1、第一章 控制系統的狀態空間模型1.1 引言工程系統正朝著更加復雜的方向發展，這主要是由于復雜的任務和高精度的要求所引起的。一個復雜系統可能有多個輸入和多個輸出，并且以某種方式相互關聯或耦合,可能是時變的。由于需要滿足控制系統性能提出的日益嚴格的要求，系統的復雜程度越來越大，為了分析這樣的系統，必須簡化其數學表達式，轉而借助于計算機來進行各種大量而乏味的分析與計算,并且要求能夠方便地用大型計算機對系統進行處理。從這個觀點來看，狀態空間法對于系統分析是最適宜的。大約從1960年升始發展起來。這種新方法是建立在狀態概念之上的。狀態本身并不是一個新概念，在很長一段時間內，它已經存在于古典動力學和其他一

2、些領域中。 經典控制理論是建立在系統的輸入-輸出關系或傳遞函數的基礎之上的，而現代控制理論以n個一階微方程來描述系統，這些微分方程又組合成一個一階向量-矩陣微分方程。應用向量-矩陣表示方法，可極大地簡化系統的數學表達式。狀態變量、輸入或輸出數目的增多并不增加方程的復雜性。事實上，分析復雜的多輸入-多輸出系統，僅比分析用一階純量微分方程描述的系統在方法上稍復雜一些。本課程將主要涉及控制系統的基于狀態空間的描述、分析與設計。本章將首先給出狀態空間方法的描述部分。將以單輸入單輸出系統為例，給出包括適用于多輸入多輸出或多變量系統在內的狀態空間表達式的一般形式、線性多變量系統狀態空間表達式的標準形式(相

3、變量、對角線、Jordan、能控與能觀測)、傳遞函數矩陣，以及利用MATLAB進行各種模型之間的相互轉換。第二章將討論狀態反饋控制系統的分析方法。第三章將給出系統的穩定性分析。第四章將給出幾種主要的設計方法。本章1.1節為控制系統狀態空間分析的引言。1.2節介紹狀態空間描述1.3節討論動態系統的狀態空間表達式。1.4狀態空間表達式的標準形式。1.5 介紹系統矩陣的特征值基本性質.1.6討論用MATLAB進行系統模型的轉換問題。1.2控制系統的狀態空間描述狀態空間描述是60年代初，將力學中的相空間法引入到控制系統的研究中而形成的描述系統的方法，它是時域中最詳細的描述方法。特點： 1.給出了系統的

4、內部結構信息.2.形式上簡潔,便于用數字計算機計算.1.2.1 狀態的基本概念在介紹現代控制理論之前，我們需要定義狀態、狀態變量、狀態向量和狀態空間。狀態：動態系統的狀態是系統的最小一組變量(稱為狀態變量)，只要知道了在時的一組變量和時的輸入量，就能夠完全確定系統在任何時間時的行為。 狀態這個概念決不限于在物理系統中應用。它還適用于生物學系統、經濟學系統、社會學系統和其他一些系統。狀態變量：動態系統的狀態變量是確定動態系統狀態的最小一組變量。如果至少需要n個變量才能完全描述動態系統的行為(即一旦給出時的輸入量，并且給定時的初始狀態，就可以完全確定系統的未來狀態)，則這n個變量就是一組狀態變量。

5、 狀態變量未必是物理上可測量的或可觀察的量。某些不代表物理量的變量，它們既不能測量，又不能觀察，但是卻可以被選為狀態變量。這種在選擇狀態變量方面的自由性，是狀態空間法的一個優點。狀態向量：如果完全描述一個給定系統的行為需要n個狀態變量，那么這n個狀態變量可以看作是向量X的n個分量，該向量就稱為狀態向量。狀態向量是這樣一種向量，一旦時的狀態給定，并且給出時的輸人，則任意時間時的系統狀態便使可以唯一地確定。狀態空間：由n個狀態變量所張成的n維歐氏空間，稱為狀態空間。任何狀態都可以用狀態空間中的一點來表示。1.2.2狀態空間方程 在狀態空間分析中，涉及到三種類型的變量，它們包含在動態系統的模型中。這

6、三種變量是輸入變量、輸出變量和狀態變量。在后面的分析中我們將會看到，對于一個給定的系統，其狀態空間表達式不是唯一的。但是，對于同一系統的任何一種不同的狀態空間表達式而言，其狀態變量的數量是相同的。 動態系統的狀態常常直接描述了系統中內部能量的分配.例如.通常選以下量作為狀態變量:位置(勢能),速度(動能),電容電壓(電能)和電感電流(磁能).內部能量總可以通過狀態變量計算出來.通過第二章的系統的分析知,可以把系統的狀態與系統的輸入和輸出聯系起來,并在系統的內部變量與外部輸入和測量輸出之間建立聯系.相反,傳遞函數僅將輸入和輸出聯系起來,沒有給出系統的內部特性.狀態形式保存了系統內部特性的信息,這

7、一點有時是很重要的.假設多輸入、多輸出n階系統中, r個輸入量為和m個輸出量。n個狀態變量為于是可以用下列方程描述系統: (1.2.1)輸出方程為: (1.2.2)用向量形式描述,可寫為:狀態方程: (1.2.3) 輸出方程: (1.2.4)其中 1.3 根據系統微分方程建立狀態空間表達式 1. 不含作用函數導數項時n階系統的狀態空間表達式 (1.3.1)選取狀態變量:得到:即狀態方程為： （1.3.2）輸出方程為： (1.3.3)2. 含作用函數導數項時n階系統的狀態空間表達式 (1.3.4)方法一：選取狀態變量為 (1.3.5) 即 (1.3.6)式中， 由下式確定： (1.3.7) (1

8、.3.8) (1.3.9) (1.3.10)方法二：引入中間變量,令 （1.3.11）并將原微分方程分解成如下兩個方程：選擇系統的狀態變量為： (1.3.12)得系統狀態方程和輸出方程 (1.3.13)若,則有 寫成矩陣形式 (1.3.14) (1.3.15)1.4 狀態空間表達式的標準形式考慮由下式定義的系統： (1.4.1) 式中u為輸入，y為輸出。該式也可寫為 (1.4.2) 下面給出由式（1.4.1）或式（1.4.2）定義的系統狀態空間表達式之能控標準形、能觀測標準形和對角線形（或Jordan形）標準形。1.4.1 能控標準形 下列狀態空間表達式為能控標準形： (1.4.3) (1.4

9、.4)1.4.2 能觀測標準形下列狀態空間表達式為能觀測標準形：1.4.3 對角線標準形考慮分母多項式中只含相異根的情況。該系統的狀態空間表達式的對角線標準形由下式確定：1.4.4 Jordan標準形下面考慮分母多項式中含有重根的情況。對此，必須將前面的對角線標準形修改為Jordan標準形。例如，假設除了前3個相等外，其余極點相異。于是Y（s）/U(s)因式分解后為： 該式的部分分式展開式為該系統狀態空間表達式的Jordan標準形由下式確定： 例1.1 考慮由下式確定的系統：試求其狀態空間表達式之能控標準形、能觀測標準形和對角線標準形。解： 能控標準形為： 能觀測標準形為： 對角線標準形為：1

10、.5 系統矩陣的特征值的基本性質n×n維系統矩陣A的特征值（特征根）是下列特征方程的根： 1.5.1 n×n維系統矩陣的對角線化如果一個具有相異特征值的n×n維矩陣A由下式給出：作如下非奇異線性變換x = P z，其中稱為范德蒙(Vandemone)矩陣，這里1，2，···，n是系統矩陣A的n個相異特征值。將P -1AP變換為對角線矩陣，即P -1AP= 如果矩陣A含有重特征值，則不能將上述矩陣對角線化。例如，3×3維矩陣有特征值1，2，3作非奇異線性變換x = S z，其中得到該式是一個Jordan標準形。例1.2 考慮下

11、列系統的狀態空間表達式：可寫為如下標準形式：式中 矩陣A的特征值為：1 = 1，2 = 2，3 = 3因此，這3個特征值相異。如果作變換或x = P z 定義一組新的狀態變量z1、z2和z3，式中P =代入可得將上式兩端左乘P -1，得或者+化簡得，這也是一個狀態方程輸出方程可修改為：y = CP z或 注意：由定義的變換矩陣P將z的系統矩陣轉變為對角線矩陣。由式可看出，3個純量狀態方程是解耦的。注意矩陣P -1AP的對角線元素和矩陣A的3個特征值相同。此處強調A和P -1AP的特征值相同，這一點非常重要。下面我們將討論線性變換下特征值的不變性。1.5.2 特征值的不變性 為證明線性變換下特性

12、值的不變性，需證明|I - A|和|I P -1AP|的特征多項式相同。由于乘積的行列式等于各行列式的乘積，故注意到行列式|P -1|和|P|的乘積等于乘積|P -1P|的行列式，從而|I-P -1AP| = |P -1P| |I-A| = |I-A|這就證明了在線性變換下矩陣A的特征值是不變的。1.5.3 狀態變量組的非唯一性前面已闡述過，給定系統的狀態變量組不是唯一的。設是一組狀態變量，可取任意一組函數, 作為系統的另一組狀態變量，這里假設對每一組變量都對應于唯一的一組的值。反之亦然。因此，如果x是一個狀態向量，則也是一個狀態向量，這里假設變換矩陣P是非奇異的。顯然，這兩個不同的狀態向量都

13、能表達同一系統之動態行為的同一信息。1.6 利用MATLAB進行系統模型之間的相互轉換本節將討論系統模型由傳遞函數變換為狀態方程，反之亦然。MATLAB是相當有用的，我們首先討論從傳遞函數向狀態方程的變換。將閉環傳遞函數寫為當有了這一傳遞函數表達式后，使用如下MATLAB命令：將會給出狀態空間表達式。應著重強調，任何系統的狀態空間表達式都不是唯一的。對于同一系統，可有許多個（無窮多個）狀態空間表達式。上述MATLAB命令僅給出了一種可能的狀態空間表達式。1.6.1 傳遞函數系統的狀態空間表達式 考慮以下傳遞函數 對該系統，有多個（無窮多個）可能的狀態空間表達式，其中一種可能的狀態空間表達式為：

14、 另外一種可能的狀態空間表達式（在無窮個中）為： MATLAB將式（1.6.1）給出的傳遞函數變換為由式（1.6.2）和（1.6.3）給出的狀態空間表達式。對于此處考慮的系統，MATLAB Program 1-1將產生矩陣A、B、C和D。MATLAB Program 1-1Num=0 0 1 0;Den=11456160;A,B,C,D = tf2ss(num,den)A= -14-56 -160 1 0 0 0 1 0B= 1 0 0C= 0 1 0D= 01.6.2 由狀態空間表達式到傳遞函數的變換 為了從狀態空間方程得到傳遞函數，采用以下命令： 對多輸入的系統，必須具體化iu。例如，如果

15、系統有3個輸入，則iu必須為1、2或3中的一個，其中1表示u1, 2表示u2, 3表示u3。如果系統只有一個輸入，則可采用或 例1.3 試求下列狀態方程所定義的系統的傳遞函數。MATLAB Program 1-2將產生給定系統的傳遞函數。所得傳遞函數為：MTLAB Program 1-2A=0 1 0; 00 1; -5 -25 -5;B=0; 25; -120;C=1 0 0;D=0;num,den=ss2tf(A,B,C,D)num= 0 -0.0000 25.0000 5.0000den= 1.0000 5.0000 25.0000 5.0000%*The same result can

16、 be obtained by entering the following command*num,den=ss2tf(A,B,C,D,1)num= 0 -0.0000 25.0000 5.0000den= 1.0000 5.0000 25.0000 5.0000 例1.4 考慮一個多輸入-多輸出系統。當系統輸出多于一個時，MATLAB命令：NUM，den = ss2tf (A,B,C,D,iu)對每個輸入產生所有輸出的傳遞函數（分子系數轉變為具有與輸出相同行的矩陣NUM）。考慮由下式定義的系統： 該系統有兩個輸入和兩個輸出，包括4個傳遞函數：Y1（s）/U1(s)、Y2（s）/U1(s)、Y1（s）/U2(s)和Y2（s）/U2(s)（當考慮輸入u1時，可設u2為零。反之亦然）。解：MATLAB Program 1-3將會產生出四個傳遞函數：MATLAB Program 1-3 A=0 1； -25-4；B=1 1；01；C=1 0； 0 1；D=0 0； 0 0NUM,den=ss2tf(A,B,C,D,1)NUM= 0 14 0 0-2