1、2022-2-5李輝 副教授參數曲線和曲面基礎R第2頁2022-2-5第9部分 參數曲線和曲面基礎內容n曲線曲面參數表示n位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和撓率n插值、擬合、逼近和光順n參數曲線的代數和幾何形式n連續性n參數曲面基本概念第3頁2022-2-5第9部分 參數曲線和曲面基礎n表示方法 顯式表示y=f(x) 隱式表示f(x,y)=0 參數表示P(t)=x(t), y(t)P(t)=x(t), y(t), z(t)曲線曲面參數表示第4頁2022-2-5第9部分 參數曲線和曲面基礎n顯式或隱式表示存在下述問題：1. 與坐標軸相關；2. 可能出現斜率為無窮大的情形(如垂線)；3. 不便于計算

2、機編程。第5頁2022-2-5第9部分 參數曲線和曲面基礎參數表示實例n直線n圓 1 , 012,11)(222ttttttP 1 , 0)()(121ttPPPtP第6頁2022-2-5第9部分 參數曲線和曲面基礎n參數表示的優點1.便于處理斜率無窮大的情形，不會因此而中斷計算。2.規格化的參數變量t0, 1，使其相應的幾何分量是有界的，而不必考慮邊界問題。3.對曲線、曲面進行變換，可對其參數方程直接進行幾何變換。4.便于把低維空間中曲線、曲面擴展到高維空間。5.易于用矢量和矩陣表示幾何分量，簡化了計算。6.有更大的自由度來控制曲線、曲面的形狀第7頁2022-2-5第9部分 參數曲線和曲面基

3、礎位置矢量、切矢量、法矢量第8頁2022-2-5第9部分 參數曲線和曲面基礎n位置矢量P(t)=x(t), y(t), z(t)n切矢量(切向量) 將弧長s作為參數，則 是單位切矢量 單位切矢量的計算 根據弧長微分公式有：sPdsdPTs0lim2222dzdydxds22222)(/tPdtdzdtdydtdxdtds0)(tPdtds第9頁2022-2-5第9部分 參數曲線和曲面基礎 于是有即為單位切矢量。)()(tPtPdsdtdtdPdsdP第10頁2022-2-5第9部分 參數曲線和曲面基礎n法矢量 與 平行的法矢稱為曲線在該點的主法矢量N 矢量積 B=TN 是第三個單位矢量，它垂直

4、于T和N。把平行于矢量B的法矢稱為曲線的副法矢量dsdT)()()()()()()()()()(tPtPtPtPtPtPTBNtPtPtPtPB 第11頁2022-2-5第9部分 參數曲線和曲面基礎 T、N和B構成了曲線上的活動坐標架 N、B構成的平面稱為法平面 N、T構成的平面稱為密切平面 B、T構成的平面稱為從切平面密切面從切面法平面TBN主法線圖3.1.2 曲線的法矢第12頁2022-2-5第9部分 參數曲線和曲面基礎n曲率 其幾何意義是曲線的單位切矢對弧長的轉動率 曲率k的倒數 稱為曲率半徑n撓率 撓率的絕對值等于副法線方向(或密切平面)對于弧長的轉動率曲率和撓率ss0lim1ssli

5、mdsdTdsdB第13頁2022-2-5第9部分 參數曲線和曲面基礎)(ssT)(sTTO（a）（b）1N1B1T0N0B0T0B1B3)()()(tPtPtP 2)()()(),(),(tPtPtPtPtP 第14頁2022-2-5第9部分 參數曲線和曲面基礎插值、擬合、逼近和光順n插值 給定一組有序的數據點Pi，i=0, 1, , n，構造一條曲線順序通過這些數據點，稱為對這些數據點進行插值，所構造的曲線稱為插值曲線。n線性插值 假設給定函數f(x)在兩個不同點x1和x2的值，用一個線形函數y=ax+b近似代替，稱為的線性插值函數。第15頁2022-2-5第9部分 參數曲線和曲面基礎n拋

6、物線插值 已知在三個互異點x1,x2,x3,的函數值為y1,y2,y3 ,要求構造一個函數(x)=ax2+bx+c使拋物線(x)在結點x1,x2,x3處與f(x)在 x1,x2,x3處的值相等。第16頁2022-2-5第9部分 參數曲線和曲面基礎xyo1y2y)(xfy )(xy1x2xxyo1y2y)(xfy )(xy1x2x3x3y(a)(b)第17頁2022-2-5第9部分 參數曲線和曲面基礎n擬合 構造一條曲線使之在某種意義下最接近給定的數據點(但未必通過這些點)，所構造的曲線為擬合曲線。n逼近 在計算數學中，逼近通常指用一些性質較好的函數近似表示一些性質不好的函數。在計算機圖形學中，

7、逼近繼承了這方面的含義，因此插值和擬合都可以視為逼近。第18頁2022-2-5第9部分 參數曲線和曲面基礎n光順光順(Firing)指曲線的拐點不能太多。對平面曲線而言，相對光順的條件是：1. 具有二階幾何連續性(G2)；2. 不存在多余拐點和奇異點；3. 曲率變化較小。第19頁2022-2-5第9部分 參數曲線和曲面基礎參數曲線的代數和幾何形式n代數形式(3次)n矢量形式zzzzyyyyxxxxatatatatztatatatatyatatatatx012233012233012233)( 1 , 0)()( 1 , 0)(012233tatatatatP第20頁2022-2-5第9部分 參

8、數曲線和曲面基礎n幾何形式 將P(0)、P(1)、P(0)和P(1)簡記為P0、P1、P0和P1代入得 1 , 0)(012233tatatatatP1010310102010022233PPPPaPPPPaPaPa 1 , 0)()2()32() 132()(123023123023tPttPtttPttPtttP第21頁2022-2-5第9部分 參數曲線和曲面基礎 令 于是 上式是三次Hermite(Ferguson)曲線的幾何形式. P0、P1、P0和P1是幾何系數 F0、F1、G0和G1稱為調和函數132)(230tttF23132)(tttFttttG2302)(231)(tttG

9、1 , 0)(11001100tPGPGPFPFtP第22頁2022-2-5第9部分 參數曲線和曲面基礎0P0P1P1P)(tP)(tP0Fto11to111Fto11to110G1G第23頁2022-2-5第9部分 參數曲線和曲面基礎四點式曲線 1 , 0)(012233tatatatatP4012330123201231032942783191271PaaaaPaaaaPaaaaPa 1 , 0)(44332211tPGPGPGPGtP第24頁2022-2-5第9部分 參數曲線和曲面基礎連續性n曲線間連接的光滑度有兩種度量：1. 參數連續性組合參數曲線在連接處具有直到n階連續導矢，即n階連

10、續可微，這類光滑度稱之為Cn 或n階參數連續性。2. 幾何連續性組合曲線在連接處不滿足Cn的某一組約束條件，稱為具有n階幾何連續性，簡記為Gn .第25頁2022-2-5第9部分 參數曲線和曲面基礎n結論 若要求在結合處達到G0連續或C0連續，即兩曲線在結合處位置連續。 若要求在結合處達到G1連續，就是說兩條曲線在結合處在滿足G0連續的條件下，并有公共的切矢量。Q(0)=P(1) 當a1時，G1連續就成為C1連續。)(tP)(tQ)0(P) 1 (P)0(Q) 1 (Q第26頁2022-2-5第9部分 參數曲線和曲面基礎21,3)(213 10,3)(01010010tVVtVVVttVVVt

11、0131)1 (VV 0132)1 (VV 第27頁2022-2-5第9部分 參數曲線和曲面基礎 若要求在結合處達到C2連續，就是說兩條曲線在結合處在滿足G2連續的條件下，并有相同的曲率。 C1連續保證G1連續， C2連續能保證G2連續，但反過來不行。 也就是說Cn連續的條件比Gn連續的條件要苛刻。第28頁2022-2-5第9部分 參數曲線和曲面基礎參數曲面一張定義在矩形域上的參數曲面可以表示為可記為 1 , 0 1 , 0),(,),().(),(vuvuzzvuyyvuxx),(),(),(),(vuzvuyvuxvuP第29頁2022-2-5第9部分 參數曲線和曲面基礎P00P00P00P00 xyzw=