1、數學理論在土木工程中的應用數學理論在土木工程中的應用摘要：在土木工程中，我們應用的很多公式，都是建立在數學理論的基礎上推導而得。本文介 紹了最小二乘法2在擬合曲線中的應用；矩陣4在計算張量中應用；微分方程6在建立平衡微分方程中的應用。通過這些介紹，使我們能夠更好的了解數學理論的重要性。關鍵詞：最小二乘法；矩陣；微分方程；彈塑性力學；土木工程Abstract : In civil engineering, we applied formulas are based on the mathematical theory of derivation derived. This article des

2、cribes the application of the least squares method of cure- fitting; matrix used in calculating tensor; differential equations in establishing equilibrium a- pplications. Through these presentations, so that we can better know the importance of the mathematical theory.Key words: least squares; matri

3、x; differential equations; elastic-plastic mechanics;civil engineering60前言數學是研究數量、結構、變化以及空間模型 等概念的一門學科。透過抽象化和邏輯推理的使 用，可以理解為人類邏輯性訓練的必要。它的基 本要素是：邏輯和直觀、分析和推理、共性和個 性。今日，數學被使用在世界不同的領域上，包 括科學、工程、醫學和經濟學等。數學對這些領 域的應用通常被稱為應用數學，有時亦會激起新 的數學發現，并導致全新學科的發展。數學家也 研究純數學，也就是數學本身，而不以任何實際 應用為目標。雖然許多以純數學開始的研究，但 之后會發現許多應

4、用。在土木工程中，很多學科原理的推導都是建 立在數學基礎上，推導出的結果，使我們能夠更 好地解決工程實際問題，同時實際問題又會促進 數學的發展和改革。1最小二乘法建立函數曲線的應用在土木工程實驗中，為了揭示某些相關量之 間的關系，找出其規律，往往需要求解其函數解析 式，常通過實驗得到一組數據，(%。0),(2), "P),尋求反映客觀事物變 化規律的函數關系 y f(x)的最佳近似表示式1 y s (x)。在做巖土工程試驗時，我們會得到一 系列的數據，這些數據之間有什么關系？能反應 什么問題？以及如何應用？遇到這些問題時，就 需要我們把數據進行量化，建立各個參數之間的 關系曲線，而最

5、小二乘法在曲線擬合方面簡單， 快捷，準確性滿足工程實際要求。研究土體電阻率與飽和度的關系，得到一組數據3 (見表1)表1飽和度和電阻率數據Table1 Saturation and resistivity data飽和度Sr(x)電阻率(m) ( yi)0.106200.222050.401640.51830.65250.82230.89211.0020通過描點回圖(見圖1),Figi Relationship between soils resistivityand its satuation degree根據其關系曲線我們可以推導出其經驗公式為y ax-b,用y axb進行曲線擬合，步驟如

6、下: b對y ax兩邊取對數得：In y In a-bln x令 u In y, A=ln a v=ln x,則得，u A-bv由表1中數據計算出表2數據，如下：表2關系換算數據彈塑性力學是固體力學發展較早、且在實踐 中得到廣泛應用的一個分支，是研究彈性與塑形 物體變性規律的一門學科。它推理嚴謹、計算結 果準確，是分析和解決工程技術問題的基礎和依 據，是土木工程專業的學生必學科目。在彈塑性力學由一點的應力分量為實數，應 力張量為實對稱張量，可知物體內任意一點的應 力矩陣為實對稱矩陣。根據線性代數中有關實對 稱矩陣對角形的有關定理和特征根、特征向量的 性質，可確定應力主軸的存在。因此求一點的主

7、應力問題就轉化成求一點的應力矩陣的特征值和 特征向量的問題。推導過程如下4：設應力張量 j的特征值為 ，特征向量為u ,E為單位矩陣，根據線性代數的知識有下式成立(ij E) u 0(1)上式有非零解的充分必要條件是ViUi-2.30266.4297-1.51415.3230-0.91635.0999-0.67334.4188-0.43083.2189-0.19853.1355-0.11653.04450.00002.9957s1Abv擬合上述數據，得A 2.985b 1.589Table2 Relations translated datadet( j E) 0展開有2一 一、J1( ) J

8、2( ) J3( )0 (2)其中J1()112233J2()( 1122223333 11)( 222、( 122331)J3()11 22 33 2 12 23 31(3)于是 a 19.787, y 19.787x-1.589通過圖1和擬合曲線函數可知，電阻率與飽 和度呈募函數關系，前者隨后者增加而減小。當飽 和度較小、土樣處于干燥狀態時，電阻率很高，飽和度的變化對電阻率影響很大。隨著飽和度的增 加，關系曲線出現拐點，電阻率變化趨于平緩。 當土樣趨于飽和時，電阻率無明顯變化。11 3222 3133 12簡單表示為J1( ) ii tr,，、 1/J 2 ( )2 ( ii jjJ3(

9、) det()ij ji )(4)上式中的J1、J 2、J 3稱為應力張量的三個不變 分量。將它們帶入式(3),解一元三次方程得到2矩陣特征值和特征向量在彈塑性 力學中的應用三個實根，就是所求應力矩陣的特征值，即主應力。相對于每個特征值的特征向量則為應力矩陣設作用于左面的正應力,則作用于右面的正應略去二階和二階以71dx上的微量后便是dx x(若x為常量，則xyxydx ；設上面的正應力和切應力分別是的三個主向，也就是主應力方向。知道了一點的 主應力后，該點的應力狀態可用主應力張量表示。 取主平面為三個坐標面，有100j 020003用主應力表示的應力張量的不變量如下J 1 ( )123、J

10、2 ( )( 1 22 33 1) (6)J 3 ( )1 2 3推導完畢。應力張量是描述變形物體內某點應力狀態的 一種二階對稱張量。已知土體某處應力張量，可 以進行受力分析，再聯合土體的邊界條件，可以 建立土體在力和邊界下的數學模型，從而通過相 關軟件進行所求量的分析。3微分方程在彈性力學中的應用一般的凡是表示未知函數、未知函數的導數 與自變量之間的關系的方程，叫做微分方程。定 義式為f (x, y', y'', y(n) 0 ,未知函數是一元函數的，叫常微分方程；未知函數是多元函數的 叫做偏微分方程6。在彈性力學中推導平面問題的平衡微分方程要用到微分方程，推導過程如

11、下：從物體上取出一個微小的正平行六面體 5,它在x 和y方向的尺寸分別為dx和dy ,圖3。為了計算 方便，它在z方向的尺寸取為一個單位長度。圖2受力假設5Fig2 Assuming the force力，由于 x 坐21-=0,而左右兩面的正應力都應該是x ,這就x是均布應力情況)。同樣，設設作用于左面的切應 力xy ,則作用于右面的切應力，將是和yx ,則下面的正應力和切應力分別是y -dyyx 一Jdy ；因為六面體是微小yy的，所以它在各面上所受的應力可以認為是均勻 分布，作用在對應面的小心。同理，六面體所受 的體力，也可以認為是均勻分布，作用在它的體 積的中心。首先以通過中C并平行于

12、z軸的直線為矩軸, 立出力矩的平衡方程M c 0 ；將上式兩邊除以dxdy ,合并相同項，得到xy(xydx)dyx( dx12xydy 1dx2yx(yxdy)dxy1 dy 2yxdx 1dy 02以x軸為投影軸，列出投影的平衡方程(xx dx)dy 1 xdy 1xFx 0(yxdy)dx 1y約簡以后，兩邊除以xxyx dxdxdy ,忙fxy1fx dxdy得01 0同理，由平衡方程Fy 0,可得一個相似的微分方程。于是得出平面問題中應力分量和體力分 量之間的關系，即平面問題中的平衡微分方程。xyxfx10,（8）xyyxyfy0yx平衡微分方程表示了區域內任一點的微分體 的平衡條件

13、，從而必須保證任一有限大部分和整 個區域是滿足平衡條件的。利用彈性力學，土木 工程師可以對地震及其對建筑物的作用進行量化; 研究斷層動力學，進行地震預測。4小結數學在人類文明的發展中起著非常重要的作 用，數學推動了重大的科學技術進步，為人類生 產和生活帶來的巨大的效益，是一種應用最廣泛、最直接、最及時、最富創造力和重要的實用技術。 在學習土木工程專業時，數學理論和應用一直伴 隨著我們的學習和工作，可以說數學的理論的發 展是土木工程發展的前提和基礎。在學習中，我 們應用的很多公式，都是建立在數學理論的基礎 上推導而得。如土力學力學習中我們會應用到高 數和線性代數知識，在挑選試驗數據的時候，我 們會應用的概率論和數理統