1、高等數學（本科少學時類型）第一章 函數與極限第一節 函數函數基礎（高中函數部分相關知識）（）鄰域（去心鄰域）（）第二節 數列的極限數列極限的證明（）【題型示例】已知數列，證明【證明示例】語言1由化簡得，2即對，。當時，始終有不等式成立，第三節 函數的極限時函數極限的證明（）【題型示例】已知函數，證明【證明示例】語言1由化簡得，2即對，當時，始終有不等式成立，時函數極限的證明（）【題型示例】已知函數，證明【證明示例】語言1由化簡得，2即對，當時，始終有不等式成立，第四節 無窮小與無窮大無窮小與無窮大的本質（）函數無窮小函數無窮大無窮小與無窮大的相關定理與推論（）（定理三）假設為有界函數，為無窮小

2、，則（定理四）在自變量的某個變化過程中，若 為無窮大，則為無窮小；反之，若為無窮小，且，則為無窮大【題型示例】計算：（或）1函數在的任一去心鄰域內是有界的；（，函數在上有界；）2即函數是時的無窮小；（即函數是時的無窮小；）3由定理可知（）第五節 極限運算法則極限的四則運算法則（）（定理一）加減法則（定理二）乘除法則關于多項式、商式的極限運算設：則有 （特別地，當（不定型）時，通常分子分母約去公因式即約去可去間斷點便可求解出極限值，也可以用羅比達法則求解）【題型示例】求值【求解示例】解：因為，從而可得，所以原式其中為函數的可去間斷點倘若運用羅比達法則求解（詳見第三章第二節）：解：連續函數穿越定理

3、（復合函數的極限求解）（）（定理五）若函數是定義域上的連續函數，那么，【題型示例】求值：【求解示例】第六節 極限存在準則及兩個重要極限夾迫準則（P53）（）第一個重要極限：，（特別地，）單調有界收斂準則（P57）（）第二個重要極限：（一般地，其中）【題型示例】求值：【求解示例】第七節 無窮小量的階（無窮小的比較）等價無窮小（）12（乘除可替，加減不行）【題型示例】求值：【求解示例】第八節 函數的連續性函數連續的定義（）間斷點的分類（P67）（）（特別地，可去間斷點能在分式中約去相應公因式）【題型示例】設函數 ，應該怎樣選擇數，使得成為在上的連續函數？【求解示例】12由連續函數定義第九節 閉區間

4、上連續函數的性質零點定理（）【題型示例】證明：方程至少有一個根介于與之間【證明示例】1（建立輔助函數）函數在閉區間上連續；2（端點異號）3由零點定理，在開區間內至少有一點，使得，即（）4這等式說明方程在開區間內至少有一個根第二章 導數與微分第一節 導數概念高等數學中導數的定義及幾何意義（P83）（）【題型示例】已知函數 ，在處可導，求，【求解示例】1，2由函數可導定義【題型示例】求在處的切線與法線方程（或：過圖像上點處的切線與法線方程）【求解示例】1，2切線方程：法線方程：第二節 函數的和（差）、積與商的求導法則函數和（差）、積與商的求導法則（）1線性組合（定理一）：特別地，當時，有2函數積的

5、求導法則（定理二）：3函數商的求導法則（定理三）：第三節 反函數和復合函數的求導法則反函數的求導法則（）【題型示例】求函數的導數【求解示例】由題可得為直接函數，其在定于域 上單調、可導，且；復合函數的求導法則（）【題型示例】設，求【求解示例】第四節 高階導數（或）（）【題型示例】求函數的階導數【求解示例】，第五節 隱函數及參數方程型函數的導數隱函數的求導（等式兩邊對求導）（）【題型示例】試求：方程所給定的曲線：在點的切線方程與法線方程【求解示例】由兩邊對求導即化簡得切線方程： 法線方程：參數方程型函數的求導【題型示例】設參數方程，求【求解示例】1.2.第六節 變化率問題舉例及相關變化率（不作要

6、求）第七節 函數的微分基本初等函數微分公式與微分運算法則（）第三章 中值定理與導數的應用第一節 中值定理引理（費馬引理）（）羅爾定理（）【題型示例】現假設函數在上連續，在 上可導，試證明：，使得成立 【證明示例】1（建立輔助函數）令顯然函數在閉區間上連續，在開區間上可導；2又即3由羅爾定理知，使得成立拉格朗日中值定理（）【題型示例】證明不等式：當時，【證明示例】1（建立輔助函數）令函數，則對，顯然函數在閉區間上連續，在開區間上可導，并且；2由拉格朗日中值定理可得，使得等式成立，又，化簡得，即證得：當時，【題型示例】證明不等式：當時，【證明示例】1（建立輔助函數）令函數，則對，函數在閉區間上連續

7、，在開區間上可導，并且；2由拉格朗日中值定理可得，使得等式成立，化簡得，又，即證得：當時，第二節 羅比達法則運用羅比達法則進行極限運算的基本步驟（）1等價無窮小的替換（以簡化運算）2判斷極限不定型的所屬類型及是否滿足運用羅比達法則的三個前提條件 A屬于兩大基本不定型（）且滿足條件， 則進行運算： （再進行1、2步驟，反復直到結果得出） B不屬于兩大基本不定型（轉化為基本不定型）型（轉乘為除，構造分式）【題型示例】求值：【求解示例】（一般地，其中）型（通分構造分式，觀察分母）【題型示例】求值：【求解示例】 型（對數求極限法）【題型示例】求值：【求解示例】 型（對數求極限法）【題型示例】求值：【求

8、解示例】 型（對數求極限法）【題型示例】求值：【求解示例】運用羅比達法則進行極限運算的基本思路（）通分獲得分式（通常伴有等價無窮小的替換）取倒數獲得分式（將乘積形式轉化為分式形式）取對數獲得乘積式（通過對數運算將指數提前）第三節 泰勒中值定理（不作要求）第四節 函數的單調性和曲線的凹凸性連續函數單調性（單調區間）（）【題型示例】試確定函數的單調區間【求解示例】1函數在其定義域上連續，且可導2令，解得：3（三行表）極大值極小值4函數的單調遞增區間為； 單調遞減區間為【題型示例】證明：當時，【證明示例】1（構建輔助函數）設，（）2，（）3既證：當時，【題型示例】證明：當時，【證明示例】1（構建輔助

9、函數）設，（）2，（） 3既證：當時，連續函數凹凸性（）【題型示例】試討論函數的單調性、極值、凹凸性及拐點【證明示例】 1 2令解得： 3（四行表） 4函數單調遞增區間為, 單調遞增區間為,； 函數的極小值在時取到，為，極大值在時取到，為； 函數在區間,上凹，在區間,上凸； 函數的拐點坐標為第五節 函數的極值和最大、最小值函數的極值與最值的關系（）設函數的定義域為，如果的某個鄰域，使得對，都適合不等式，我們則稱函數在點處有極大值；令則函數在閉區間上的最大值滿足：；設函數的定義域為，如果的某個鄰域，使得對，都適合不等式，我們則稱函數在點處有極小值；令則函數在閉區間上的最小值滿足：；【題型示例】求

10、函數在上的最值【求解示例】1函數在其定義域上連續，且可導2令，解得：3（三行表）極小值極大值4又 第六節 函數圖形的描繪（不作要求）第七節 曲率（不作要求）第八節 方程的近似解（不作要求）第四章 不定積分第一節 不定積分的概念與性質原函數與不定積分的概念（）原函數的概念：假設在定義區間上，可導函數的導函數為，即當自變量時，有或成立，則稱為的一個原函數原函數存在定理：（）如果函數在定義區間上連續，則在上必存在可導函數使得，也就是說：連續函數一定存在原函數（可導必連續）不定積分的概念（）在定義區間上，函數的帶有任意常數項的原函數稱為在定義區間上的不定積分，即表示為：（稱為積分號，稱為被積函數，稱為

11、積分表達式，則稱為積分變量）基本積分表（）不定積分的線性性質（分項積分公式）（）第二節 換元積分法第一類換元法（湊微分）（）（的逆向應用）【題型示例】求【求解示例】【題型示例】求【求解示例】 第二類換元法（去根式）（）（的正向應用）對于一次根式（）：令，于是，則原式可化為對于根號下平方和的形式（）：令（），于是，則原式可化為；對于根號下平方差的形式（）：a：令（），于是，則原式可化為；b：令（），于是，則原式可化為；【題型示例】求（一次根式）【求解示例】【題型示例】求（三角換元）【求解示例】第三節 分部積分法分部積分法（）設函數，具有連續導數，則其分部積分公式可表示為：分部積分法函數排序次序：

12、“反、對、冪、三、指”運用分部積分法計算不定積分的基本步驟：遵照分部積分法函數排序次序對被積函數排序；就近湊微分：（）使用分部積分公式：展開尾項，判斷 a若是容易求解的不定積分，則直接計算出答案（容易表示使用基本積分表、換元法與有理函數積分可以輕易求解出結果）； b若依舊是相當復雜，無法通過a中方法求解的不定積分，則重復、，直至出現容易求解的不定積分；若重復過程中出現循環，則聯立方程求解，但是最后要注意添上常數【題型示例】求【求解示例】【題型示例】求【求解示例】第四節 有理函數的不定積分有理函數（）設：對于有理函數，當的次數小于的次數時，有理函數是真分式；當的次數大于的次數時，有理函數是假分式

13、有理函數（真分式）不定積分的求解思路（）將有理函數的分母分拆成兩個沒有公因式的多項式的乘積：其中一個多項式可以表示為一次因式；而另一個多項式可以表示為二次質因式，（）；即： 一般地：，則參數 則參數則設有理函數的分拆和式為：其中 參數由待定系數法（比較法）求出得到分拆式后分項積分即可求解【題型示例】求（構造法）【求解示例】第五節 積分表的使用（不作要求）第五章 定積分極其應用第一節 定積分的概念與性質定積分的定義（）（稱為被積函數，稱為被積表達式，則稱為積分變量，稱為積分下限，稱為積分上限，稱為積分區間）定積分的性質（）（線性性質）（積分區間的可加性）若函數在積分區間上滿足，則；（推論一） 若函數、函數在積分區間上滿足，則；（推論二）積分中值定理（不作要求）第二節 微積分基本公式牛頓-萊布尼茲公式（）（定理三）若果函數是連續函數在區間上的一個原函數，則變限積分的導數公式（）（上上導下下導）【題型示例】求【求解示例】第三節 定積分的換元法及分部積分法定積分的換元法（）（第一換元法）【題型示例】求【求解示例】 （第二換元法）設函數，函數滿足：a，使得；b在區間或上，連續則：【題型示例】求【求解示例