析式為 y 1x211x12yl: x n222（ 3） 直線 x n 與拋物線交于點MAM點 M 的坐標為(n，12112n n 12)2OB EC由（ 2）知，點 D 的坐標為（4， 2），x則 C、D 兩點的坐標求直線CD 的解析式為 y 1x 4DN1211111點 N 的坐標為n 4) MN （2n 4）2 5n 8( n，2n 2n 12）（2n22 S 四邊形 AMCN S AMN S CMN 1MN · CE1（ 1n2 5n 8）× 4

23、(n 5)2 9222當 n 5 時， S 四邊形 AMCN 96、解：（ 1） BC AD ，B （ -1， 2 ）， M 是 BC 與 x 軸的交點， M（ 0 ， 2 ），9a3bc0 DM ON ， D（ 3 ，0）， N（ -3 ， 2），則c2，解得9a3bc011 x21 x 2 ；a9 ， y193b3c2（ 2 ）連接 AC 交 y 軸與 G， M 是 BC 的中點， AO=BM=MC ABC=90° ， BG AC ，即 BG 是 AC 的垂直平分線，要使在直線 BG 上，點 P 為直線 BG 與拋物線的交點， AB=BC=2 ， AG=GC ，即 G（ 0， 1

24、），PA=PC ，即點 P 在 AC 的垂直平分線上，故P設直線 BG 的解析式為 yk b 2k1x 1，kx b ，則，解得， yb1b1yx1x1332x23 321 x2，解得，y1 x 2y12 3 2y22 3 293點P（3 3 2， 2 3 2）或P（3-32，2 3 2），（ 3 ） y1x21x21( x3) 29，對稱軸 x3，939242令1 x21 x20 ，解得 x13 ， x26，E（6 ，0），93故 E、D 關于直線 x3對稱， QE=QD ， |QE-QC|=|QD-QC|，23要使 |QE-QC| 最大，則延長DC 與 x相交于點 Q ，即點 Q 為2直線

25、 DC 與直線 x3的交點，2由于 M 為 BC 的中點， C （1 ， 2），設直線 CD 的解析式為 y=kx+b ，則3kb0k1x3 ，k b，解得b3， y2當 x3時， y339，故當 Q 在（3 ，9）的位置時， |QE-QC| 最大，22222過點 C 作 CF x 軸，垂足為 F ，則 CD=CF 2DF 222222 2 7、解：（ 1）由 y=0 得， ax 2-2ax-3a=0 ，a0， x2-2x-3=0 ，解得 x1 =-1 ， x2 =3 ，點 A 的坐標（ -1 ， 0），點 B 的坐標（3，0）；（ 2 ）由 y=ax 2-2ax-3a，令 x=0 ，得 y=

26、-3a ， C （0 ， -3a ），又 y=ax 2-2ax-3a=a （ x-1 ） 2-4a ，得 D （ 1， -4a ），DH=1 ， CH=-4a- （ -3a ） =-a ， -a=1 ， a=-1 ， C（ 0， 3）， D（ 1，4），設直線 CD 的解析式為 y=kx+b ，把 C 、D 兩點的坐標代入得，解得，直線 CD 的解析式為 y=x+3 ；（3）存在由（ 2）得， E（-3， 0），N（-，0） F（， ），EN=，作 MQ CD 于 Q，設存在滿足條件的點M（， m），則 FM=-m ，EF=， MQ=OM=由題意得：Rt FQM Rt FNE ，=，整理得 4

27、m 2+36m-63=0 ， m2 +9m=，m 2+9m+=+（ m+） 2=m+=± m1= ， m2=-，點 M 的坐標為 M1（，），M2（， -）8、解：（ 1） 拋物線 y=ax2y 軸交于 D（ 0， 3），+bx+c （ a0）的圖象經過 M （ 1， 0）和 N（ 3， 0）兩點，且與假設二次函數解析式為： y=a（x 1）（ x 3），將 D（ 0， 3），代入 y=a（ x1）（ x 3），得： 3=3a， a=1，拋物線的解析式為： y= （ x 1）（ x 3） =x 2 4x+3；（ 2） 過點A （ 1， 0）的直線AB與拋物線的對稱軸和x 軸圍成的三角

28、形面積為6，AC× BC=6 ，拋物線y=ax2+bx+c （a0）的圖象經過M （ 1， 0）和 N（ 3， 0）兩點，二次函數對稱軸為 AC=3 ， BC=4 ， B 點坐標為：（ 2，4），一次函數解析式為；y=kx+b ，x=2 ，解得：， y= x+；（ 3） 當點 P 在拋物線的對稱軸上，P 與直線AB 和 x 軸都相切， MO AB ， AM=AC ，PM=PC ， AC=1+2=3 ，BC=4 ， AB=5 ， AM=3 ， BM=2 ， MBP= ABC ， BMP= ACB ， ABC CBM ， PC=1.5 ， P 點坐標為：（ 2， 1.5）9、解：（ 1） A （ m， 0）， B（ 3m， 0），D （0，m）（ 2）設直線 ED 的解析式為y=kx+b ，將 E（ 3，0）， D（ 0，m）代入得：解得， k=， b=m直線 ED 的解析式為y=mx+m將 y= （ x+m ）（ x3m）化為頂點式：y=（ x+m ）2+m頂點 M 的坐標為（ m，m）代入 y= mx+2m 得： m =m m 0， m=1所以，當 m=1