1、.球的體積和表面積學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 記準(zhǔn)球的表面積和體積公式，會(huì)計(jì)算球的表面積和體積.2. 能解決與球有關(guān)的組合體的計(jì)算問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)一球的體積公式與表面積公式41.球的體積公式V R3(其中 R 為球的半徑 ).32.球的表面積公式S 4 R2.思考球有底面嗎？球面能展開成平面圖形嗎？答球沒(méi)有底面，球的表面不能展開成平面.知識(shí)點(diǎn)二球體的截面的特點(diǎn)1.球既是中心對(duì)稱的幾何體，又是軸對(duì)稱的幾何體，它的任何截面均為圓，它的三視圖也都是圓 .2.利用球半徑、 截面圓半徑、 球心到截面的距離構(gòu)建直角三角形是把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的主要途徑 .題型一球的表面積和體積例 1(1) 已知球的表面積為64 ，求

2、它的體積；500(2) 已知球的體積為，求它的表面積.3解 (1) 設(shè)球的半徑為 R，則 4R264 ，解得 R 4，44256所以球的體積V 33R34.33.4500(2) 設(shè)球的半徑為R，則R3，解得 R5，33所以球的表面積S 4R2 4 5 2 100 .跟蹤訓(xùn)練 1一個(gè)球的表面積是 16 ，則它的體積是 ()64 32A.64 B.3C.32 D.3答案D設(shè)球的半徑為 R，則由題意可知4R2 16 ，故 R 2.所以球的半徑為4解析2，體積 V332R3.3題型二球的截面問(wèn)題例 2平面 截球 O 的球面所得圓的半徑為1.球心 O 到平面 的距離為2 ，則此球的體積為()A.6 B.

3、43 C.46 D.63答案B解析如圖，設(shè)截面圓的圓心為O ，M 為截面圓上任一點(diǎn)，則 OO2，OM1.OM 2 21 3.即球的半徑為3.4V (3) 3 43.3跟蹤訓(xùn)練2已知長(zhǎng)方體共頂點(diǎn)的三個(gè)側(cè)面面積分別為3 ，5 ，15 ，則它的外接球表.面積為 _.答案9解析如圖，是過(guò)長(zhǎng)方體的一條體對(duì)角線AB 的截面， 設(shè)長(zhǎng)方體有公共頂點(diǎn)的三條棱的長(zhǎng)分別為x，y， z，則由已知，xy 3 ，x3，得yz 5 ，解得y 1，zx 15 ，z5.113所以球的半徑R AB x2 y2 z2 ，222所以 S 球 4 R2 9.題型三球的組合體與三視圖例 3某個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，求該幾何體的表面積和

4、體積.解 由三視圖可知該幾何體的下部是棱長(zhǎng)為2 的正方體，上部是半徑為1 的半球，該幾何體的表面積為1S 4 1 2 6 2 2 1 2 24 .2該幾何體的體積為142V 2 3 13 8 .233.跟蹤訓(xùn)練3有三個(gè)球，第一個(gè)球內(nèi)切于正方體，第二個(gè)球與這個(gè)正方體各條棱相切，第三個(gè)球過(guò)這個(gè)正方體的各個(gè)頂點(diǎn)，求這三個(gè)球的表面積之比.解設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a.正方體的內(nèi)切球球心是正方體的中心，切點(diǎn)是正方體六個(gè)面的中心，經(jīng)過(guò)四個(gè)切點(diǎn)及球心作截面，如圖 (1) 所示，則有2 r1 a，a22.即 r1 ，所以 S1 4 r1 a2球與正方體的的各棱的切點(diǎn)在每條棱的中點(diǎn)，過(guò)球心作正方體的對(duì)角面得截面，2如圖

5、 (2) 所示，則2 r22a，即 r2a，2所以 S2 4 r22 2a2 .正方體的各個(gè)頂點(diǎn)在球面上，過(guò)球心作正方體的對(duì)角面得截面，3如圖 (3) 所示，則有2 r33a，即 r3 a，2所以 S 4 r2 3a2 .33綜上可得 S1 S2 S3 12 3.軸截面的應(yīng)用例 4有一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是一個(gè)正三角形，在容器內(nèi)部放一個(gè)半徑為r 的鐵球，并注入水，使水面沒(méi)過(guò)鐵球和球正好相切，然后將球取出，求這時(shí)容器中水的深度.分析分別表示出取出鐵球前后水的體積 由水的體積不變建立等式 求出所求量 .解如圖， O 是球的最大截面，它內(nèi)切于 ABC，球的半徑為 r .設(shè)將球取出后，水平面在M

6、N處，MN與CD交于點(diǎn)E.則DO，AD3r，ABACBC2 3，rrCD 3 r.由圖形知 V 圓錐V圓錐1123CD3 2.CECD3MECE3ADCD CE又 V 圓錐 CD (3 r)2 3r 3 r3，345V 圓錐 CE V 圓錐 CD V 球 O 3r3 r3 r3，335 r33 3r3 CE3 (3 r)3， CE 15 r.33球從容器中取出后，水的深度為15r.1.直徑為 6 的球的表面積和體積分別是().A.36 ， 144 B.36 ，36 C.144 ，36 D.144 ， 144 2.若球的體積與其表面積數(shù)值相等，則球的半徑等于()1A.B.1C.2D.323.兩個(gè)

7、半徑為1 的實(shí)心鐵球，熔化成一個(gè)球，這個(gè)大球的半徑是_.4.若球的半徑由R 增加為 2R，則這個(gè)球的體積變?yōu)樵瓉?lái)的_倍，表面積變?yōu)樵瓉?lái)的_倍 .5.某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為_.一、選擇題1.設(shè)正方體的表面積為24，那么其外接球的體積是()48A. B.C.43 D.323 332.一個(gè)正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1 的球面上，則正方體的表面積為()A.8B.82C.83D.423.兩個(gè)球的半徑之比為1 3，那么兩個(gè)球的表面積之比為()A.19B.127C.1 3D.11.4.設(shè)正方體的表面積為24 cm 2，一個(gè)球內(nèi)切于該正方體，那么這個(gè)球的體積是()3284A.6cm 3B.cm

8、 3C. cm 3D. cm 33335.若與球外切的圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r， R，則球的表面積為 ()A.4 (rR)2B.4 r2R2C.4 RrD. (R r)26.已知底面邊長(zhǎng)為1 ，側(cè)棱長(zhǎng)為2 的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一球面上，則該球的體積為()32 4A.B.4 C.2 D. 337.如圖，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高8 cm ，將一個(gè)球放在容器口， 再向容器內(nèi)注水， 當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6 cm ，如果不計(jì)容器厚度，則球的體積為()500 866 A.cm 3B.cm 3331 372 2 048 C.cm 3D.cm 333二、填空題8.一個(gè)幾何

9、體的三視圖(單位： m) 如圖所示，則該幾何體的體積為_ m 3.9 9.已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上.若球的體積為，則正方體的棱長(zhǎng)為 _.210. 正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為 4，底面邊長(zhǎng)為 2，則該球的表面積是_.11. 圓柱形容器內(nèi)盛有高度為8 cm 的水，若放入三個(gè)相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒(méi)最上面的球(如圖所示 )，則球的半徑是 _cm.三、解答題12. 如圖所示，半徑為R 的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑AB 所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體，求該幾何體的表面積.(其中 BAC30)13. 一個(gè)高為 16 的圓錐內(nèi)接于一個(gè)體積為 972

10、 的球，在圓錐內(nèi)又有一個(gè)內(nèi)切球，求：(1) 圓錐的側(cè)面積；(2) 圓錐的內(nèi)切球的體積 .當(dāng)堂檢測(cè)答案1.答案B解析球的半徑為3，表面積S 4343 36 . 36 ，體積 V2332.答案D4解析設(shè)球的半徑為R，則 4 R2 3，所以 R 3.3R3.答案32解析設(shè)大球的半徑為443，R，則有 3 2 R31332.R32， R4.答案844解析球的半徑為R時(shí)，球的體積為V1R3，表面積為S1 42，半徑增加為2R后，R3球的體積為4323 ，表面積為2 4 (2)2 16 2.V2 (2 R)3 SR3RR332V23R3S216 R2所以 8， 4，V14R3S14R23即體積變?yōu)樵瓉?lái)的8

11、 倍，表面積變?yōu)樵瓉?lái)的4 倍 .5.答案3解析由三視圖可知，該幾何體為一個(gè)半徑為1 的半球，其表面積為半個(gè)球面面積與截面.1面積的和，即 4 3 .2課時(shí)精練一、選擇題1.答案C解析由題意可知， 6a224 ， a 2.設(shè)正方體外接球的半徑為R，則43 a 2R， R3 ， V 球 R3 43 .32.答案A解析 球的半徑為1 ，且正方體內(nèi)接于球，球的直徑即為正方體的對(duì)角線，即正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為2.不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則有43a2 4，即 a2.34正方體的表面積為6 a2 6 8.33.答案A解析22 9.由表面積公式知，兩球的表面積之比為R1 R214.答案D解析由正方體的表面積為24

12、 cm 2 ，得正方體的棱長(zhǎng)為2 cm ，故這個(gè)球的直徑為2cm ，故4這個(gè)球的體積為cm 3 .35.答案C解析方法一如圖，設(shè)球的半徑為r1，則在 Rt CDE 中，DE 2 r1，.CE R r， DC R r.由勾股定理得222，解得r1 Rr.故球的表面積4 r1 (R r )(R r)為 S 球 4r2 4Rr.1方法二如圖，設(shè)球心為O，球的半徑為r1，連接 OA ， OB，則在 Rt AOB 中， OF 是斜邊 AB 上的高 . 由相似三角形的性質(zhì)得OF 2 BFAF Rr，即 r21 Rr，故 r1 Rr，故球的表面積為 S 球 4 Rr .6.答案D解析 正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為1

13、 ，側(cè)棱長(zhǎng)為2 ， 正四棱柱的體對(duì)角線的長(zhǎng)為11 2 2 2.又 正四棱柱的頂點(diǎn)在同一球面上， 正四棱柱體對(duì)角線恰好是球的一條直徑， 球的半徑 R 1.44故球的體積為V R3 .337.答案A解析利用球的截面性質(zhì)結(jié)合直角三角形求解.11如圖，作出球的一個(gè)截面，則 MC 8 6 2(cm) ，BMAB 8 4(cm).22設(shè)球的半徑為R cm ，則 R2 OM 2 MB2 (R 2) 2 42 ， R 5，4500 V 球 53 (cm 3 ).33二、填空題8.答案9 18解析將三視圖還原為實(shí)物圖后求解.3由三視圖知，幾何體下面是兩個(gè)球，球半徑為；2上面是長(zhǎng)方體，其長(zhǎng)、寬、高分別為6、3、

14、1，427所以 V 2 1 3 6 9 18.38.9.答案3解析先求出球的半徑， 再根據(jù)正方體的體對(duì)角線等于球的直徑求棱長(zhǎng). 設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，球半徑為R，493則R3， R， 3 3， 3.aa32210. 答案814解析由已知條件可知，球心在正四棱錐的高所在的直線上.設(shè)球的半徑為R，球心為 O，E，則 OE |4 R|，所以 (4 R)2 (9正四棱錐底面中心為2)2 R2，解得 R .所以球的481表面積 S 4 R2.411. 答案 4解析 設(shè)球的半徑為，則圓柱形容器的高為，容積為 2 6r 6r3，高度為r6 rr48 cm 的水的體積為82,3 個(gè)球的體積和為3 r3 43，由題

15、意得 63 8 2r3rrr 4 r3，解得 r 4(cm).三、解答題12. 解 如圖所示，過(guò) C 作 CO1AB 于 O1.在半圓中可得 BCA 90 ， BAC 30 ， AB 2R，AC 3R， BCR，CO3，球 2，RS14 R2.S圓錐 AO3R3側(cè)3R 2，R122S圓錐 BO1側(cè)33R2，2R R2S 幾何體表 S 球 S圓錐 AO1側(cè) S圓錐 BO1側(cè)11311 3R2 R22R2 .22113故旋轉(zhuǎn)所得幾何體的表面積為R2.213. 解(1) 如圖作軸截面，則等腰三角形CAB 內(nèi)接于 O， O1 內(nèi)切于 ABC .4設(shè) O 的半徑為 R，由題意，得R3 972 ，3所以 R3 729 ， R 9，所以