1、時間序列分析練習(xí)題一、填空題1. 從統(tǒng)計意義上講，所謂的時間序列就是將某一指標(biāo)在（不同時間）上的不同數(shù)值, 按時間的先后順序排列而成的數(shù)列。2. 從統(tǒng)計意義上看，時間序列就是某一系統(tǒng)在（不同時間）的響應(yīng)。3. 按所研究對象的多少分，時間序列有（一元）時間序列和（多元）時間序列。4. 按時間的連續(xù)性可將時間序列分為（離散）時間序列和（連續(xù)）時間序列。5. 按序列的統(tǒng)計特性分，時間序列有（平穩(wěn)）時間序列和（非平穩(wěn)）時間序列。6. 按時間的分布規(guī)律來分，時間序列有（高斯型）時間序列和（非高斯型）時間序列。7. 如果序列的一二階矩存在，而且對任意的時刻t滿足：（均值為常數(shù)） 笑（協(xié)方差為時間間隔.的函

2、數(shù)）則稱該序列為寬平穩(wěn)時間序列，也叫廣義平穩(wěn)時間序列。8. 對于一個純隨機(jī)過程來說，若其期望和方差（均為常數(shù)），則稱之為白噪聲過程。白噪聲過程是一個（寬平穩(wěn)）過程。9. 時間序列分析方法按其采用的手段不同可概括為數(shù)據(jù)圖法，指標(biāo)法和（模型法）10. AR( 1)模型為：XwX-i+at11. AR( 2)模型為：XnX-i + W+at12. AR (n)模型為：XtuX-i+ ®2Xt-2+®n Xt-n +at13. MA (1)模型為：Xt=at-片a-i14. MA ( m 模型為：Xt=at-片 at-i -門2 砂-mat-m15. ARMA(2.1)模型為：X-

3、出 X-i -駕 Xt-2 =at1 at-i16. AR（1）模型是一個使相關(guān)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為獨立數(shù)據(jù)的變化器。17. 差分可以將非平穩(wěn)序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列。18. AR (1)模型，當(dāng)i=1時，就變成了隨機(jī)游走。19. 若時間序列的自相關(guān)函數(shù)在m步截尾，并且偏自相關(guān)函數(shù)被負(fù)指數(shù)函數(shù)控制收斂到零，則可判斷時間序列為MA(m)序列。20. 若時間序列的偏自相關(guān)函數(shù)在n步截尾，并且自相關(guān)函數(shù)被負(fù)指數(shù)函數(shù)控制收斂到 零，則可判斷時間序列為 AR(n)序列。21. 若時間序列的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)序列均不截尾，但都被負(fù)指數(shù)函數(shù)控制收斂到零，則時間序列很有可能是ARMA序列。22. 建立平穩(wěn)時間序列模型就

4、是從觀察到的有限長度的平穩(wěn)序列樣本出發(fā)，通過模型的識別、模型的定階、模型的參數(shù)估計、適應(yīng)性檢驗等步驟建立起適合序列的ARMA模型，為預(yù)測和進(jìn)一步分析做好準(zhǔn)備。23. 模型定階方法有殘差方差圖定階法.F檢驗定階法最佳準(zhǔn)則函數(shù)定階法等，實際中 可靈活選用。24. 模型主要的估計方法有矩估計法最小二乘估計法和極大似然估計法等，實際中有 軟件直接計算。25. 模型的適應(yīng)性檢驗實質(zhì)上是檢驗殘差序列是否為白噪聲序列，通常用自相關(guān)函數(shù)檢 驗法和卡方檢驗法。26. 預(yù)測方差(以t為原點，向前丨期作預(yù)測，預(yù)測值為5?t(l)q(l)譏-兄(1)27. 預(yù)測誤差均方值E(e2t(l) = E Xt i -疋注意：

5、我們所要做的工作是，求出一個預(yù)測值>?t(l)，使得E(e2t(l)最小。28. 預(yù)測的三種形式：差分方程形式傳遞形式逆轉(zhuǎn)形式29. 條件期望預(yù)測是最小均方誤差預(yù)測30. 對于平穩(wěn)ARMA(n,m)模型，特征方程所有特征根絕對值均小于1，隨j，Gj > 0，系統(tǒng)記憶性趨于零，£t(l)隨l增大，也趨于零。31. 時間序列模型是時間序列動態(tài)性和發(fā)展變化規(guī)律的客觀描述,因而可以利用建立的時間序列模型對時間序列的未來取值進(jìn)行預(yù)測。_32. 對預(yù)測值適時修正的理解：在進(jìn)行超前多步預(yù)測時，隨時間推移，原來預(yù)測值變?yōu)橐阎?，需要進(jìn)行新預(yù)測，而這種新預(yù)測可由就預(yù)測值和新的觀察值推算出，在

6、舊預(yù)測值上加一個修正項，完成新的預(yù)測。33. 時間序列的趨勢，有（確定性）和（非確定性）兩種，前者又分為線性趨勢和非線 性趨勢。34. 平穩(wěn)過程的時間序列具有（常數(shù)）的均值和方差。35. 單位根檢驗一般包含三種情況：（沒有常數(shù)項）（僅含有常數(shù)項）（含有常數(shù)項和時間趨勢）。36. 對于確定性趨勢的消除方法有：（最小二乘法）（差分法）。37. ARMA（n,m）的逆轉(zhuǎn)形式 Xt ='TjXt_j at。38. 模型適應(yīng)性檢驗的相關(guān)函數(shù)法，在顯著性水平a =0.05下，若pk <1.96 /JN，則接受=0的假設(shè)，認(rèn)為：at 是獨立的。39. 模型適應(yīng)性檢驗的2檢驗法，在顯著性水平:-

7、下，若統(tǒng)計量Q<；：.（L（N） - n -m）則認(rèn)為模型是適合的。40. AR(1)模型可用一個無限階 MA來逼近。41. ARMA模型的差分形式X 了 X 扌 XX a aaaXt 1 Xt 42XtQn Xt -n 4- 1at 4 - 2at 2- mat-m42. ARMA模型的傳遞形式 XtGjat_jj =0oo43. ARMA模型的逆轉(zhuǎn)形式 Xt -7 ljXt_j atj#44.由ARMA模型的傳遞形式進(jìn)行預(yù)測，X“預(yù)測95%的置信區(qū)間為/ 2 2 2 2 1/2Xt .1 _1.96；a Go G； G；亠亠 Gi2二、簡答題1.時間序列具有那幾個特點？答：首先，序列

8、中的數(shù)據(jù)或數(shù)據(jù)點的位置依賴于時間，即數(shù)據(jù)的取值依賴于時間的變化，但不一定是時間t的嚴(yán)格函數(shù)。其次，就每一時刻上的取值或數(shù)據(jù)點的位置具有一定的隨機(jī)性，不可能完全準(zhǔn)確地用歷史值預(yù)測。再次，前后時刻的數(shù)據(jù)點或數(shù)值的位置有一定的相關(guān)性，這種相關(guān)性就是系統(tǒng)的動 態(tài)規(guī)律性。最后，從整體上看，時間序列往往呈現(xiàn)某種趨勢性或出現(xiàn)周期性變化的現(xiàn)象。2 時間序列分析與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的主要區(qū)別是什么？答：首先，數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的樣本值是對同一隨機(jī)變量進(jìn)行n次獨立重復(fù)試驗的結(jié)果，或是n個相互獨立同分布的隨機(jī)變量序列的一個實現(xiàn)，而時間序列則是某一隨機(jī)過程的一次樣本實現(xiàn)。其次，在數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中，進(jìn)行統(tǒng)計推斷的目的主要是對某一個隨機(jī)變量

9、的分布參數(shù)進(jìn)行 估計和假設(shè)檢驗，而時間序列分析中，則是對某一時間序列建立統(tǒng)計模型。最后，數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中的回歸模型描述的是因變量與其他自變量之間的統(tǒng)計靜態(tài)依存關(guān)系；而時間序列分析中的自回歸模型描述的是某一變量自身變化的統(tǒng)計規(guī)律性，是某一系統(tǒng)的現(xiàn)在的行為與其歷史行為之間的統(tǒng)計動態(tài)依存關(guān)系。3 隨機(jī)變量和隨機(jī)過程的區(qū)別和聯(lián)系。答：主要區(qū)別有：(1) 隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的一個單值函數(shù)；隨機(jī)過程則是一族時間 t的函數(shù)。(2) 對應(yīng)于一定隨機(jī)試驗和樣本空間的隨機(jī)變量與時間t無關(guān)；而隨機(jī)過程則與時間密切相關(guān)。(3) 隨機(jī)變量描述事物在某一特定時間上的靜態(tài)；隨機(jī)過程描述事物發(fā)展變化的動態(tài)。主要聯(lián)系有:(

10、1) 隨機(jī)過程具有隨機(jī)變量的特征，同時還具有普通函數(shù)的特征性。(2) 隨機(jī)變量是隨機(jī)的特例，即一元隨機(jī)變量可視為參數(shù)集為單元素的隨機(jī)過程。(3) 當(dāng)隨機(jī)過程固定在某一個時刻是，就得到一個隨機(jī)變量。(4) 隨機(jī)過程是n維隨機(jī)變量，隨機(jī)變量列的一般化，它是隨機(jī)變量 X (t)的集。4. AR(1)模型基本假設(shè)是什么？(1) Xt與X-1有直線相關(guān)關(guān)系。(2) at為獨立正態(tài)同分布序列。5. AR(2)模型基本假設(shè)是什么？(1)X與Xt-1和Xt-2有直線相關(guān)關(guān)系，而在X-1和Xt-2已知的條件下，Xt與X-j(j=3.4) 無關(guān)，at是一個白噪聲序列。6. MA (1 )模型基本假設(shè)是什么？系統(tǒng)的

11、響應(yīng)X僅與其前一時刻進(jìn)入系統(tǒng)的擾動at-1有一定的依存關(guān)系，而且為白噪聲。7. ARMA(2,1)模型基本假設(shè)是什么？at 獨立于 at-j (j=2.3 ),從而 at 獨立于 Xt-j (j=3.4 )8. n階自回歸模型基本假設(shè)是什么？X,與 X ,Xt-2，,X t-n有直線相關(guān)關(guān)系,而在Xt-1 .Xt-2Xt-n已知的條件下，Xt與X-j(j=n+1.n+2 )無關(guān)，at是一個白噪聲序列。9. m階移動模型基本假設(shè)是什么？系統(tǒng)的響應(yīng)X僅與at-1 .at-2at-m有關(guān)而與at-j (j=m+1.m+2)無關(guān)，且at為白噪聲。10. ARMA(n.m)模型基本假設(shè)是什么？at 獨立

12、于 at-j (j=n.n+1 ),從而 at 獨立于 X-j (j=n+1.n+2 )11. 將下表補(bǔ)充完整：自相關(guān)系數(shù)偏自相關(guān)系數(shù)MA截尾拖尾AR拖尾截尾ARMA拖尾拖尾12. 請簡述AR(2) , ARMA(1,1) , ARMA(2,1)系統(tǒng)之間的關(guān)系答：arma(2,i)的格林函數(shù) G j = g! 1 g2，2. - i - '2 -1=0 時，F(xiàn). 1 _ ' 2 2 1ARMA(2,1)系統(tǒng)就成為AR(2)系統(tǒng)；AR(2)系統(tǒng)的格林函數(shù)，即為1'.卑Gj = (材需 )，®2=0 時，ARMA(2,1)系統(tǒng)稱為 ARMA(1,1)系統(tǒng)。人一上2

13、13 模型定階方法有哪些？答：模型定階方法有殘差方差圖定階法；F檢驗定階法；最佳準(zhǔn)則函數(shù)定階法。14. Box-Jenkins建模方法有哪幾個步驟？答：模型的識別：依據(jù)平穩(wěn)時間序列的樣本自相關(guān)函數(shù)和樣本偏自相關(guān)函數(shù)的不同的統(tǒng)計特征來初步判斷時間序列模型的類型。模型的定階：應(yīng)用殘差方差圖定階法或F檢驗定階法或應(yīng)用準(zhǔn)則函數(shù)定階法來對模型的階數(shù)進(jìn)行判定。模型的參數(shù)估計：估計出其中的參數(shù)，以便進(jìn)一步識別和應(yīng)用模型。(主要的參數(shù)估計方法有矩估計法，最小二乘估計法和極大似然估計法等)。模型的適應(yīng)性檢驗：就是判斷這個模型用于描述時間序列是否恰當(dāng)，是否完全或基本上解釋了系統(tǒng)的動態(tài)性，即檢驗:a/?序列是否為白

14、噪聲序列。15. 如何判斷時間序列的趨勢性？a利用序列圖進(jìn)行判斷；b利用樣本自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行平穩(wěn)性判斷；c利用單位根檢驗進(jìn)行判斷。16. 如何用差分的方法消除時間序列的趨勢性？(書133頁)一階差分可消除線性趨勢，二階差分可消除二次曲線趨勢。若趨勢方程為Yt=a+bt，則通過一階差分，得到 '、Yt=a+bt-a+b(t-1)=b消除了線性趨勢。17. 在趨勢性檢驗中，進(jìn)行單位根檢驗的意義是什么？單位根檢驗就是根據(jù)已觀測到的時間序列，檢驗產(chǎn)生這個時間序列的隨機(jī)過程中的一階自回歸系數(shù)是否為一,這個檢驗實際上就是對時間序列是否為一個趨勢平穩(wěn)過程的檢驗，如果檢驗表明沒有單位根，則它是一個趨勢平

15、穩(wěn)過程，否則，它是一個帶趨勢的單位根過程。如果時間序列是趨勢平穩(wěn)的， 我們就可以用一個線性趨勢來擬合這個時間序列，并由此進(jìn)行預(yù)測。如果時間序列不是趨勢平穩(wěn)的， 我們就不能用一個趨勢來擬合時間序列，在統(tǒng)計學(xué)中沒有對一個時間序列進(jìn)行單位根檢驗就直接進(jìn)行趨勢擬合的做法顯然是欠妥的。18什么是ARIMA 模型？若的d階差分，Yt =(1 - B)d Xt是一個平穩(wěn)的ARMA(p,q),則稱；人：為具有p,d,q階自回歸求和移動平均模型，即、Xt fARIMA(p,d,q)。19. 線性趨勢平穩(wěn)的特點：當(dāng)我們將時間序列中的完全確定的線性趨勢去掉以后，所形 成的時間序列就是一個平穩(wěn)的時間序列。20. 如何

16、以系統(tǒng)的觀點看待時間序列的動態(tài)性？系統(tǒng)的動態(tài)性就是在某一時刻進(jìn)入系統(tǒng)的輸入對系統(tǒng)后繼行為的影響，也就是系統(tǒng)的記憶性，描述記憶性的函數(shù)稱為記憶函數(shù)。三、證明題1. AR(1)模型：Xt V：iXt4 at，其中 at 是白噪聲，且 E a：證明：E(xt2 )= E(®iXt4 +at 丫 = EWf +29兇印 + a：)由平穩(wěn)時間序列模型的性質(zhì)得：Ext2 =Ext2 = 0E Xzat =0, E at2，所以,Ex： = ：Ext20 =Ext2二8#Ai2. AR(1)模型Xt二;：1Xt4 at，其中at是白噪聲，證明： Xt丨二；Xt證明：設(shè)殍列X,適合AR(1)蟆型，則

17、X申可表示為時求條件期里，有X<i> =巒瓦2時求條件期望，有 兒=Etgjg+g） | XnXf-MXf t,-»=誓乂（ 1）=X*一般的.當(dāng)/>】有必巒 Xf+-（ + 4 卅）| Xj t Xj * Xji.=護(hù)& （f 1）即預(yù)測值滿足模型（差分方程形式）的口回曲部分巒丸（/一 1） = 0因而 Xt（l） = x,4oO3. AR（1）模型XXtj at，其中at是白噪聲，試證 Xt = ' Gjat_jjm證明：由Xt = 1Xt1 at，則有Xt - rXt二at= （1-rB）Xt二a （注：利用無窮等比級數(shù)求和）Xtat=1】B；

18、B2rt 八一】jBjatj=o-Xt二為即估心Gjat_j，其中Gj =護(hù)丿為AR（1）的格林函數(shù)。 j=oj 出4.已知MA模型Xt =at -3at4，at是白噪聲，且E（a2） -；：。證明其自身相關(guān)函數(shù)為k =1k 1證明：由 E at as = 0,t = s, E a： = - a，得2 2 2 2 r0 = E Xt = E at -響二=1 曰二ari =E XtXt j 二 Eat - mat印-刊砂工 I-上 1二; 當(dāng)k _2時，有rk = E Xt Xt _k=Eat - Viatat 上iat _kL 0k =1k 15. 證明：隨機(jī)游動過程是非平穩(wěn)時序。證明：對于

19、yt =%二at，設(shè)yo =0,則 y = ay a1 - a?, y3 = a ' a? ' a3,于是，yt =為at，且2Eyt 八 Eat =t 0 =0,Var yt 二 t二yt的方差隨時間而改變，因此，過程是非平穩(wěn)的。6試證ARMA(2,1)的格林函數(shù)隱式 Gj - Gj/ =0, j - 27試證 ARMA(1,1)模型 Xt - ;:1Xt4a 'at4 的預(yù)測值A(chǔ).re1 lXt(l )=Xt -才at1, l >0j8試證明可d£ =(1 B fY =無(T 2扛_)9.由ARMA模型的傳遞形式進(jìn)行預(yù)測，試證Xt 1的條件方差為va

20、r(Xti)=：；2G2 G12 G；四、分析題1 某零均值序列(N=250)適合AR模型，對其分別擬合 AR(1).AR(2)和AR(3)模型(模 型中不包括常數(shù)項)，殘差平方和分別為：1619.236，1474.032，1473.748，試用F檢驗定 階法判定該序列適合模型的階數(shù)(顯著性水平取為0.05 )。1474.032-1473.748答:F10.284 =0.0471473.7485.99250-1 -3取口 =0.05，查 F 分布表可得 F0.05 (1,246 ) = 3.84，顯然 F v F0.05( 1,246 )，所以在:=0.05的顯著性水平下，AR(2)和AR(3

21、)模型沒有顯著差異，所以模型階數(shù)可以繼續(xù)降低。1619.236-1474.0321145.20424.331474.0325.968250-1 -2取a =0.05，查F分布表可得F°.05 (1,246 ) = 3.84，顯然F >(1,246 )，所以在:-=0.05的顯著性水平下，AR(1)和AR(2)模型有顯著差異，所以合適的模型階數(shù)為2階。2從特征根和平穩(wěn)域兩個方面，分別判斷下面模型的平穩(wěn)性。(1) Xt =0.8Xt at ；(2) Xt - -1.1Xt at ；(3) Xt 二 XtJL0.5XtJ2 at ；(4) Xt 二 Xt 0.5Xt at3.對某時間

22、序列(N=80)擬合ARMA(2,1)模型，得到殘差自相關(guān)如下表所示，試檢驗該 模型的適應(yīng)性(顯著性水平取為0.05 )。殘差自相關(guān)函數(shù)k12345678Pk0.10.080.090.04-0.130.050.02-0.06答：殘差自相關(guān)函數(shù)滿足E蘭1.96/儷 =0.22統(tǒng)計量Q =3.96亠點8-2 T) =11.07因此在0.05的顯著性水平下可以接受，因 而ARMA(2,1)模型是適合的。五、解答題k1. 解差分方程y(k 2) -7y(k 1) 12y(k) =5解：設(shè) y(k) = k，則有，k 2 -7廣 112，k =02- 7、12=0 解得： 1 =3 ,'2=4y( k) =G、= C1 ； y(k)=C2'2 =。24*kk則通解為：y(k)=G3 C24令 y(k)二 C5k，得：C5k -7C5k 112C3k =5k= 25C -35C12C = 112C=1, C=2k 1 k-特解為：y(k)=C5 2 51原方程的通解為：y(k)=G3kC24k 丄5k22. 有 t=1,2,11 的數(shù)據(jù)序列如下：0.21,1.02,1.31,0.39,-0.26;-0.26,-0