1、六、最小維形狀觀測器六、最小維形狀觀測器0:(52 9 )FNGEMrrrprqlrlqzzuywzy 上一節研討了Kx觀測器的普通方式：根據定理(5-12)，存在rn 矩陣P ,使得 K=EP+MC根據定義5-1，K=I 時稱5-29為形狀觀測器。1. 1.形狀觀測器的維數形狀觀測器的維數 如今提出的問題是：形狀觀測器的維數如今提出的問題是：形狀觀測器的維數 r r 能否能否可以降低？能夠的最小值是多少？由于維數的降低，可以降低？能夠的最小值是多少？由于維數的降低，意味著觀測器可具有較為簡單的方式，從而使工程意味著觀測器可具有較為簡單的方式，從而使工程實現更加方便。因此研討降維形狀觀測器以及

2、最小實現更加方便。因此研討降維形狀觀測器以及最小維形狀觀測器的設計問題就成為觀測器實際的重要維形狀觀測器的設計問題就成為觀測器實際的重要課題之一。課題之一。 思索 n 維線性時不變動態方程 ABC xxuyx假設假定rankC=q，那么輸出y實踐上曾經給出了部分形狀變量的估計。顯然，為了估計全部形狀，只須用一個低階的觀測器估計出其他的形狀變量就可以了，也就是說，形狀觀測器的維數顯然可比n低。定理定理5-17 假設系統假設系統A, B, C可控可觀測，且可控可觀測，且 rankC=q 那么系統的形狀觀測器的最小維數是那么系統的形狀觀測器的最小維數是 nq證明 根據觀測器的構造條件參見定義5-1和

3、定理5-12，對于形狀觀測器要求PK=EPMCEMICn其中P是rn陣，且滿足PAFP=GC。要使上式有解，應有 PCran kn故P的最小維數 rmin=nqCrankqPranknq而知所以注：定理注：定理5-12的證明中沒有用到的證明中沒有用到 (A, C) 可觀測的假可觀測的假設。但下面的分析將闡明，只需設。但下面的分析將闡明，只需 (A, C)可觀測方可可觀測方可保證所設計的形狀觀測器之保證所設計的形狀觀測器之F, E)可觀測。可觀測。又由于Prn的行數與觀測器的維數 r 必需一致，故知r=nq 這就是觀測器的最小維數。 證完。 2. 最小維數形狀觀測器的構造最小維數形狀觀測器的構造

4、 無妨假定無妨假定C=C1 C2，這里，這里C1,C2分別分別是是qq和和q(nq)矩陣，而且矩陣，而且rankC1=q。 分以下幾個步驟來詳細建立最小維數的形狀分以下幾個步驟來詳細建立最小維數的形狀觀測器。觀測器。1取等價變換取等價變換 ，變換矩陣，變換矩陣 T 定義為定義為p14 Txx1112112100CCCC CTTIIn qn q顯然T是滿秩的。這時542式可化為 11111212221222(543)BAABAAxxuxx1110CCT TCTIqyxxxxx特點：經變換后，有特點：經變換后，有 顯然輸出顯然輸出 y 直接給出直接給出了了 ，形狀估計的問題就化為只需對，形狀估計的

5、問題就化為只需對nq維向量維向量 進展估計就可到達形狀重構的進展估計就可到達形狀重構的 目的。目的。 1x2x1，yx2222212111221AABAABxxyuyyxu2導出關于導出關于 的形狀方程和輸出方程，為進一的形狀方程和輸出方程，為進一步構造形狀觀測器作預備。為此，將步構造形狀觀測器作預備。為此，將(5-43)重新寫重新寫成：成：2x記 111AByyyu：12 2Ayx那么于是我們得到2222212122()AABAxxyuyx(5-44)或者進一步寫成 如下nq 維系統：2222212122AABABCAyxxxxuuyxyx 因此，我們只需構造上述系統的觀測器就可以了。立刻會

6、產生的問題是：2212(,)AA能否可觀測？由于根據定理5-10，這是上述系統全維觀測器存在并可恣意配置極點的充要條件。我們有引理引理 假設假設A，C可觀測，那么可觀測，那么 也可也可觀測。觀測。 2212()AA,證明：思索以下PBH檢驗矩陣：對恣意的s，它列滿秩的充要條件是后nq列也滿秩。但2212()AA,即 可觀測。證完。12122222221200IAAAIIAIAIAsrankrankrankss111221220AIAA- IAAICIqsss 列n q2222212122yxxxxuuyxyx AABABCA22221222122()BAG AABGuyxxyu 3建立建立nq

7、 維系統的全維維系統的全維nq形狀觀測器形狀觀測器 根據全維形狀觀測器的普通方程，可立刻寫出它的觀測器方程為：111AByyyu將代入上式，得到12222221222122111()()AAG AABGABxxxyuyyu 或：222122222122111()()AG AABGAGBxyxuyyu22Gzxy得到2221222121211222122()()()()545AG ABG BAG AAG AGuzzy（）記p14討論：討論：a由于由于111yyyuAB：其中包括了y 的微分。為了防止經微分將 y 中的噪聲放大，故有以上變換。b令 222:xxx2222122()AG Axx故只需

8、設計G2，使得上述系統矩陣一切特征值有負實部，就有222:0 xxx那么容易驗證1220IGIqn qyxzx 根據前面的分析，我們有p124最后，求形狀最后，求形狀 x 的估計的估計 ： x22Gxxyxzy1111 TTxy xxxxxx1這就是 的估計，其中 = ,事實上無須估計。再由，可知給出了 的估計 ：p61111221111222122122200()()qn qqqqyxzyzyzzyzy ICC CEMGIICIC GCCIC GC CGGI I將其寫成觀測器的規范方式，并與Kx觀測器(5-29)相比較：11121222()(5 46)qn qxwzyEMC CCIC GIG

9、 2221222121211222122()()()()(545)zzuyFNGAG ABG BAG AAG AG 我們看到，這是一個形狀觀測器，但不是一個n維形狀觀測器，而是一個nq維的形狀觀測器，由于 Rn qz。111112200qnqqyxz ICCCGIIT T留意：講義中留意：講義中也可以寫成11112200qnqqzxy ICCCIGIn-q 維(最小維形狀觀測器構造圖221()BG Bu22212()AG A zz112C CIn q21211222122()()AG AAG AGy11222()C ICGGqwxGNFEM0:(52 9 )FNGREMRnqnzzuywxzy

10、 進而，可以驗證式5-45及式5-46的系數矩陣滿足定理5-12的條件5-32：0:(52 9 )FNGEMrrrprql rl qzzuywzy成為A, B, C的 Kx 觀測器的充要條件為存在rn 矩陣P，使得以下條件滿足(1) Re( )0(1,2, )(2)(3)(4)FPAFPGCNPBKEPMCiirl定理定理5-12 假設假設A, B可控，可控，F, E可觀測，可觀測，那么那么222122212(1)()FAG AAA穩定(因為（，）可觀測）；(2)PAFP=GC驗證：2PGIT 為此，取。則n q所以：222PPGITGIGn qn qxxxy x 2+2222)PGGx zy

11、 xxyxx 22-+-(0為此，考慮111222221222122()AAGIAG AGIAA n qn q1111PAFPTPT TATFPT（）=2112121222222122()G AAG AAAG AGI n q21121222122()011GCTG AAAG AGGCTGI0 =n q120(4)2-1PTC-G IIPEP+MC= EM=TT=II0IGCK=I q1222(3)BNPB=GITB=GIBn qn q；其中，用到了 EMzy111111211112122000TEMTTIICC CTIGIGI qqn qn qqxxxxzzyy 現實上，假設假定A, B可控，

12、定理5-12的根本條件：(A, B可控、 可觀測(這由定理5-17A,C)可觀測的假設保證滿足。此時，根據定義5-1可知，當K=I時就構成了一個(n-q)維的形狀觀測器，而定理5-17闡明，它是一個最小維觀測器。2212(,)AA定理定理5-18 5-18 假設假設A, CA, C可觀測，可觀測，rankC=qrankC=q，那么，那么對對 (A, B, C (A, B, C可構造可構造 n-q n-q 維形狀觀測器維形狀觀測器5-5-4545、5-465-46，而且觀測器的極點可恣意配置。，而且觀測器的極點可恣意配置。假設再假定假設再假定A, BA, B可控，那么該觀測器具有最小可控，那么該

13、觀測器具有最小維數。維數。結論結論: 以上分析闡明，以上分析闡明，(5-45)、(5-46)確實給出確實給出了一個了一個n-q 維的形狀觀測器。而由定理維的形狀觀測器。而由定理5-17，這，這是一個最小維觀測器。于是有如下定理：是一個最小維觀測器。于是有如下定理：例例5-10 設系統如下：設系統如下：10010100011 ,01 ,01100101ABC因rank C=2，故可設計一維觀測器。為此，首先作變換：1100100011 ,011001001TT那么10010100011 ,02 ,01000101ABC111221221212100001011101000102010 AAAAB

14、BCC因此，2121212, : ,TTggyy yuu u令G G22212221212112221221 122121 21222(1()()()(1)2)(2)()AG ABG BAG AAG AGzg zg ugzuugg g ygyy利用(5-45)12可得一階形狀觀測器為：利用(5-46)12，可得111212221212()010111qn qxwzyzgg ygg C CCIC GIG 最后，需求指出，Kx觀測器的維數能夠會比 nq 低，終究低到什么程度那么尚不清楚。最小階 Kx 觀測器的設計仍是一個困難的問題。例題例題 系統方程為系統方程為2100002100001 1010001100000 10 ABC可以證明，當取 K= 0 1 0 1 時此時的K可用