1、第三節幾種重要地隨機過程隨機過程可以根據參數集 T、狀態空間I是離散還是連續進行分類，也可以根據隨機過程地概率 結構來進行分類一、二階矩過程定義2.3.1設隨機過程 a t ,r t 1若對-r t ,x t地均值X t和方差dx t均存在，則稱X t為一個二階矩過程(有地書中以EX2t丨：:：，定義二階矩過程，可以證明兩定義是等價地)E X2 t I： , t ,Dx t 存在證明：“=”由Dx t二Ex2 t L l.'-X t F,必要性顯然成立由 t = E X t 1< E l-X t 1.1"eX21 呃正態過程、正弦波過程、隨機電報過程和平穩過程等都是二階

2、矩過程由于：(X t LX t ,若作 Xt=Xt-xt,則有：E X t =0,D X t =DXt】, 即X t是零均值地二階矩過程而X t地協方差函數C t11t-CX t1,t2 , R t1,t2二RX t1,t2 .XX因此以后不妨假設二階矩過程均值為零定理2.3.1二階矩過程 漢t ,t T?地協方差函數CX t1,t2存在證明：E以(t卩=D R (t卩+|匕(t 存在則:E X2 t丨存在由Schwarz不等式： (E仔丫“蘭EX2七丫仃有：(EX(ti X(t2 卩蘭EX(tiEx(t2即: Rx ti,t2 二 eX ti XV I 存在則:Cxti,t2=Rxti,t-

3、xtiJxt2存在定理2.3.2設RX t1,t2是二階矩過程X t ,1 T地相關函數,則對- t1,t T RX t1 , t2- RX t2 ,t1.證明：Rx ti,t2 二 EXti 花丨eXTTxI；1二 eX t2 XT】-RX t2 ,t1若X t是實二階矩過程則y： RX t1,t2二Rx t2,t1 .定理2.3.3 -匕復數、n, n為任意正整數Rxbt 具有非負定性 即:n nRX ti , tj i ' j - 0 . i £ j £n n_ n n 】_證明：二二 Rx ti,tj Jj ：工二 e'x ti X tj j i呂j

4、生i二j 3n n'= EL X（ti 人 X（tj 人"7一_n口=E |遲九iX（ti ）>0尸一注意：協方差函數地非負定性才是二階矩過程地本質特性定理2.3.4設CX t1,t2非負定，則必存在一個二階矩過程（還可以要求是正態地）X t ,tT以CX t1,t2為其協方差函數（證明略）二、正交增量過程定義2.3.2設X t ,t T ?是零均值二階矩過程，若對飛：t2乞t3嘰4 * T有：E X t2 - X ti 1 X t4 - X t = 0 ,則稱X t為正交增量過程.不妨設 T = a,b 且規定 X a = 0,取 I = a,t2 =t3 二s,t4

5、 = t貝y：當 t s,eX s X t - X s -0,eX s 'XT 一X"S - 0 則：Cx s,t 二 Rx s,tE X s XT 1E X s X t -X s X s 口二 EX(s門2當 a . t : s,有：CX s,t = RX s,t = ；：.-X t則：Cx s,t i=Rx s,t =7x2 min s,t三、馬爾可夫過程定義2.3.3若隨機過程1xt,tT?對任意地正整數n及I，,tnT ,其條件分布滿足：pX（tn ）蘭 Xn X（ti）= Xi,X（tn4 ）=XnJ=X（tJ<XnX （tn _L）=Xn（ 2.3.1）則稱

6、X t ,t T 1為馬爾可夫過程(2.3.1 )式稱為過程地馬爾可夫性(無后效性).若已知系統現在 tn地狀態，則系統未來tn地狀態與系統過去地t1-,tn狀態無關.馬爾可夫過程 X t所有可能地取值組成地狀態空間I和參數集T可以是連續地，也可以是離散地,甚至可以是既不連續也不離散地.四、獨立增量過程定義 2.3.4 若對任意地正整數 n和匕：:：t2tn T ,隨機變量X t2 -X ti ,X t3 -X t2 ,，X tn -X tn是相互獨立地，則稱次t ,t，T為獨立增量過 程.特點：在任一時間間隔上狀態地改變不影響任一個與它不相重疊地時間間隔上狀態地改變.后面要介紹地泊松過程和維

7、納過程都是獨立增量過程注：由獨立增量過程：t： tt3 :：t4 , X t2 -X ti , X t4 -X t3獨立，則：X t2- Xt1, Xt4- Xt3互 不 相 關，CXY 二RXY= °.貝U:E X t2 -X t1 1 X t4 -X tj =0,則X t為正交增量過程.五、平穩增量過程定義2.3.5若對任意地s, t三T , s亠二,t亠：匚T ,隨機變量Xt，； - Xs'FXt - X s服從相同地概率分布，則稱:X t ,t T 1是具有平穩增量地隨機過程(增量一樣，分布相同)X t -X s地分布僅與t - s有關,與起點s無關,這種性質稱為時齊

8、性，或齊次性.六、正態隨機過程定義2.3.6若對任意正整數 n和匕，,tn T ,隨機變量X t1，X tn地聯合分布是正態地即：f (ti,tn；Xi, -Xn )=n1 exp；(x 卩'C '(X 卩(2 兀鬥c2、2.其中：X 卩=(Xi 4x (ti ) ,Xn Ax (tn )T1 Cx (tl, tl ) Cx (tl ,t2 )Cx (tl, tn )c=- -(Cx (tn , ti ) Cx (tn 譏2 ) Cx (tn , tn )jC為正交陣，C為C地逆陣,則稱1xt,tT 為正態過程一一高斯過程.正態過程由Jx t和Cx ti ,tj完全確定七、泊松

9、過程定義2.3.7設:X t ,t _0,是取非負整數值地隨機過程，且滿足：(1)X 01=0 (初始條件)(2 )它是獨立、平穩增量過程(3)在長為t地任意區間內，事件A發生地次數服從參數為'0地泊松分布即-s,t -0,plx t s -X sipkHit-,k = 0,1,2,k!(2.3.2)則X t ,t 一0鴻泊松過程.八、維納過程定義2.3.8設實隨機過程 “ t ,t -0 "滿足下列條件：(1)X 01=0(2)它是獨立、平穩增量過程1 一 2(3) -t _0,隨機變量X t具有概率密度f t；X : e(2.3.3)g竊其中二0且為常數,則稱a t ,t

10、 _o!為維納過程,即布朗運動過程.布朗運動，電流熱噪聲等均屬于維納過程.顯然 X t N 0 2t ,則：t=0,；x2 t= DX t J-；2t若 t . s _0,易知：Rx s,t =CX s,t = E l-X s X t 1=EIXsX t-X s-X sI)二 EXs- X0丨Xt- XsX s 丨二 EXs- X0EXt- XEIXs f2s一般地，維納過程有 RX s,t =CX s,t - 2 min s,t(2.3.4)反過來，若正態過程X t以(2.3.4)為相關函數，則該過程具有獨立、平穩增量性.事實上，設 1 : t2 : t3,Xt2 -X ti 】Xt3 -X

11、t2 丨二 Rxtzt -Rx t2,t2 - Rx3Rx H2,2 2 2,-廠 t2 -二 t2 - 二 t1 二 t1-0則：X t2 -X t1 , X t3 -X t2相互正交，而正態過程是零均值，且為二階矩過程，則：X t2t| ,X t3 IX t2互不相關，即互相獨立.又考察X t2 I-'X t1地分布只與t2 '1有關.eX t2 -x tj=0EX t2 -X t1 2 =EX t2 2 -2Rx t1,t2EX t F2 2 2二打 t2 - 2- t1 匚 t1即增量是平穩地維納過程具有下列性質:（1）X 0 =0（2）E X t l-0,EX sX t U min s,t（3）具有獨立增量性（4） 具有平穩增量性.-t . s _ 0, X t - X s地概率密度只與t（5）X t -X s地方差與t -s成正比，D X t -X s丨- t -（6）增量X t -X s具有正態分布 N