1、投入產出的最投入產出的最優組合優組合第第四四章章本章知識點本章知識點: :1.單一可變要素的最優利用單一可變要素的最優利用2.總產量、平均產量、邊際產量總產量、平均產量、邊際產量3.邊際收益遞減規律邊際收益遞減規律4.生產的三個階段生產的三個階段5.單一可變投入要素最優投入量的確單一可變投入要素最優投入量的確定定企業在生產經營中必然遇到的兩個問題：企業在生產經營中必然遇到的兩個問題：1 1、投入要素怎樣組合達到最優？、投入要素怎樣組合達到最優？2 2、產品產量怎樣組合才是最優？、產品產量怎樣組合才是最優？4.1 4.1 單一可變要素的最優利用單一可變要素的最優利用4.1.1 生產函數生產函數

2、生產函數表明了一定數量的投入要素所能獲生產函數表明了一定數量的投入要素所能獲得的最大產量，其一般形式為：得的最大產量，其一般形式為：),(21nxxxfq x1,x2xn代表各種投入要素的數量，代表各種投入要素的數量，q表表示生產要素投入后能獲得的最大產量。研究兩種示生產要素投入后能獲得的最大產量。研究兩種投入要素產出一種產品的情況可由下式表示：投入要素產出一種產品的情況可由下式表示： ),(klfq 其中其中l為勞力，為勞力，k為資本。為資本。 最著名的生產函數是柯布最著名的生產函數是柯布道格拉斯函數，道格拉斯函數，其形式為：其形式為： 其中其中a、b、c都是常數。該函數具有如下特征：都是常

3、數。該函數具有如下特征： 1、對數形式、對數形式 是一個線性函數。是一個線性函數。 2、屬于齊次生產函數。即如果、屬于齊次生產函數。即如果k與與l分別乘分別乘以以t，t可作為公因子提出。可作為公因子提出。clglblgklgalgqcbcbcblkattl)(tk)(ahqcblkaq 3、參數、參數b和和c正好是正好是k和和l的產出彈性。的產出彈性。可以驗證：可以驗證： 因此，只要把參數因此，只要把參數b和和c估計出來，就能根據估計出來，就能根據k 和和l的變化算出的變化算出q的相應變化。的相應變化。cqldldqebqldkdqelk)(*yyxfqtp4.1.2 總產量、平均產量、邊際產

4、量總產量、平均產量、邊際產量 總產量反映生產體系中一種投入要素耗用量總產量反映生產體系中一種投入要素耗用量的變化和產出量之間的關系。用公式表示是：的變化和產出量之間的關系。用公式表示是： 式中式中y是固定要素投入量，是固定要素投入量，y*表示常量，表示常量，x為變為變動要素投入量。總產量曲線如下圖所示：動要素投入量。總產量曲線如下圖所示：xqtp 從總產量可以導出邊際產量和平均產量。平從總產量可以導出邊際產量和平均產量。平均產量的計算公式為：均產量的計算公式為：xqapx邊際產量的計算公式為：邊際產量的計算公式為：dxdqmpx當生產要素的投入量為非連續變化時：當生產要素的投入量為非連續變化時

5、：xqmpx4.1.3 邊際收益遞減規律邊際收益遞減規律 邊際收益遞減規律即變動比例規律，指在其邊際收益遞減規律即變動比例規律，指在其他要素數量不變的前提下，逐步增加某一投入要他要素數量不變的前提下，逐步增加某一投入要素，其邊際產量最終會減少。素，其邊際產量最終會減少。 農業中關于施肥量與產量之間關系的實驗證農業中關于施肥量與產量之間關系的實驗證明了這一規律。在一塊一定面積的水稻田上連續明了這一規律。在一塊一定面積的水稻田上連續施用某種化肥對產量的影響見下頁附表。施用某種化肥對產量的影響見下頁附表。 邊際收益遞減規律起作用的前提是：只存在邊際收益遞減規律起作用的前提是：只存在一種變動生產要素，

6、且技術水平不變。一種變動生產要素，且技術水平不變。增施氮肥對水稻產量的影響增施氮肥對水稻產量的影響每畝用純氮每畝用純氮（公斤）（公斤）每畝水稻產量（公每畝水稻產量（公斤）斤）每增施每增施10公斤氮肥增收稻公斤氮肥增收稻谷（公斤）谷（公斤）5300253603045400206542010754255954302.54.1.4 生產的三個階段生產的三個階段 對一個連續的總產量函數來說，邊際產量就對一個連續的總產量函數來說，邊際產量就是總產量曲線的斜率，平均產量則是原點與總產是總產量曲線的斜率，平均產量則是原點與總產量曲線各點連線的斜率（見下圖）。由下圖可看量曲線各點連線的斜率（見下圖）。由下圖可

7、看出邊際收益遞減規律在起作用。出邊際收益遞減規律在起作用。xqtpc: mp=0b:mp=apa:mpap 由于邊際收益遞減規律作用，可根據可變要由于邊際收益遞減規律作用，可根據可變要素投入量的多少，把生產劃分為三個階段（見下素投入量的多少，把生產劃分為三個階段（見下圖）。圖）。mpxxtpbaqcapxx1x2x30第一階段是第一階段是0 x2第二階段是第二階段是x2x3第三階段是第三階段是x3 x4.1.5 單一可變投入要素最優投入量的確定單一可變投入要素最優投入量的確定 1. 確定最大利潤的方法確定最大利潤的方法 設：設：tr為企業某一產品的總收入，為企業某一產品的總收入，tc為總成為總

8、成本，本，t為總利潤。則：為總利潤。則：稱稱為為邊邊際際利利潤潤,dq)t(dm稱稱為為邊邊際際收收入入,dq)tr(dmr 稱稱為為邊邊際際成成本本,dq)tc(dmc 顯然，由顯然，由t=tr-tc可得可得m=mr-mc。當。當t取最大值時，取最大值時，m=0,即即mr=mc。所以當利潤。所以當利潤最大時，邊際收入等于邊際成本。最大時，邊際收入等于邊際成本。2. 邊際產量收入邊際產量收入 投入要素的邊際產量和產品銷售的邊際收入投入要素的邊際產量和產品銷售的邊際收入的乘積叫做投入要素的邊際產量收入，它是指生的乘積叫做投入要素的邊際產量收入，它是指生產某種產品所用的某種投入要素產出的一個邊際產

9、某種產品所用的某種投入要素產出的一個邊際產量的經濟價值，用產量的經濟價值，用mrp表示為：表示為： mrp=mpmr 3. 在變動要素的價格在變動要素的價格px不變的條件下，不變的條件下，單一可變投入要素最優投入量的確定：單一可變投入要素最優投入量的確定： mrp= px 即邊際產量收入東與變動要素價格即邊際產量收入東與變動要素價格4.2 4.2 多種投入要素的最優組合多種投入要素的最優組合 生產一種產品，往往需要多種投入要素。在生產一種產品，往往需要多種投入要素。在實際生產中，尤其在長遠規劃中，多種投入要素實際生產中，尤其在長遠規劃中，多種投入要素之間往往是可以相互替代的。這樣就存在一個生之

10、間往往是可以相互替代的。這樣就存在一個生產要素最優組合的問題。所謂最優就是指利潤最產要素最優組合的問題。所謂最優就是指利潤最大。大。 成本一定、產量最大或者產量已定、成本最成本一定、產量最大或者產量已定、成本最小所對應的生產要素組合就是最優組合。小所對應的生產要素組合就是最優組合。4.2.1 等產量線與投入要素的替代性等產量線與投入要素的替代性 等產量線是某一特定產量的兩種可替代的投等產量線是某一特定產量的兩種可替代的投入要素的所有不同組合。等產量線有兩個特點：入要素的所有不同組合。等產量線有兩個特點：（見下圖）（見下圖）q2q1kl1.離原點越遠，所離原點越遠，所代表的產量越大。代表的產量越

11、大。2.兩條等產量線不兩條等產量線不能相交能相交q3q2q1kl 在生產過程中，不同生產要素有著不同性質在生產過程中，不同生產要素有著不同性質的互替性，等產量線可劃分為三種類型：的互替性，等產量線可劃分為三種類型： 1. 生產要素之間完生產要素之間完全可替代。如運輸貨物就全可替代。如運輸貨物就是一例。是一例。船舶數量汽車數量q1q2q3q為運輸量 2.生產要素之間完全生產要素之間完全不可替代。如自行車的車不可替代。如自行車的車架和車輪。架和車輪。q1q2q3q為自行車產量車輪數車架數 3. 生產要素之生產要素之間部分可替代。如間部分可替代。如勞力與資本之間的勞力與資本之間的替代關系。替代關系。

12、klaabb 一般情況下，等產量曲線的正向傾斜部分一般情況下，等產量曲線的正向傾斜部分（如（如aa和和bb 點）是不合理的。點）是不合理的。 在等產量曲線圖中，一種要素變化量與另一在等產量曲線圖中，一種要素變化量與另一種要素變化量之比，即等產量曲線斜率稱為投入種要素變化量之比，即等產量曲線斜率稱為投入要素的邊際技術替代率要素的邊際技術替代率,用用mrts表示。表示。dxdymrtsxymrts或, 要素的替代性說明在生產經營中一種投入要要素的替代性說明在生產經營中一種投入要素代替另一種投入要素而保持產量不變的能力，素代替另一種投入要素而保持產量不變的能力，它實際反映了企業在選擇可供使用的生產技

13、術時它實際反映了企業在選擇可供使用的生產技術時所具有的技術能力。所具有的技術能力。 下面我們來討論下面的表中投入要素的邊下面我們來討論下面的表中投入要素的邊際技術替代率際技術替代率組合方式組合方式勞勞 力力(l)資資 本本(k)產產 量量(q)a152000b232000c322000d512000 可以看到，隨著勞力投入量的增加，勞力投入可以看到，隨著勞力投入量的增加，勞力投入量的增量也在增加。量的增量也在增加。 在邊際技術替代率為負值的在邊際技術替代率為負值的范圍內，兩種要素此增彼減，一種要素替代另一種范圍內，兩種要素此增彼減，一種要素替代另一種要素的能力呈現遞減性，這就是邊際替代率遞減規

14、要素的能力呈現遞減性，這就是邊際替代率遞減規律。等產量曲線凸向原點體現了這一規律。律。等產量曲線凸向原點體現了這一規律。 邊際替代率遞減規律直接導源于邊際收益遞邊際替代率遞減規律直接導源于邊際收益遞減規律。可以證明，邊際技術替代率就等于兩要減規律。可以證明，邊際技術替代率就等于兩要素的邊際產量之比：素的邊際產量之比：0lmpkmplkklmpmplkmrts則則 由于沿等產量線從一點到另一點產量不變，由于沿等產量線從一點到另一點產量不變，資本得邊際產量和資本變化量的乘積和勞力的邊資本得邊際產量和資本變化量的乘積和勞力的邊際產量和勞力變化量的乘積相等，符號相反。即際產量和勞力變化量的乘積相等，符

15、號相反。即 等產量曲線由負向傾斜轉向正向傾斜的點指等產量曲線由負向傾斜轉向正向傾斜的點指明了投入要素替代的限度。我們把所有轉折點的明了投入要素替代的限度。我們把所有轉折點的連線稱為分水嶺，見下圖。在上分水嶺以上區域，連線稱為分水嶺，見下圖。在上分水嶺以上區域，資本投入過多，減少資本投入量反而可以增加產資本投入過多，減少資本投入量反而可以增加產量；下分水嶺以下區域則反之。量；下分水嶺以下區域則反之。q3q2q1kl上分水嶺下分水嶺 圖中區域圖中區域和和區域區域 對應于生產的第一和對應于生產的第一和第三階段，區域第三階段，區域對應對應生產的第二階段。應當生產的第二階段。應當在中間區域尋找最佳投在中

16、間區域尋找最佳投入要素的結合點。入要素的結合點。4.2.2 等成本曲線及其性質等成本曲線及其性質 等成本曲線指企業花費一定金額所能購買的等成本曲線指企業花費一定金額所能購買的兩種生產要素的各種組合點的集合。兩種生產要素的各種組合點的集合。 設生產要素設生產要素x和和y價格不變，固定經費價格不變，固定經費c的等成的等成本曲線函數表示和圖形表示如下：本曲線函數表示和圖形表示如下：cypxpyxxpppcyyxy，yxppe稱為等成本曲線斜率。稱為等成本曲線斜率。xc1c2c1 c2y4.2.3 最優投入要素組合的確定最優投入要素組合的確定 在生產成本一定的條件下，尋優就是要在等在生產成本一定的條件

17、下，尋優就是要在等成本曲線上找到最大產量點。成本曲線上找到最大產量點。 將等產量曲線和等成本曲線放在同一坐標圖將等產量曲線和等成本曲線放在同一坐標圖上，最佳投入比例就出現在等產量曲線和等成本上，最佳投入比例就出現在等產量曲線和等成本曲線相切之點上。該點上等產量曲線和等成本曲曲線相切之點上。該點上等產量曲線和等成本曲線斜率相等，此即最優要素組合的條件：線斜率相等，此即最優要素組合的條件：yyxxyxyxpmppmpmpmppp即,q3q2q1yxy*x*b 當一種要素每增加一元所增當一種要素每增加一元所增加的產值和其他任何要素每增加的產值和其他任何要素每增加一元所增加的產值相等時，加一元所增加的

18、產值相等時，它們就達到最佳組合比例。它們就達到最佳組合比例。4.2.4 投入要素最小成本組合的數學分析投入要素最小成本組合的數學分析 設企業的生產使用設企業的生產使用n種生產要素種生產要素x1，x2 xn ，要素的價格要素的價格p1,p2, pn不變不變,企業的目標函數為成企業的目標函數為成本函數：本函數：tc = p1x1+p2x2+ pnxn 企業的約束條件為：企業的約束條件為：q* = f(x1, x2, , xn ) 其中其中q*為特定產量。為特定產量。 在滿足約束條件的情況下，確定生產要素的在滿足約束條件的情況下，確定生產要素的組合使得組合使得tc最小：最小：)3,2, 1(0min

19、1*minixqqxptciniii 利用條件極值法確定最小成本的條件，取拉利用條件極值法確定最小成本的條件，取拉格朗日函數得：格朗日函數得：),(),(21*121nniiinxxxfqxpxxxl 達到最優投入要素組合的必要條件是：達到最優投入要素組合的必要條件是：nixfpxlxxxfqliiin,2, 1,00),(21*nnnpxfpxfpxfxxxf221121*),(qnnnpmppmppmpxxxfq221121*),( 這就是這就是n種投入要素在產量一定的前提種投入要素在產量一定的前提下達到成本最低利潤最大的結合條件。這和下達到成本最低利潤最大的結合條件。這和幾何分析的結論是

20、一樣的。幾何分析的結論是一樣的。iixfmpixf就是就是x的邊際產量，即的邊際產量，即4.2.5 生產擴大路線生產擴大路線 生產擴大路線又稱之為擴張通道，它是投入生產擴大路線又稱之為擴張通道，它是投入要素最優組合點的集合，分為長期生產擴大路線要素最優組合點的集合，分為長期生產擴大路線和短期生產擴大路線。和短期生產擴大路線。 因為企業生產因為企業生產“長期長期”、“短期短期”的區別在的區別在于是否存在固定要素，我們把不同等產量曲線和于是否存在固定要素，我們把不同等產量曲線和不同等成本曲線之間的切點連接起來，形成的軌不同等成本曲線之間的切點連接起來，形成的軌跡稱作長期生產擴大路線，該路線上各種要

21、素的跡稱作長期生產擴大路線，該路線上各種要素的投入量均是可變的。投入量均是可變的。 如果只有一種要素的投入量是可變的，那么如果只有一種要素的投入量是可變的，那么各投入要素組合點的集合稱作短期生產擴大路線。各投入要素組合點的集合稱作短期生產擴大路線。klabp長期生產擴大路線長期生產擴大路線短期生產擴大路線短期生產擴大路線 長期生產擴大路線長期生產擴大路線與企業生產資源的最優與企業生產資源的最優配置相聯系，而短期生配置相聯系，而短期生產擴大路線則不然。圖產擴大路線則不然。圖中除中除a點外，同樣的產點外，同樣的產量，短期生產擴大路線量，短期生產擴大路線所對應的成本比長期生所對應的成本比長期生產擴大

22、路線對應成本都產擴大路線對應成本都要高。要高。 圖中的短期生產擴大路線上，隨著圖中的短期生產擴大路線上，隨著l的增加，的增加，產量跟著增加，直到分水嶺以后產量下降。產量跟著增加，直到分水嶺以后產量下降。klabp長期生產擴大路線短期生產擴大路線mpxxtpbaqcapxx1x2x30q3q2q1kl上分水嶺下分水嶺 同學們請比較右邊三幅圖并思考問題： 如果k=k* ，產品價格不變，a點是否滿足mrp=pl？如果不滿足，為什么？4.2.7 價格變動對投入要素最優組合的影響價格變動對投入要素最優組合的影響 投入要素的價格發生變化時，最優投入要素投入要素的價格發生變化時，最優投入要素的組合將相應地發

23、生變更。的組合將相應地發生變更。 1、勞力的價格不變，、勞力的價格不變，資本的價格資本的價格pk下降。下降。q2q1klklppecccl1k1k2 若總成本若總成本c不變，不變， 因因pk的下降，等成本曲線的的下降，等成本曲線的斜率隨之改變，在新的要斜率隨之改變，在新的要素組合水平下等成本曲線素組合水平下等成本曲線與更高的等產量線相切。與更高的等產量線相切。若維持原來的產量不變，若維持原來的產量不變，則成本曲線變為則成本曲線變為c 。 2、資本的價格不變，、資本的價格不變，勞力的價格提高勞力的價格提高q2q1klklppecccl1k1l2 若總成本若總成本c不變，因不變，因pl的提高，等成

24、本曲線的的提高，等成本曲線的斜率隨之改變，在新的要斜率隨之改變，在新的要素組合水平下等成本曲線素組合水平下等成本曲線與更低的等產量線與更低的等產量線q2相切。相切。若維持原來的產量不變，若維持原來的產量不變，則成本曲線變為則成本曲線變為c 。 存在一條生產要素替存在一條生產要素替代規則，即根據最小成本代規則，即根據最小成本原則，如果有一種生產要原則，如果有一種生產要素的價格上升，而其他的素的價格上升，而其他的不變，企業可用其他要素不變，企業可用其他要素來替代價格上升的要素來替代價格上升的要素（如右圖所示）。（如右圖所示）。q2q1klcccl1k1l2ab 替代規律可由最小成本組合條件方程替代

25、規律可由最小成本組合條件方程 導出：導出：kkllpmppmp。下下降降，使使方方程程最最終終平平衡衡p p上上升升，多多使使用用k k使使得得m m。減減少少使使用用l l使使得得m mp pp pm mp pp pm mp p上上升升，則則若若p pk kl lk kk kl ll ll l4.2.8 生產資源有限條件下的最優投入結合生產資源有限條件下的最優投入結合1、投入要素存在固定比例的等產量線、投入要素存在固定比例的等產量線 在實際生產過程中，資本和勞力同時存在一些在實際生產過程中，資本和勞力同時存在一些不同的固定比例，如右圖所示。不同的固定比例，如右圖所示。eabcdkl0q=10

26、00單位 等產量線等產量線abcde是一是一條折線，產量水平為條折線，產量水平為1000單位。在單位。在ab（或（或bc）之）之間的點上沒有直接的投入。間的點上沒有直接的投入。當這些不同的固定比例無當這些不同的固定比例無限多時，其極限情況即為限多時，其極限情況即為任意變動比例生產函數的任意變動比例生產函數的等產量線。等產量線。 如右圖，在等產量如右圖，在等產量線線bc 段上任取一點段上任取一點r，可以得到過程可以得到過程 t2 和和 t3 上的兩點上的兩點b 和和c ,它們它們的產量組合恰好為的產量組合恰好為1000單位。證明如下：單位。證明如下： 假如要素投入單位可以細分，就可以適當組合假如

27、要素投入單位可以細分，就可以適當組合密切相關的兩個生產過程進行生產，如按密切相關的兩個生產過程進行生產，如按b點的比點的比例生產例生產750單位產量，按單位產量，按c點的比例生產點的比例生產250單位產單位產量，同樣可得量，同樣可得1000單位產量。單位產量。kk1 k3 k2 ll1l2l3bccbr012t2t3q=1000單位 過過r點分別作點分別作ot2和和ot3的平行線的平行線rc 和和rb 。oc rb 是平行是平行四邊形。四邊形。kk1 k3 k2 ll1l2l3bcc b r0t2t3q=1000單位單位qqbcrbqbcrcqqqqbcbrqqbcrcqobobqbcrcob

28、rcobobobobqqctbtrctbtbt32322同理32132112321olololokokok,kkokrboc,同理，同理，2、生產資源有限條件下投入要素的最優組合、生產資源有限條件下投入要素的最優組合 在生產期間，企業的投入資源往往是有限的，在生產期間，企業的投入資源往往是有限的，企業只能在資源約束條件下求最優投入結合比例。企業只能在資源約束條件下求最優投入結合比例。下面舉例說明。下面舉例說明。設設（1）企業只存在五種固定投入比例；）企業只存在五種固定投入比例； 企業希望在企業希望在l和和k使用有限的條件下使產量達使用有限的條件下使產量達到最大。下面將圖解法和代數分析法結合起來

29、解到最大。下面將圖解法和代數分析法結合起來解決問題。決問題。（2）當前生產期只有）當前生產期只有20單位勞力和單位勞力和11單位資本；單位資本； （3）企業力爭產量）企業力爭產量q最大。最大。 t1t2t3t4t5abcderl 如圖，陰影區域為可如圖，陰影區域為可行區域。其中角點行區域。其中角點r離原離原點最遠，對應產量也最大。點最遠，對應產量也最大。由于由于r處在生產過程處在生產過程t2和和t3之間，產量最大的組合之間，產量最大的組合只能利用這兩種生產過程。只能利用這兩種生產過程。 設設t2生產一單位產品需要生產一單位產品需要5單位單位l和和5單位單位k，t3生產一單位產品需要生產一單位產

30、品需要12單位單位l和和5單位單位k。則有。則有ktlttktlttpqpqtcpqpqtc33322251255由生產資源約束條件得：由生產資源約束條件得：)(1155)(201253232約束約束kqqlqqtttt解方程組得解方程組得單位單位單位2 .235777935323232ttttqqqq4.3 4.3 規模收益率規模收益率 按某一固定比例增加要素的投入量將如何影按某一固定比例增加要素的投入量將如何影響總產量呢？這就是規模收益率問題。響總產量呢？這就是規模收益率問題。4.3.1 規模收益率的遞增、不變與遞減規模收益率的遞增、不變與遞減 規模收益率遞減規律：隨著企業規模的擴大，規模

31、收益率遞減規律：隨著企業規模的擴大，產量增長的倍數開始時大于投入增加的倍數，然產量增長的倍數開始時大于投入增加的倍數，然后等于投入增加的倍數，最后小于投入增加的倍后等于投入增加的倍數，最后小于投入增加的倍數。數。定義：定義：遞減遞減111114.33008:168遞減遞減113116.72707:147不變不變1201202406:126遞增遞增1671252005:105遞增遞增171133.31204:84遞增遞增350150703:63遞增遞增400200202:42-51:21規模收規模收益率益率產量增產量增長百分長百分數數(%)規模增規模增大百分大百分數數(%)產量產量資本資本/勞力勞力序序數數生產規模與收益的關系生產規模與收益的關系 運用等產