1、軌跡方程經典例題一、 軌跡為圓的例題：1、 必修2課本P124B組2：長為2a的線段的兩個端點在軸和軸上移動，求線段AB的中點M的軌跡方程：必修2課本P124B組：已知M與兩個定點（0,0），A（3,0）的距離之比為，求點M的軌跡方程;（一般地：必修2課本P144B組2：已知點M(,)與兩個定點的距離之比為一個常數；討論點M(,)的軌跡方程（分=1，與1進行討論）2、 必修2課本P122例5：線段AB的端點B的坐標是（4,3），端點A在圓上運動，求AB的中點M的軌跡。（2013新課標2卷文20）在平面直角坐標系中，已知圓在軸上截得線段長為，在軸上截得線段長為。 （1）求圓心的的軌跡方程；（2）

2、若點到直線的距離為，求圓的方程。如圖所示，已知P(4，0)是圓x2+y2=36內的一點，A、B是圓上兩動點，且滿足APB=90°，求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程.解：設AB的中點為R，坐標為(x,y)，則在RtABP中，|AR|=|PR|.又因為R是弦AB的中點，依垂徑定理：在RtOAR中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即x2+y24x10=0因此點R在一個圓上，而當R在此圓上運動時，Q點即在所求的軌跡上運動.設Q(x,y)，R(x1,y1)，因為R是PQ的中點，所以x1=,代入方程x2+y24

3、x10=0,得10=0整理得：x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程.在平面直角坐標系中，點，直線設圓的半徑為，圓心在上 （1）若圓心也在直線上，過點作圓的切線，求切線的方程；（2）若圓上存在點，使，求圓心的橫坐標的取值范圍（2013陜西卷理20）已知動圓過定點，且在軸上截得弦的長為8.（1） 求動圓圓心的軌跡的方程；（2） 已知點，設不垂直于軸的直線與軌跡交于不同的兩點，若軸是的角平分線，證明直線過定點。二、 橢圓類型：3、 定義法：（選修2-1P50第3題）點M(,)與定點F(2，0)的距離和它到定直線的距離之比為，求點M的軌跡方程.(圓錐曲線第二定義)討論：當這個比例常數不是小于1，而是

4、大于1，或等于1是的情形呢？（對應雙曲線，拋物線）4、 圓錐曲線第一定義：（選修2-1P50第2題）一個動圓與圓外切，同時與圓內切，求動圓的圓心軌跡方程。5、 圓錐曲線第一定義：點M()圓上的一個動點, 點（1,0）為定點。線段的垂直平分線與相交于點Q(,),求點Q的軌跡方程;(注意點（1,0）在圓內)6、 其他形式：（選修2-1P50例3）設點A,B的坐標分別是（-5,0），（5,0），直線AM,BM相交于點M，且他們的斜率的乘積為，求點M的軌跡方程:（是一個橢圓）（討論當他們的斜率的乘積為時可以得到雙曲線）（2013新課標1卷20）已知圓，圓，動圓與圓外切并且與圓內切，圓心的軌跡為曲線。

5、（1）求的方程； （2）是與圓，圓都相切的一條直線，與曲線交于兩點，當圓的半徑最長時，求（2013陜西卷文20）已知動點到直線的距離是它到點的距離的倍。（1）求動點的軌跡的方程（2）過點的直線與軌跡交于兩點，若是的中點，求直線的斜率。三、 雙曲線類型：8、圓錐曲線第一定義：點M()圓上的一個動點, 點（1,0）為定點。線段的垂直平分線與相交于點Q(,),求點Q的軌跡方程;(注意點（1,0）在圓外)定義法：（選修2-1P59例5）點M(,)與定點F(5，0)的距離和它到定直線的距離之比為，求點M的軌跡方程.(圓錐曲線第二定義)四、 拋物線類型：10、定義法：（選修2-1）點M(,)與定點F(2，

6、0)的距離和它到定直線的距離相等，求點M的軌跡方程。（或：點M(,)與定點F(2，0)的距離比它到定直線的距離小1，求點M的軌跡方程。）（2013陜西卷文20）已知動點到直線的距離是它到點的距離的倍。 （1）求動點的軌跡的方程（2）過點的直線與軌跡交于兩點，若是的中點，求直線的斜率已知三點，曲線上任意一點滿足。（1）求曲線的方程；）在直角坐標系xOy中，曲線C1的點均在C2：（x-5）2y2=9外，且對C1上任意一點M，M到直線x=2的距離等于該點與圓C2上點的距離的最小值.（）求曲線C1的方程；（湖北）設A是單位圓x2+y2=1上的任意一點，i是過點A與x軸垂直的直線，D是直線i與x軸的交點

7、，點M在直線l上，且滿足丨DM丨=m丨DA丨（m>0,且m1）。當點A在圓上運動時，記點M的軌跡為曲線C。（I）求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求焦點坐標；（遼寧）如圖，橢圓：，a，b為常數)，動圓，。點分別為的左，右頂點，與相交于A，B，C，D四點。 ()求直線與直線交點M的軌跡方程;（四川）如圖，動點到兩定點、構成，且，設動點的軌跡為。（）求軌跡的方程；（）設直線與軸交于點，與軌跡相交于點，且，求的取值范圍。1.()已知橢圓的焦點是F1、F2，P是橢圓上的一個動點，如果延長F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么動點Q的軌跡是( ) A.圓B.橢圓 C.雙曲線的一支D.

8、拋物線2.()設A1、A2是橢圓=1的長軸兩個端點，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端點，則直線A1P1與A2P2交點的軌跡方程為( ) A.B. C.D.二、填空題3.()ABC中，A為動點，B、C為定點，B(,0),C(,0)，且滿足條件sinCsinB=sinA,則動點A的軌跡方程為_.4.()高為5 m和3 m的兩根旗桿豎在水平地面上，且相距10 m，如果把兩旗桿底部的坐標分別確定為A(5，0)、B(5，0)，則地面觀測兩旗桿頂端仰角相等的點的軌跡方程是_.三、解答題5.()已知A、B、C是直線l上的三點，且|AB|=|BC|=6，O切直線l于點A，又過B、C作O異于l的兩切線，設這兩

9、切線交于點P，求點P的軌跡方程.6. ()雙曲線=1的實軸為A1A2，點P是雙曲線上的一個動點，引A1QA1P，A2QA2P，A1Q與A2Q的交點為Q，求Q點的軌跡方程.8.()已知橢圓=1(ab0),點P為其上一點，F1、F2為橢圓的焦點，F1PF2的外角平分線為l，點F2關于l的對稱點為Q，F2Q交l于點R.(1)當P點在橢圓上運動時，求R形成的軌跡方程；(2)設點R形成的曲線為C，直線l：y=k(x+a)與曲線C相交于A、B兩點，當AOB的面積取得最大值時，求k的值.一、1.解析：|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|

10、F1Q|=2a,動點Q到定點F1的距離等于定長2a,故動點Q的軌跡是圓.2.解析：設交點P(x,y）,A1(3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,y0)A1、P1、P共線，A2、P2、P共線，解得x0=二、3.解析：由sinCsinB=sinA,得cb=a,應為雙曲線一支，且實軸長為,故方程為.答案：4.解析：設P(x,y），依題意有,化簡得P點軌跡方程為4x2+4y285x+100=0.答案：4x2+4y285x+100=0三、5.解：設過B、C異于l的兩切線分別切O于D、E兩點，兩切線交于點P.由切線的性質知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，

11、故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=186=|BC|，故由橢圓定義知，點P的軌跡是以B、C為兩焦點的橢圓，以l所在的直線為x軸，以BC的中點為原點，建立坐標系，可求得動點P的軌跡方程為=1(y0)6.解：設P(x0,y0）(x±a),Q(x,y).A1(a,0),A2(a,0).由條件而點P(x0,y0)在雙曲線上，b2x02a2y02=a2b2.即b2(x2)a2()2=a2b2 化簡得Q點的軌跡方程為：a2x2b2y2=a4(x±a).8.解：(1)點F2關于l的對稱點為Q，

12、連接PQ，F2PR=QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2|又因為l為F1PF2外角的平分線，故點F1、P、Q在同一直線上，設存在R(x0,y0）,Q(x1,y1),F1(c,0),F2(c,0).|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,則(x1+c)2+y12=(2a)2.又得x1=2x0c,y1=2y0. (2x0)2+(2y0)2=(2a)2x02+y02=a2.故R的軌跡方程為：x2+y2=a2(y0)(2)如右圖，SAOB=|OA|·|OB|·sinAOB=sinAOB當AOB=90°時，SAOB最大值為a2.此時弦心距

13、|OC|=.在RtAOC中，AOC=45°，專題一：求曲線的軌跡方程課前自主練習：1如圖1，中，已知，點在軸上方運動，且，則頂點的軌跡方程是圖1 圖2 圖3 圖42如圖2，若圓：上的動點與點連線的垂直平分線交于點，則的軌跡方程是3如圖3，已知點，點在圓上運動，的平分線交于，則的軌跡方程是4與雙曲線有共同的漸近線，且經過點的雙曲線方程為5如圖4，垂直于軸的直線與軸及拋物線分別交于點、，點在軸上，且點滿足，則線段的中點的軌跡方程是幾種常見求軌跡方程的方法：1直接法：由題設所給（或通過分析圖形的幾何性質而得出）的動點所滿足的幾何條件列出等式，再用坐標代替這等式，化簡得曲線的方程，這種方法叫

14、直接法直接法求軌跡方程的一般步驟：建系設點列式代換化簡檢驗；【例1】（1）求和定圓的圓周的距離等于的動點的軌跡方程；（2）過點作圓：的割線，求割線被圓截得弦的中點的軌跡解：（1）設動點，則有或即或故所求動點的軌跡方程為或（2）設弦的中點為，連結，則，化簡得：其軌跡是以為直徑的圓在圓內的一段弧（不含端點）【例2】已知直角坐標平面上一點和圓：，動點到圓的切線長等于圓的半徑與的和求動點的軌跡方程，并說明它表示什么曲線解：如圖，設切圓于，又圓的半徑，由已知設，則，即可化為故所求的軌跡是以點為中心，實軸在軸上的雙曲線的右支，頂點為，如圖【例4】已知定圓的半徑為，定點與圓的圓心的距離為又一動圓過定點，且與

15、定圓相切求動圓圓心的軌跡方程解：以所在的直線為軸，以的中點為原點建立坐標系，如圖當動圓與定圓外切時，；當動圓與定圓外切時，由雙曲線的定義知動圓圓心的軌跡應是以、為兩焦點的雙曲線（外切時為右支，內切時為左支）顯然，又，故所以所求的點軌跡方程是：3動點轉移法：若動點隨已知曲線上的點的變動而變動，且、可用、表示，則將點坐標表達式代入已知曲線方程，即得點的軌跡方程這種方法稱為動點轉移法（或代換法或相關點法）【例5】已知定點、為拋物線，上任意一點，點在線段的中點，當點在拋物線上變動時，求點的軌跡方程解：設點，且設點，則有點是線段的中點由中點坐標公式得：，將此式代入中，并整理得：，即為所求軌跡方程它是一條

16、拋物線4待定系數法：當動點的軌跡是確定的某種曲線時，設出這種曲線的方程，然后列方程，求出所設的參數，進而求出方程如求圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的方程常用待定系數法求【例7】若拋物線和以坐標軸為對稱軸、實軸在軸上的雙曲線僅有兩個公共點，又直線被雙曲線截得的線段長等于，求此雙曲線方程解：設所求雙曲線方程為，將代入整理得：拋物線和雙曲線僅有兩個公共點，根據它們的對稱性，這兩個點的橫坐標應相等，因此方程應有等根，即由和得：由弦長公式得：即由得：，雙曲線的方程是5參數法：當動點的坐標、之間的直接關系不易建立時，可適當地選取中間變量，并用表示動點的坐標、，從而動點軌跡的參數方程消去參數，便可得到動點的的軌

17、跡的普通方程，但要注意方程的等價性，即有的范圍確定出、的范圍【例8】拋物線的焦點為，過點作直線交拋物線于不同兩點、，以、為鄰邊作平行四邊形，求頂點的軌跡方程解：設，：，中點為，與聯立得：，為中點，消得：鞏固練習：1平面上和兩相交的定圓（半徑不等）同時相外切的動圓圓心的軌為（）（A）橢圓的一部分（B）橢圓（C）雙曲線的一部分（D）雙曲線2已知動點與定點的距離比動點到軸的距離大，則動點的軌跡（）（A）拋物線（B）拋物線的一部分（C）拋物線和一射線（D）拋物線和一直線3已知定直線和外一點，過與相切的圓的圓心軌跡是（）（A）拋物線（B）雙曲線（C）橢圓（D）直線4一動圓與兩圓和都外切，則動圓圓心軌跡為

18、（）（A）圓（B）橢圓（C）雙曲線的一支（D）拋物線5已知橢圓的焦點是、是橢圓上的一個動點如果延長到，使得，那么動點的軌跡是（）（A）圓（B）橢圓（C）雙曲線的一支（D）拋物線6已知點、，動點滿足，則點的軌跡是（）（A）圓（B）橢圓（C）雙曲線（D）拋物線7與圓外切，又與軸相切的圓的圓心的軌跡方程是（）（A）（B）和（C） （D）和8過拋物線的焦點作直線與此拋物線相交于兩點、，則線段中點的軌跡方程為（）（A）（B）（C）（D）9過點的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于A、B兩點，點與點關于軸對稱，為坐標原點，若，且，則點的軌跡方程是（）（A）（B）（C）（D）10已知兩點、，點為坐標平面內的動點，滿足，則動點的軌跡方程為（）（A）（B）（C）（D）11與雙曲線有共同的漸近線，且經過點的雙曲線方程是（）（A）（B）（C）（D）12設為雙曲線上一動點，為坐標原點，為線段的中點，則點的軌跡方程是13已知，是圓：（為圓心）上一動點，線段的垂直平分線交于，則動點的軌跡方程為14傾斜角為的直線交橢圓于、兩點，則線段中點的軌跡方程是15求焦點在坐標軸上，中心在原點且經過和兩點的橢圓方程16已知雙