1、精選文檔材料力學扭轉6.1扭轉的概念扭轉是桿件變形的一種基本形式。在工程實際中以扭轉為主要變形的桿件也是比較多的，例如圖6-1所示汽車方向盤的操縱桿，兩端分別受到駕駛員作用于方向盤上的外力偶和轉向器的反力偶的作用；圖6-2所示為水輪機與發電機的連接主軸，兩端分別受到由水作用于葉片的主動力偶和發電機的反力偶的作用；圖6-3所示為機器中的傳動軸，它也同樣受主動力偶和反力偶的作用，使軸發生扭轉變形。圖6 1圖6 3方向相反、且作用平面與桿這些實例的共同特點是：在桿件的兩端作用兩個大小相等、件軸線垂直的力偶，使桿件的任意兩個截面都發生繞桿件軸線的相對轉動。這種形式的變形稱為扭轉變形（見圖6-4）。以扭

2、轉變形為主的直桿件稱為軸。若桿件的截面為圓形的軸稱為圓軸。圖6 46.2扭矩和扭矩圖6.2.1 外力偶矩作用在軸上的外力偶矩，可以通過將外力向軸線簡化得到，但是，在多數情況下，則是通過軸所傳遞的功率和軸的轉速求得。它們的關系式為PM9550（6-1）n其中：M外力偶矩（Nm）;P軸所傳遞的功率（KW）;軸的轉速(r/min)。外力偶的方向可根據下列原則確定：輸入的力偶矩若為主動力矩則與軸的轉動方向相同；輸入的力偶矩若為被動力矩則與軸的轉動方向相反。6.2.2 扭矩圓軸在外力偶的作用下，其橫截面上將產生連續分布內力。根據截面法，這一分布內力應組成一作用在橫截面內的合力偶，從而與作用在垂直于軸線平

3、面內的外力偶相平衡。由分布內力組成的合力偶的力偶矩，稱為扭矩，用Mn表示。扭矩的量綱和外力偶矩的量綱相同，均為Nm或kNml當作用在軸上的外力偶矩確定之后，應用截面法可以很方便地求得軸上的各橫截面內的扭矩。如圖6-5(a)所示的桿，在其兩端有一對大小相等、轉向相反，其矩為M的外力偶作用。為求桿任一截面m-m的扭矩，可假想地將桿沿截面m-m切開分成兩段，考察其中任一部分的平衡，例如圖6-5(b)中所示的左端。由平衡條件Mx(F)0可得MnM圖6 5注意，在上面的計算中，我們是以桿的左段位脫離體。如果改以桿的右端為脫離體，則在同一橫截面上所求得的扭矩與上面求得的扭矩在數值上完全相同，但轉向卻恰恰相

4、反。為了使從左段桿和右段桿求得的扭矩不僅有相同的數值而且有相同的正負號，我們對扭矩的正負號根據桿的變形情況作如下規定：把扭矩當矢量，即用右手的四指表示扭矩的旋轉方向，則右手的大拇指所表示的方向即為扭矩的矢量方向。如果扭矩的矢量方向和截面外向法線的方向相同，則扭矩為正扭矩，否則為負扭矩。這種用右手確定扭矩正負號的方法叫做右手螺旋法則。如圖6-6所示。按照這一規定，園軸上同一截面的扭矩(左與右)便具有相同的正負號。應用截面法求扭矩時，一般都采用設正法，即先假設截面上的扭矩為正，若計算所得的符號為負號則說明扭矩轉向與假設方向相反。當一根軸同時受到三個或三個以上外力偶矩作用時，其各段橫斷面上的扭矩須分

5、段應用截面法計算。6.2.3扭矩圖為了形象地表達扭矩沿桿長的變化情況和找出桿上最大扭矩所在的橫截面，我們通常把扭矩隨截面位置的變化繪成圖形。此圖稱為扭矩圖。繪制扭矩圖時，先按照選定的比例尺，以受扭桿橫截面沿桿軸線的位置x為橫坐標，以橫截面上的扭矩Mn為縱坐標，建立Mn-x直角坐標系。然后將各段截面上的扭矩畫在Mnx坐標系中。繪圖時一般規定將正號的扭矩畫在橫坐標軸的上側，將負號的扭矩畫在橫坐標軸的下側。例6-1傳遞功率的等截面圓軸轉速n=120rpm,軸上各有一個功率輸入輪和輸出輪。已知該軸承受的扭矩Mn450NI-m,求：軸所傳遞的功率數。解：因為等截面圓軸上只有兩個外力偶作用，且大小相等、方

6、向相反（輸入和輸出功率相等），故軸所承受的扭矩大小等于外力偶矩，即M=Mn=1450MMn1450NmP根據（6-1）式，M9550Pn由此求得軸所傳遞的功率為18.2kNPMn145012095509550P 20 KW,三個從動輪的輸出功率P25 KW、P3 5 KW、P4 10 KW,軸的轉速 n200 rpm。繪制軸的扭矩圖。解:圖6 71）計算作用在主動輪上的外力偶矩Mi和從動輪上的外力偶矩M2、M3、M40例6-2傳動軸如圖6-7所示，已知主動輪的輸入功率一R-20M195509550955Nmn200M2239 Nl- mP2595509550n200一ccBcc5M395509

7、550239Nmn200一ccP4cc10cM495509550478Nmn2002）求各段截面上的扭矩。截面1-1上的扭矩，由平衡方程M0M2Mn10解得Mn1M2239Nlm截面2-2上的扭矩，由平衡方程M0M2M3Mn203n4得Mn2M2M3239239478Nm截面3-3上的扭矩，由平衡方程M0M4Mn30M4Mn3=0得Mn3M4478Nlmn343）畫扭矩圖根據所得數據，把各截面上的扭矩沿軸線的變化情況，畫在Mnx坐標系中，如圖6-7所示。從圖中看出，最大扭矩發生于BC段和CD內，且Mmax|478ni-亂對同一根軸來說，若把主動輪C安置于軸的一端，例如放在右端，則軸的扭矩圖將發

8、生變化。這時，軸的最大扭矩變為：Mmax955Nl-RI可見，傳動軸上主動輪和從動輪安置的位置不同，軸所承受的最大扭矩也就不同。因此主動輪和從動輪的布局要盡量合理。6.3扭轉時的應力與強度計算6.3.1 圓軸扭轉時橫截面上的應力為了說明圓軸扭轉時橫截面上的應力及其分布規律，我們可進行一次扭轉試驗。取一實心圓桿，在其表面上畫一系列與軸線平行的縱線和一系列表示圓軸橫截面的圓環線，將圓軸的表面劃分為許多的小矩形，如圖6-8所示。若在圓軸的兩端加上一對大小相等、轉向相反、其矩為M的外力偶，使園軸發生扭轉變形。當扭轉變形很小時，我們就可以觀察到如圖6-8（b）所示的變形情況：（1）雖然圓軸變形后，所有與

9、軸線平行的縱向線都被扭成螺旋線，但對于整個圓軸而言，它的尺寸和形狀基本上沒有變動；（2）原來畫好的圓環線仍然保持為垂直于軸線的圓環線，各圓環線的間距也沒有改變，各圓環線所代表的橫截面都好像是“剛性圓盤”一樣，只是在自己原有的平面內繞軸線旋轉了一個角度；（3）各縱向線都傾斜了相同的角度，原來軸上的小方格變成平行四邊形。圖68根據從試驗觀察到的這些現象，可以假設：在變形微小的情況下，軸在扭轉變形時，軸長沒有改變；每個截面都發生對其它橫截面的相對轉動，但是仍保持為平面，其大小、形狀都不改變。這個假設就是圓軸扭轉時的平面假設（或稱剛性平面假設）。根據平面假設，可得如下結論：（1）因為各截面的間距均保持

10、不變，故橫截面上沒有正應力；（2）由于各截面繞軸線相對轉過一個角度，即橫截面間發生了旋轉式的相對錯動，出現了剪切變形，故橫截面上有切應力存在；（3）因半徑長度不變，切應力方向必與半徑垂直；（4）圓心處變形為零，圓軸表面的變形最大。綜上所述，圓軸在扭轉時其橫截面上各點的切應變與該點至截面形心的距離成正比，由剪切胡克定律，橫截面上必有與半徑垂直并呈線性分布的切應力存在（見圖6-9）,故有k。圖69扭轉切應力的計算如圖69所示，在圓軸橫截面各微面積上的微剪力對圓心的力矩的總和必須與扭矩Mn相等。因微面積dA上的微剪力dA對圓心的力矩為dA,故整個橫截面上所有微力矩之和為dA,故有A2MndAK2dA

11、AA將I2dA定義為極慣性矩，則由此得Mn/I(6-2)(6-3)顯然，當0時，0;當R時，切應力最大。令WnI/,則式（6-3）為RMnmax.n,Wn(6-4)其中，Wn抗扭截面系數。注意：式（6-3）及式（6-4）均以平面假設為基礎推導而得，故只能限定圓軸的max不超過材料的比例極限時方可應用。6.3.2極慣性矩I和抗扭截面系數Wn1、實心圓軸截面設圓軸的直徑為d，在截面任一半徑r處，取寬度為dr的圓環作為微元面積。此微元面積dA2rdr,如圖6-10所示。2dA抗扭截面系數2.空心圓軸截面設空心圓軸截面的內、d圖610根據極慣性矩的定義dA,得到d2Wndr-0.1d4外經分別為d的下

12、限由0變為一，于是得到22dAAD223rd2或寫成D4(1324)其中為內、外徑之比，即抗扭截面系數6.3.3圓軸扭轉強度計算為了保證受扭圓軸安全可靠地工作,用切應力，即/0.2d3d和D。微元面積仍為dA2rdr,dr16(6-5)只是積分(D4d4)323-(14)(6-6)必須使軸橫截面上的最大切應力不超過材料的許max(6-7)此即圓軸扭轉時的“強度計算準則”，又稱為“扭轉強度條件”。對于等截面圓軸，切應力的最大值由下式確定:MmaxmaxWn這時最大扭矩Mmax作用的截面稱為危險面。對于階梯軸，由于各段軸的抗扭截面系數不同，最大扭矩作用面不一定是危險面。這時，需要綜合考慮扭矩與抗扭

13、截面系數的大小，判斷可能產生最大切應力的危險面。所以在進行扭轉強度計算時，必須畫出扭矩圖。根據扭轉強度條件，可解決以下三類強度問題：（1）扭轉強度校核。已知軸的橫截面尺寸，軸上所受的外力偶矩（或傳遞的功率和轉速），及材料的扭轉許用切應力。校核構件能否安全工作。（2）圓軸截面尺寸設計。已知軸所承受的外力偶矩（或傳遞的功率），以及材料的扭轉許用切應力。圓軸的截面尺寸應滿足Wn>(6-8)（3）確定圓軸的許可載荷。已知圓軸的截面尺寸和材料的扭轉許用切應力，得到軸所承受的扭矩(6-9)再根據軸上外力偶的作用情況，確定軸上所承受的許可載荷（或傳遞功率）例6-3已知實心圓軸，承受的最大扭矩為Mmax

14、1.5KNm,軸的直徑d11）在最大切應力相同的條件下，用空心圓軸代替實心圓軸，當空心軸外經內徑值；2）兩軸的重量之比。解：（1）求實心軸橫截面上的最大切應力實心軸橫截面上的最大切應力為53mm。求:D2=90mm時的MmaxmaxWn16Mmaxd3161.510冗5336=51.3MPa（2）求空心軸的內徑因為兩軸的最大切應力相等，故max(仝)max(實)51.3MPamax(空)16M max3ma4-51.3 MPaD；(14)由此解得16MmaxD2 51.316 1.5 106903 51.30.945因此，空心軸的內徑d2D2 0.945 90 85.1 mm（3）求兩軸的重量

15、比因為兩軸的長度和材料都相同，故兩者的重量之比等于面積之比，即A（空）A（實）d2 d2d：902 85.125320.305可見，在保證最大切應力相同的條件下，空心軸的重量比實心軸輕得多。顯然，采用空心軸能減輕構件的重量、節省材料，因而更為合理。空心軸的這種優點在于圓軸受扭時，橫截面上的切應力沿半徑方向線性分布的特點所決定的。由于圓軸截面中心區域切應力很小，當截面邊緣上各點的應力達到扭轉許用切應力時，中心區域各點的切應力卻遠遠小于扭轉許用切應力值。因此，這部分材料沒有得到充分利用。若把軸心附近的材料向邊緣移動，使其成為空心軸，則截面的極慣性矩和抗扭截面系數將會有較大增加，使截面上的切應力分布

16、趨于均勻。并由此而減小最大切應力的數值，提高圓軸的承載能力。但其加工工藝較復雜，成本較高。6.3扭轉變形工程設計中，對于承受扭轉變形的圓軸，除了要求足夠的強度外，還要求有足夠的剛度。即要求軸在彈性范圍內的扭轉變形不能超過一定的限度。例如，車床結構中的傳動絲杠，其相對扭轉角不能太大，否則將會影響車刀進給動作的準確性，降低加工的精度。又如，發動機中控制氣門動作的凸輪軸，如果相對扭轉角過大，會影響氣門啟閉時間等等。對某些重要的軸或者傳動精度要求較高的軸，均要進行扭轉變形計算。圓軸扭轉時兩個橫截面相對轉動的角度即為圓軸的扭轉變形，稱為扭轉角。由數學推導可得扭轉角的計算公式為（6-10）Mnl=GI其中

17、扭轉角（rad）;Mn某段軸的扭矩（Nl-m）;L相應兩橫界面間的距離（m）;G軸材料的切變量模量（GPa）;I橫截面間的極慣性矩（m4）；式中的GI反映了材料及軸的截面形狀和尺寸對彈性扭轉變形的影響，稱為圓軸的“抗扭剛度”。抗扭剛度GI越大，相對扭轉角就越小。,并用度/米（0/m ）單位Mn180GI/m(6-11)為了消除軸的長度對變形的影響，引入單位長度的扭轉角表示，則上式為<。稱為許用單位長度扭轉角圖 6-11不同用途的傳動軸對于值的大小有不同的限制，即（可查有關手冊），對其進行的計算稱為扭轉剛度計算。例6-4圖示階梯圓軸，已知AB段直徑D175mm,BC段直徑D250mm；A輪

18、輸入功率P35kw,C輪的輸出功率P315KW,軸的轉速為n200rpm,軸材料的G80GPa,60MPa,軸的=20/m。1）試求該軸的強度和剛度。2）如果強度和剛度都有富裕，試分析，在不改變C輪輸出功率的前提下，A論的輸入功率可以增加到多大?解1）校核軸的強度和剛度（1）計算外力偶矩P135M195509550X1671Nm1.67kNmn200P315M395509550X716.2Nm0.72kNmn200有力偶平衡條件M2M1M31.670.7160.95kN-m（2）應用截面法計算各段的扭矩并畫扭矩圖AB段Mn1Mi1.67kNmBC段Mn3M30.72kN-m由此畫出扭矩圖，如6

19、-11圖所示。(3)計算應力，校核強度。從扭矩圖看，AB段扭矩最大；從截面尺寸看,BC段直徑最小。因而不能直接確定最大切應力發生在哪一段截面上。比較兩端內的最大切應力:AB段Mn11.67 106“ c20.2 MPa16753BC段Mn2W20.71816-0- 29.2 MPa 503全軸內橫截面上的最大切應力為： 所以，軸的強度滿足要求。(4)計算扭轉角，校核剛度。max29.2MPav 60MPa。根據軸的單位長度扭轉角MnGp ,由于AB和BC段的扭矩和截面都不相同，故需分段計算max °AB段Mn1GI 118001031.67 106 1800 1030.390 /mB

20、C段Mn2GI 21800 10380 1030.716321067541800過 0.840 /m3 冗480 10 50 冗32因max0.840/mv=20/m。所以軸的剛度滿足要求。2)計算A輪的最大輸入功率因為C輪的輸入功率不變，即BC段的扭矩不變。所以，這段軸的強度和剛度都是安全的，故只需根據AB段的強度和剛度條件確定這段軸所能承受的最大扭矩。而這段軸的扭矩等于作用在A輪上的外力偶矩，由此即可求得A輪上所能輸入的最大功率。根據強度條件Mn1max叫160:7534.97kNm16根據剛度條件34Mn1maxGI1238010758.7kN-m18010332考慮到既要滿足強度要求又

21、要滿足剛度要求，故取兩者中的較小者，即Mn1max4.97kNmi于是，A輪的輸入功率PiM n M nimax n955095504.97 103 2009550104KW小結本章主要介紹了圓軸扭轉的內力扭矩的計算和圓軸在力偶作用面垂直于軸線的平衡力偶作用下產生的扭轉變形。(1)作用在軸上的外力偶矩，通過軸所傳遞的功率和軸的轉速求得。它們的關系式為一CcPM9550n(2)用截面法求圓軸的內力偶矩，利用力系的平衡條件列出方程求解。各截面的內力偶矩的方向有右手螺旋法則來確定。然后繪出圓軸扭矩圖。(3)圓軸扭轉時橫截面上的應力，在圓軸橫截面上任一點的切應力與該點到圓心的距離成正比，在圓心處為零。最大