1、3.3 3.3 頻率域采樣頻率域采樣 設任意序列設任意序列x(n)的的Z變換為：變換為：( )( )nnX zx n z 且且X(z)收斂域包含單位圓收斂域包含單位圓(即即x(n)存在傅里葉變換存在傅里葉變換)。22( )( )( ),0kN-1(3.3.1)jkNjknNz enX kX zx n e 上式表示在區間上式表示在區間0, 2上對上對x(n)的傅里葉變換的傅里葉變換X(ej)的的N點等間隔采樣。點等間隔采樣。在單位圓上對在單位圓上對X(z)等間隔采樣等間隔采樣N點得到點得到1 1. .由頻域采樣恢復序列由頻域采樣恢復序列第第3 3章章 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DF

2、T) 由由DFT與與DFS的關系可知，的關系可知，X(k)是是xN(n)以以N為周期的周為周期的周期延拓序列的離散傅里葉級數系數的主值序期延拓序列的離散傅里葉級數系數的主值序列，即列，即( )x n)(kX)()(?nxnxN 將將X(k)看做長度為看做長度為N的有限長序列的有限長序列xN(n)的的DFT ,即即 xN(n)=IDFTX(k)， 0nN-1第第3 3章章 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT)101( )NknNkX k WN( )( )IDFS( )NNx nxnX k( )( )( )NX kX k Rk( )( )DFS ( )NX kXkx n101( )Nk

3、nNkX k WN 10)()1(NkknmNWN1 , m=n+iN0 , 其他其他m mNkknmNWNmx10)(1)( m)()(mkNWmxkX 10)(1NknkNmmkNWWmxN第第3 3章章 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT)l頻域采樣定理：頻域采樣定理：l 如果如果x(n)的長度為的長度為M， 則只有當頻域采樣點數則只有當頻域采樣點數NM時，時， 才有才有l xN(n)=IDFTX(k)=x(n)l即可由頻域采樣即可由頻域采樣X(k)恢復原序列恢復原序列x(n)，否則產生，否則產生時域混疊現象時域混疊現象。()()()()()()()iNNNixnxniNxn

4、xnRnxniNRn (3.3.2) (3.3.3)說明：X(z)在單位圓上的在單位圓上的N點等間隔采樣點等間隔采樣X(k)的的N點點IDFT是原序是原序列列x(n)以以N為周期的周期延拓序列的主值序列。為周期的周期延拓序列的主值序列。第第3 3章章 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT)滿足頻域采樣定理時，頻域采樣序列滿足頻域采樣定理時，頻域采樣序列X(k)的的N點點IDFT是原序是原序列列x(n)，所以必然可以由，所以必然可以由X(k)恢復恢復X(z)和和X(ej)。101( )( )( )NknNkx nIDFT X kX k WN10( )( )NnnX zx n z因為滿足

5、頻域采樣定理，所以因為滿足頻域采樣定理，所以)(jeX2 2. .由由X(k)表達表達 X(z)X(z)與與 的問題的問題下面推導下面推導用頻域采樣用頻域采樣X(k)表示如何表示表示如何表示X(z)， 設序列設序列x(n)長度為長度為M， 在頻域在頻域02之間等間隔采樣之間等間隔采樣N點，點， NM， 則則有有 ：2( )( ),0,1,2,1jkNz eX kX zkN第第3 3章章 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT) 將上式代入將上式代入X(z)的表示式中得的表示式中得11001( )NNknnNknX kWzN11001( )( )NNknnNnkX zX k WzN110

6、11( )1kNNNNkkNWzX kNWz 101111)()(NkkNNzWzNkXzX 10)()()(NkkzkXzX 1 kNNW內插函數內插函數:)(zk 內插公式內插公式第第3 3章章 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT) 當z=ej時， 帶入上式， 即10(2/)()( )( )11( )1Njkkj Nkjk NX eX keNe 進一步化簡可得進一步化簡可得 101()22()( ) ()1 sin(/2)( )sin(/2)NjkNjX eX kkNNeN (3.3.7) (3.3.8)頻域內插公式頻域內插公式頻域內插函數頻域內插函數第第3 3章章 離散傅里葉

7、變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT)l解解 解題思想：解題思想： 先計算先計算x(n)的的32點點DFT，得到其頻，得到其頻譜函數譜函數X(ej)在頻率區間在頻率區間0，2 上等間隔上等間隔32點采樣點采樣X32(k)，再對，再對X32(k)隔點抽取，得到隔點抽取，得到X(ej)在頻率區間在頻率區間0，2 上等間隔上等間隔16點采樣點采樣X16(k)。最后分別對。最后分別對X16(k)和和X32(k)求求IDFT, 得到：得到：繪制繪制x16(n)和和x32(n)波形圖驗證頻域采樣理論。波形圖驗證頻域采樣理論。161616( )IDFT( )xnXk323232( )IDFT( )xnXk【

8、MATLAB例例】 長度為26的三角形序列x(n)如圖 (a)所示。編寫MATLAB程序驗證頻域采樣理論。第第3 3章章 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT)MATLAB求解程序ep331.m如下：% 頻域采樣理論驗證M=26; N=32; n=0:M; xa=0:M/2; xb= ceil(M/2)-1:-1:0; xn=xa, xb; %產生M長三角波序列x(n)Xk=fft(xn, 512); %512點FFTx(n)X32k=fft(xn, 32); %32點FFTx(n)x32n=ifft(X32k); %32點IFFTX32(k)得到x32(n)X16k=X32k(1:

9、2:N); %隔點抽取X32k得到X16(k)x16n=ifft(X16k, N/2); %16點IFFTX16(k)得到x16(n)以下繪圖部分省略。第第3 3章章 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT)本例中本例中x(n)的長度的長度M=26。從圖中可以看出，當采樣點數。從圖中可以看出，當采樣點數N=16M時，無時域混疊失真時，無時域混疊失真，x32(n)=IDFTX32(k)=x(n)。3.4 DFT3.4 DFT的應用舉例的應用舉例 DFT的快速算法的快速算法FFT的出現，的出現， 使使DFT在數在數字通信、字通信、 語言信號處理、語言信號處理、 圖像處理、圖像處理、 功率譜

10、功率譜估計、估計、 仿真、仿真、 系統分析、系統分析、 雷達理論、雷達理論、 光學、光學、 醫學、醫學、 地震以及數值分析等各個領域都得到廣地震以及數值分析等各個領域都得到廣泛應用。泛應用。 第第3 3章章 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT) 3.4.1 用用DFT計算線性卷積計算線性卷積 1122( )( )( )( )X kDFT x nXkDFT x n0kL-1則由時域循環卷積定理有則由時域循環卷積定理有: Y(k)=DFTy(n)=X1(k)X2(k), 0kL-1112120( )( )( )( )()( )LLLmy nx nx nx m xnmR n如果如果1.D

11、FT1.DFT計算循環卷積計算循環卷積第第3 3章章 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT) 由此可見，由此可見， 循環卷積既可在時域直接計算，循環卷積既可在時域直接計算， 也可也可以在頻域計算。以在頻域計算。 由于由于DFT有快速算法有快速算法FFT， 當當N很大很大時，時， 在頻域計算的速度快得多，在頻域計算的速度快得多， 因而常用因而常用DFT(FFT)計算循環卷積計算循環卷積, 其計算框圖如圖其計算框圖如圖3.4.1所示。所示。圖 3.4.1 用DFT計算循環卷積 h(n) DFT DFTx(n)IDFTy(n)第第3 3章章 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT)

12、 在實際應用中，在實際應用中， 經常需要計算兩個序列的線性卷積，經常需要計算兩個序列的線性卷積， 與計算循環卷積一樣，與計算循環卷積一樣， 為了提高運算速度，為了提高運算速度， 也希望用也希望用DFT(FFT)計算線性卷積。計算線性卷積。 而而DFT只能直接用來計算循環只能直接用來計算循環卷積卷積， 為此為此導出線卷積和循環卷積之間的關系以及循環卷導出線卷積和循環卷積之間的關系以及循環卷積與線性卷積相等的條件積與線性卷積相等的條件。 2.2.循環卷積代替線性卷積的條件循環卷積代替線性卷積的條件 假設假設h(n)和和x(n)都是有限長序列，都是有限長序列， 長度分別是長度分別是N和和M。 它們的

13、線性卷積和循環卷積分別表示如下：它們的線性卷積和循環卷積分別表示如下： 第第3 3章章 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT)其中，其中， LmaxN, M 1010( )()()( )() ()( ) NcLmqNLqmynh mx nmqL Rnh m x nmqL Rn( )(),Lqx nx nqL( )()( )clLqy ny nqL Rn(3.4.3) (3.4.1) 10( )( )( )( ) ()Nlmy nh nx nh m x nm(3.4.2) 10( )( )( )( ) ()( )LcLLmy nh nx nh m x nmR n()ly n qL第第3

14、 3章章 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT)l因線性卷積取值長度為因線性卷積取值長度為NM-1，循環卷積計算循環卷積計算線性卷積的條件：線性卷積的條件：l LNM-1l 則可按照如圖則可按照如圖3.4.1所示的計算框圖用所示的計算框圖用DFT(FFT)計算線性卷積。其中計算線性卷積。其中DFT和和IDFT通常用快速算法通常用快速算法(FFT)來實現，故常稱其為快速卷積。來實現，故常稱其為快速卷積。第第3 3章章 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT)圖 3.4.2 線性卷積與循環卷積 0123451234h(n) x(n)nL 60123451234nL 867h(n)

15、 x(n)0123451234nL 1067h(n) x(n)（ d ）（ e ）( f )0123451234nN M1 867h(n) x(n)*nM 5012341x(n)nN 401231h(n)（ a ）（ b ）（ c ）89* * 189 10圖 3.4.3 用DFT計算線性卷積框圖 補L N個零點L點DFT補L M個零點L點DFTL點IDFTy(n)h(n)x(n)第第3 3章章 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT)實際上，經常遇到兩個序列的長度相差很大的情況，實際上，經常遇到兩個序列的長度相差很大的情況，例如例如MN。若仍選取。若仍選取LNM1，以，以L為循環卷積

16、區間，為循環卷積區間，并用上述方法計算線性卷積，則要求并用上述方法計算線性卷積，則要求對短序列補很多零對短序列補很多零點，而且長序列必須全部輸入后才能進行快速計算。因點，而且長序列必須全部輸入后才能進行快速計算。因此要求存儲容量大，運算時間長，并使處理延時很大，此要求存儲容量大，運算時間長，并使處理延時很大，不能實現實時處理不能實現實時處理。3. 3. 重疊相加法重疊相加法、重疊保留法重疊保留法況且在某些應用場合，序列長度不定或者認為是無況且在某些應用場合，序列長度不定或者認為是無限長，如電話系統中的語音信號和地震檢測信號等。顯限長，如電話系統中的語音信號和地震檢測信號等。顯然，在要求實時處理

17、時，直接套用上述方法是不行的。然，在要求實時處理時，直接套用上述方法是不行的。解決這個問題的方法是將長序列分段計算，這種分段處解決這個問題的方法是將長序列分段計算，這種分段處理方法有重疊相加法和重疊保留法兩種理方法有重疊相加法和重疊保留法兩種。第第3 3章章 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT) 設序列設序列h(n)長度為長度為N， x(n)為無限長序列為無限長序列.將將x(n)均均勻分段，勻分段， 每段長度取每段長度取M， 則則00( )( )( )( )kkkkh nx nh nx n0( )( )( )( )()kikMx nx nx nx nRnkM于是，于是， h(n)與

18、與x(n)的線性卷積可表示為的線性卷積可表示為( )( )( )y nh nx n)()()(nxnhnykk0( )( )kkh nx n(3.4.4) 0()()kky nyn1)1) 重疊相加法重疊相加法第第3 3章章 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT) 說明計算說明計算h(n)h(n)與與x(n)x(n)的線性卷積時：的線性卷積時：l1 1）可先計算分段線性卷積）可先計算分段線性卷積y yk k(n)=h(n)(n)=h(n)* *x xk k(n)(n)。l2 2）把分段卷積結果疊加起來。）把分段卷積結果疊加起來。每一分段卷積每一分段卷積y yk k(n)(n)的長度為

19、的長度為N NM M1 1，因此相鄰分段卷積，因此相鄰分段卷積y yk k(n)(n)與與y yk k1 1(n)(n)有有N N1 1個點重疊，必須把重疊部分的個點重疊，必須把重疊部分的y yk k(n)(n)與與y yk k1 1(n)(n)相加，才能得到正確的卷積序列相加，才能得到正確的卷積序列y(n)y(n)。第第3 3章章 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT)圖 3.4.4 重疊相加法卷積示意圖 M0NMMx1(n)x0(n)x2(n)N M 1N M 1y0(n)y1(n)N M 1y2(n)2MM3M N 10N 1y(n) y0(n) y1(n) y2(n) nnn

20、nnnh(n) 這種方法不要求大的這種方法不要求大的存儲容量，且運算量和存儲容量，且運算量和延時大大減少，最大延延時大大減少，最大延時時TDmax=2MTs+To，Ts是是系統采樣間隔，系統采樣間隔，To是計是計算算1個分段卷積所需時間，個分段卷積所需時間，一般要求一般要求ToMTs。這樣，。這樣，可邊輸入邊計算邊輸出，可邊輸入邊計算邊輸出，可以實現實時處理。可以實現實時處理。用用DFT計算分段卷積計算分段卷積yk(n)的方法步驟的方法步驟：(4)( )()( )IDFT ( )ikLiLy ny nkM R nY k(1) i=0；L=NM1；計算并保存；計算并保存H(k)=DFTh(n)L

21、 (3) ( )( )( )iiY kH k X k，n = 0,1,2,L1； ( )DFT ( ) ;iiLX kx n ( )()( )kkMx nx nkM Rn(2) 讀入讀入xk(n)=x(n)RM(nkM)，構造變換區間，構造變換區間0，L1上上 的序列，實際中就是將的序列，實際中就是將xi(n)的的M個值個值存放在長度為存放在長度為M的數組中的數組中, 并計算并計算102511()( ), ( ) () ( ), iiiyMny nnNy iMny nNnM 重疊區相加重疊區相加非重疊區不加非重疊區不加(6) i =i1，返回，返回(2)。說明，一般說明，一般x(n)是因果序列

22、，假設初始條件是因果序列，假設初始條件y1(n)=0。第第3 3章章 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT)【例例】 假設假設h(n)=R5(n)，x(n)=cos(n/10) +cos(2n/5)u(n)，用重，用重疊相加法計算疊相加法計算y(n)=h(n)*x(n)，并畫出，并畫出h(n)、x(n)和和y(n)的波形。的波形。MATLAB中重疊相加法實現線性卷積的計算的函數中重疊相加法實現線性卷積的計算的函數l y=fftfilt(h, x，M)l 式中式中, h是系統單位脈沖響應向量；是系統單位脈沖響應向量；x是輸入序列向量；是輸入序列向量；y是是系統的輸出序列向量（系統的輸出

23、序列向量（h與與x的卷積結果）；的卷積結果）；M是由用戶選擇的輸是由用戶選擇的輸入序列入序列x的分段長度，缺省的分段長度，缺省M時，默認輸入序列時，默認輸入序列x的分段長度的分段長度M=512。第第3 3章章 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT)解：解： h(n)的長度為的長度為N=5, 對對x(n)進行分段，每段長度為進行分段，每段長度為M=10。計算。計算h(n)和和x(n)的線性卷積的的線性卷積的MATLAB程序如下：程序如下：%例重疊相加法的例重疊相加法的MATLAB實現程序實現程序 Lx=41; N=5; M=10; %Lx為信號序列為信號序列x(n)長度長度 hn=on

24、es(1, N); hn1=hn zeros(1, Lx-N); %產生產生h(n)，其后補零是為了繪圖好看，其后補零是為了繪圖好看 n=0:L-1; xn=cos(pi*n/10)+cos(2*pi*n/5); %產生產生x(n)的的Lx個樣值個樣值 yn=fftfilt(hn, xn, M); %調用調用fftfilt用重疊相加法計算卷積用重疊相加法計算卷積 %= %以下為繪圖部分以下為繪圖部分, 省略省略運行程序畫出h(n)、x(n)和y(n)的波形如圖所示。第第3 3章章 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT)圖3.4.4 MATLAB求解程序運行結果051015202530

25、35404500.51h(n)051015202530354045-202x(n)n051015202530354045-505ny(n)第第3 3章章 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT)051015202530354045-505y2(n)051015202530354045-505y3(n)051015202530354045-505y0+y1+y2+y305101520253035404500.51h(n)051015202530354045-202x(n)051015202530354045-202x0(n)051015202530354045-202x1(n)05101

26、5202530354045-202x2(n)051015202530354045-202x3(n)051015202530354045-505y0(n)051015202530354045-505y1(n)重疊相加法時域波形重疊相加法時域波形 此方法與上述方法稍有不同。先將此方法與上述方法稍有不同。先將x(n)分段，每段分段，每段N個點，個點，這是相同的。這是相同的。 不同之處是，序列中補零處不補零，而在每一段不同之處是，序列中補零處不補零，而在每一段的前邊補上前一段保留下來的（的前邊補上前一段保留下來的（M-1）個輸入序列值，）個輸入序列值， 組成組成N+M-1點序列點序列xi(n)，如圖（

27、，如圖（a）所示。如果）所示。如果N+M-12m， 則可在則可在每段序列末端補零值點，補到長度為每段序列末端補零值點，補到長度為2m，這時如果用，這時如果用DFT實實現現h(n)和和xi(n)循環卷積，則其每段循環卷積結果的前（循環卷積，則其每段循環卷積結果的前（M-1）個）個點的值不等于線性卷積值，必須舍去。點的值不等于線性卷積值，必須舍去。 1) 重疊保留法重疊保留法第第3 3章章 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT)圖圖3.4.5重疊保留法示意圖重疊保留法示意圖 nN1M2N1LM2L0 x0(n)x1(n)0nx2(n)N1nLM20(a)第第3 3章章 離散傅里葉變換離散

28、傅里葉變換(DFT)(DFT)圖3.4.6重疊保留法示意圖 y0(n)0M2M1N1ny1(n)0M1M2N1y2(n)M2M1N1nn(b)第第3 3章章 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT)3.4.2 用用DFT對信號進行譜分析對信號進行譜分析 工程實際中，經常遇到連續信號工程實際中，經常遇到連續信號xa(t)，其頻譜函數，其頻譜函數Xa(j)也是連續函數。為了利用也是連續函數。為了利用DFT對對xa(t)進行頻譜分進行頻譜分析，析，先對先對xa(t)進行時域采樣，得到進行時域采樣，得到x(n)=xa(nT)，再對，再對x(n)進行進行DFT，得到的，得到的X(k)則是則是x(

29、n)的傅里葉變換的傅里葉變換X(ej)在頻在頻率區間率區間0，2上的上的N點等間隔采樣點等間隔采樣。這里。這里x(n)和和X(k)均為有限長序列。均為有限長序列。 1 用用DFT對連續信號進行譜分析對連續信號進行譜分析第第3 3章章 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT)1 1）方法）方法 然而，若信號持續時間有限長，則其頻譜無限寬；然而，若信號持續時間有限長，則其頻譜無限寬；若信號的頻譜有限寬，則其持續時間必然為無限長。若信號的頻譜有限寬，則其持續時間必然為無限長。所以嚴格地講，持續時間有限的帶限信號是不存在的。所以嚴格地講，持續時間有限的帶限信號是不存在的。因此，按采樣定理采樣時

30、，上述兩種情況下的采樣序因此，按采樣定理采樣時，上述兩種情況下的采樣序列列x(n)=xa(nT)均應為無限長，不滿足均應為無限長，不滿足DFT的變換條件。的變換條件。實際上對頻譜很寬的信號，實際上對頻譜很寬的信號，為防止時域采樣后產生頻為防止時域采樣后產生頻譜混疊失真，可用預濾波器濾除幅度較小的高頻成分，譜混疊失真，可用預濾波器濾除幅度較小的高頻成分，使連續信號的帶寬小于折疊頻率使連續信號的帶寬小于折疊頻率。第第3 3章章 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT)對于持續時間很長的信號，采樣點數太多對于持續時間很長的信號，采樣點數太多, 以致無法以致無法存儲和計算，只好截取有限點進行存

31、儲和計算，只好截取有限點進行DFT。由上述可見，。由上述可見，用用DFT對連續信號進行頻譜分析必然是近似的，其近似對連續信號進行頻譜分析必然是近似的，其近似程度與信號帶寬、采樣頻率和截取長度有關。程度與信號帶寬、采樣頻率和截取長度有關。實際上從實際上從工程角度看，濾除幅度很小的高頻成分和截去幅度很小工程角度看，濾除幅度很小的高頻成分和截去幅度很小的部分時間信號是允許的的部分時間信號是允許的。因此，在下面分析中，假設因此，在下面分析中，假設xa(t)是經過預濾波和截取處理的有限長是經過預濾波和截取處理的有限長帶限信號帶限信號。第第3 3章章 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT) 設連續信號設連續信號xa(t)持續時間持續時間Tp， 最高頻率為最高頻率為fc， 對對xa(t)進行時域采樣進行時域采樣得 x(n) Xa(nT)， x(n)長度N為：第第3 3章章 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT)2 2