1、 8.1 非線性控制系統(tǒng)概述非線性控制系統(tǒng)概述 8.2 常見(jiàn)非線性特性及其對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響常見(jiàn)非線性特性及其對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響 8.3 相平面法相平面法 8.4 描述函數(shù)法描述函數(shù)法 8 8 非線性控制系統(tǒng)分析非線性控制系統(tǒng)分析 1. 研究非線性系統(tǒng)的研究非線性系統(tǒng)的意義意義 1)實(shí)際控制系統(tǒng)，存在大量非線性因素。這些實(shí)際控制系統(tǒng)，存在大量非線性因素。這些非線性因素的存在，使得我們用線性系統(tǒng)理論非線性因素的存在，使得我們用線性系統(tǒng)理論進(jìn)行分析時(shí)所得出的結(jié)論，與實(shí)際系統(tǒng)的控制進(jìn)行分析時(shí)所得出的結(jié)論，與實(shí)際系統(tǒng)的控制效果不一致。線性系統(tǒng)理論無(wú)法解釋非線性因效果不一致。線性系統(tǒng)理論無(wú)法解釋非線性因素所

2、產(chǎn)生的影響。素所產(chǎn)生的影響。 2)非線性特性的存在，并不總是對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生不非線性特性的存在，并不總是對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生不良影響。良影響。 8.1 非線性控制系統(tǒng)概述非線性控制系統(tǒng)概述2 非線性系統(tǒng)的非線性系統(tǒng)的特點(diǎn)特點(diǎn) 1. 線性系統(tǒng)描述其運(yùn)動(dòng)過(guò)程的數(shù)學(xué)模型是線性系統(tǒng)描述其運(yùn)動(dòng)過(guò)程的數(shù)學(xué)模型是線性微分線性微分方程方程，故可以采用，故可以采用疊加原理疊加原理。而非線性系統(tǒng)，其數(shù)。而非線性系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型為學(xué)模型為非線性微分方程，不能采用疊加原理，非線性微分方程，不能采用疊加原理，必必須研究不同輸入所引起的輸出響應(yīng)。須研究不同輸入所引起的輸出響應(yīng)。 2. 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性與輸入響應(yīng)的性質(zhì)只由系統(tǒng)本線性系統(tǒng)的

3、穩(wěn)定性與輸入響應(yīng)的性質(zhì)只由系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)及參量決定，而與系統(tǒng)的初始狀態(tài)無(wú)關(guān)。身的結(jié)構(gòu)及參量決定，而與系統(tǒng)的初始狀態(tài)無(wú)關(guān)。而而非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性及零輸入響應(yīng)的性質(zhì)不僅取非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性及零輸入響應(yīng)的性質(zhì)不僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參量，而且還與系統(tǒng)的初始決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參量，而且還與系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關(guān)。狀態(tài)有關(guān)。3. 線性系統(tǒng)的工作狀態(tài)只可能有穩(wěn)定或不穩(wěn)定兩線性系統(tǒng)的工作狀態(tài)只可能有穩(wěn)定或不穩(wěn)定兩種，系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)在物理上是不能實(shí)現(xiàn)的。在沒(méi)種，系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)在物理上是不能實(shí)現(xiàn)的。在沒(méi)有外作用時(shí)，非線性系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)在物理上可以有外作用時(shí)，非線性系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)在物理上可以實(shí)現(xiàn)，其頻率和振幅均由

4、系統(tǒng)本身的特性所決定。實(shí)現(xiàn)，其頻率和振幅均由系統(tǒng)本身的特性所決定。所以通常把它稱(chēng)為自激振蕩，簡(jiǎn)稱(chēng)自振。所以通常把它稱(chēng)為自激振蕩，簡(jiǎn)稱(chēng)自振。自振是非自振是非線性系統(tǒng)的一個(gè)非常重要的特征，也是研究非線性線性系統(tǒng)的一個(gè)非常重要的特征，也是研究非線性系統(tǒng)的重要內(nèi)容之一。系統(tǒng)的重要內(nèi)容之一。4可以用頻率特性的概念來(lái)研究和分析線性系統(tǒng)可以用頻率特性的概念來(lái)研究和分析線性系統(tǒng)的固有特性。的固有特性。不能用頻率特性、傳遞函數(shù)等線性系不能用頻率特性、傳遞函數(shù)等線性系統(tǒng)常用的方法來(lái)研究非線性系統(tǒng)。統(tǒng)常用的方法來(lái)研究非線性系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)在正非線性系統(tǒng)在正弦信號(hào)作用下，穩(wěn)態(tài)分量除產(chǎn)生同頻率振蕩外，可弦信號(hào)作用下，穩(wěn)

5、態(tài)分量除產(chǎn)生同頻率振蕩外，可能產(chǎn)生倍頻振蕩和分頻振蕩。能產(chǎn)生倍頻振蕩和分頻振蕩。3. 3. 非線性系統(tǒng)的非線性系統(tǒng)的分類(lèi)分類(lèi) n 非本質(zhì)非線性非本質(zhì)非線性 能夠用小偏差線性化方法進(jìn)行線性化處理的能夠用小偏差線性化方法進(jìn)行線性化處理的非線性。非線性。n 本質(zhì)非線性本質(zhì)非線性 用小偏差線性化方法不能解決的非線性。用小偏差線性化方法不能解決的非線性。 非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)有著很大的差別，諸如非線性系統(tǒng)的響應(yīng)取決于輸入信號(hào)的幅值和形式，不能應(yīng)用疊加原理，目前還沒(méi)有統(tǒng)一的且普遍適用的處理方法。 由于非線性系統(tǒng)的復(fù)雜性和特殊性，受數(shù)學(xué)工具限制，一般情況下難以求得非線性微分方程的解析解，通常采用工程上適用的

6、近似方法。 （1）相平面法 （2）描述函數(shù)法 （3）4. 研究研究非線性系統(tǒng)的非線性系統(tǒng)的方法方法 1)相平面法相平面法用圖解方法分析一階，二階非線性系統(tǒng)。用圖解方法分析一階，二階非線性系統(tǒng)。通過(guò)繪制控制系統(tǒng)相軌跡，分析非線性系統(tǒng)特性。通過(guò)繪制控制系統(tǒng)相軌跡，分析非線性系統(tǒng)特性。 2)描述函數(shù)法描述函數(shù)法是受線性系統(tǒng)頻率法啟發(fā)，而發(fā)展出是受線性系統(tǒng)頻率法啟發(fā)，而發(fā)展出的一種分析非線性系統(tǒng)的方法。它是一種諧波線性的一種分析非線性系統(tǒng)的方法。它是一種諧波線性化的分析方法，是頻率法在非線性系統(tǒng)分析中的推化的分析方法，是頻率法在非線性系統(tǒng)分析中的推廣。廣。3)3)計(jì)算機(jī)求解法計(jì)算機(jī)求解法是利用計(jì)算機(jī)運(yùn)

7、算能力和高速度對(duì)是利用計(jì)算機(jī)運(yùn)算能力和高速度對(duì)非線性微分方程的一種數(shù)值解法。非線性微分方程的一種數(shù)值解法。 8.2 常見(jiàn)非線性特性常見(jiàn)非線性特性1.飽和特性飽和特性 ( ) ( )( )sgn ( ) ( )Ke te tay tKae te ta當(dāng)當(dāng)e(t)0時(shí)，時(shí)，sgn e(t) =+1；當(dāng)；當(dāng)e(t)0時(shí)，時(shí)，sgne(t) =1 當(dāng)輸入信號(hào)超過(guò)某一范圍后，輸出信號(hào)不再隨輸入信當(dāng)輸入信號(hào)超過(guò)某一范圍后，輸出信號(hào)不再隨輸入信號(hào)而變化，將保持某一常數(shù)值不變。可將飽和非線性元件看號(hào)而變化，將保持某一常數(shù)值不變。可將飽和非線性元件看作為一個(gè)作為一個(gè)ate)(2.2.死區(qū)（不靈敏區(qū)）特性死區(qū)（不

8、靈敏區(qū)）特性 0 ( )( )( )sgn ( ) ( )e tay tk e tae te ta3. 3. 間隙特性間隙特性( ) ( )0( )( ) ( )0sgn ( ) ( )0k e te ty tk e te tbe te t 理想繼電特性理想繼電特性MMtx )(00ee理想的繼電特性理想的繼電特性4.4.繼電器特性繼電器特性 具死區(qū)的繼電特性具死區(qū)的繼電特性MMtx0)(0000)()()(eteeteeete具死區(qū)的繼電特性具死區(qū)的繼電特性具磁滯回環(huán)的繼電特性具磁滯回環(huán)的繼電特性0000, 0)(, 0)(, 0)(, 0)()(eeteeeteMeeteeeteMtx具滯

9、環(huán)的繼電特性具滯環(huán)的繼電特性具磁滯回環(huán)和死區(qū)的繼電特性具磁滯回環(huán)和死區(qū)的繼電特性 具磁滯回環(huán)和死區(qū)的繼電特性具磁滯回環(huán)和死區(qū)的繼電特性00000000, 0;, 0, 0;, 00, 0)(;, 0)(eeemeeeMmeeeeeemeemeeteeeeMtx 由于繼電器元件在控制系統(tǒng)中常用來(lái)作為改善系統(tǒng)品質(zhì)由于繼電器元件在控制系統(tǒng)中常用來(lái)作為改善系統(tǒng)品質(zhì)的切換元件，因此繼電器特性在非線性系統(tǒng)的分析中占有重的切換元件，因此繼電器特性在非線性系統(tǒng)的分析中占有重要地位。要地位。 5.5.變放大系數(shù)特性變放大系數(shù)特性 變放大系數(shù)特性使系統(tǒng)在大誤差信號(hào)時(shí)具有較大的放變放大系數(shù)特性使系統(tǒng)在大誤差信號(hào)時(shí)具

10、有較大的放大系數(shù)，系統(tǒng)響應(yīng)迅速。而在小誤差信號(hào)時(shí)具有較小的放大系數(shù)，系統(tǒng)響應(yīng)迅速。而在小誤差信號(hào)時(shí)具有較小的放大系數(shù)，使系統(tǒng)響應(yīng)既緩且穩(wěn)。大系數(shù)，使系統(tǒng)響應(yīng)既緩且穩(wěn)。 具有這種特性的系統(tǒng)，其動(dòng)態(tài)品質(zhì)較好。具有這種特性的系統(tǒng)，其動(dòng)態(tài)品質(zhì)較好。 12( ) ( )( )( ) ( )k e te tay tk e te ta8.3 相平面法相平面法1 1 相平面的基本概念相平面的基本概念 相平面：相平面：相軌跡：相軌跡：)1(5)( sssG系統(tǒng)變量及其導(dǎo)數(shù)系統(tǒng)變量及其導(dǎo)數(shù)隨時(shí)間變化隨時(shí)間變化在相平面上描繪出來(lái)的軌跡在相平面上描繪出來(lái)的軌跡。cc ,由系統(tǒng)某變量及其導(dǎo)數(shù)由系統(tǒng)某變量及其導(dǎo)數(shù)( (如

11、如 ) )構(gòu)成的用以描述系統(tǒng)狀態(tài)的平面。構(gòu)成的用以描述系統(tǒng)狀態(tài)的平面。例例1 1 單位反饋系統(tǒng)單位反饋系統(tǒng) 2236. 0236. 2 n)(1)(ttr 相平面、相軌跡和相軌跡圖相平面、相軌跡和相軌跡圖相軌跡圖：相軌跡圖：相平面相平面 + + 相軌跡簇相軌跡簇 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)稱(chēng)為運(yùn)動(dòng)狀態(tài)稱(chēng)為“相相”，描述系統(tǒng)，描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的點(diǎn)的點(diǎn)稱(chēng)為稱(chēng)為相點(diǎn)相點(diǎn)，描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變量稱(chēng)為，描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變量稱(chēng)為相變量相變量，描述運(yùn)動(dòng)狀，描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的平面稱(chēng)為態(tài)的平面稱(chēng)為相平面相平面，相點(diǎn)隨時(shí)間變化在相平面中的移動(dòng)軌跡，相點(diǎn)隨時(shí)間變化在相平面中的移動(dòng)軌跡稱(chēng)為稱(chēng)為相軌跡相軌跡。說(shuō)

12、明：說(shuō)明： 相軌跡的相軌跡的起始點(diǎn)起始點(diǎn)由系統(tǒng)的由系統(tǒng)的初始條件初始條件 確定；箭頭方確定；箭頭方向表示隨時(shí)間向表示隨時(shí)間t t的增加的增加系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方向（系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方向（總是順時(shí)針總是順時(shí)針）。以）。以各各種可能的初始條件為起始點(diǎn)，可以得到種可能的初始條件為起始點(diǎn)，可以得到相軌跡簇相軌跡簇，相平面和，相平面和相軌跡簇合稱(chēng)為相軌跡簇合稱(chēng)為相平面圖相平面圖。),(00cc2 2 相軌跡的性質(zhì)相軌跡的性質(zhì)00 xx ( , )00dxf x xdxx 對(duì)于線性定常系統(tǒng)，對(duì)于線性定常系統(tǒng)，原點(diǎn)是唯一的平衡點(diǎn)原點(diǎn)是唯一的平衡點(diǎn)(4)(4)相軌跡的運(yùn)動(dòng)方向相軌跡的運(yùn)動(dòng)方向上半平面上半平面: : 向右移動(dòng)

13、向右移動(dòng)0 x 0 x 下半平面下半平面: : 向左移動(dòng)向左移動(dòng)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)(2)(2)相軌跡通過(guò)橫軸的方向相軌跡通過(guò)橫軸的方向( , )00f x xx (3)(3)相軌跡的奇點(diǎn)相軌跡的奇點(diǎn) (平衡點(diǎn)平衡點(diǎn))0),(xxfx 設(shè)非線性系統(tǒng)方程為：設(shè)非線性系統(tǒng)方程為：相軌跡上斜率不確定的點(diǎn)相軌跡上斜率不確定的點(diǎn)(1)(1)相軌跡的斜率相軌跡的斜率( , )dxdx dtf x xdxdx dtx ( , )dxdx dxdxxxf x xdtdx dtdx 相軌跡以相軌跡以90穿越穿越 x 軸軸( , )dxf x xdxx dxxd / 例例2 2 設(shè)系統(tǒng)方程為設(shè)系統(tǒng)方程為 ， 試?yán)L

14、制系統(tǒng)的相軌跡。試?yán)L制系統(tǒng)的相軌跡。02 xxn tdxdxdxdtdxdx 解解xxdxdxn2 xdxxdxn 2 Cxxn 222221 222222ACxxnn 122222 nAxAx 橢圓方程橢圓方程3 3 相軌跡的繪制相軌跡的繪制 解析法解析法解解例例3 3 系統(tǒng)方程系統(tǒng)方程 , ,用等傾線法繪制系統(tǒng)相軌跡圖。用等傾線法繪制系統(tǒng)相軌跡圖。0 xxx 系統(tǒng)方程系統(tǒng)方程0),( xxfx ),(xxfxdxdxtdxdxdxdx xxxfxdxd),( xxxf),( )(xxxdxdxx xxx)( 1xx 等傾線方程等傾線方程等傾線等傾線 相軌跡斜率為常數(shù)的曲線相軌跡斜率為常數(shù)的

15、曲線xx )1( 3 3 相軌跡的繪制相軌跡的繪制 等傾線法等傾線法等傾線方程等傾線方程75.3 19.2 58.1 18.1 82.0 42.0 19.0 75.1 1xx 75. 3 36. 0 2019. 2 84. 0 4058. 1 73. 1 6018. 1 67. 5 8082. 0 76. 5 10042. 0 73. 1 12019.084. 0 14075.136. 0 160 00. 0 180 1 1 11arctan 1. 意義：表示相軌跡上意義：表示相軌跡上斜率相同（為同一常數(shù)）的點(diǎn)斜率相同（為同一常數(shù)）的點(diǎn) 的連線的連線，即，即等傾線等傾線。）（xx ,繪制方法：

16、繪制方法： 給出不同的給出不同的i 值，得出相應(yīng)的一系列等傾線方程：值，得出相應(yīng)的一系列等傾線方程：iiiixxfx ),( 從從各初始點(diǎn)各初始點(diǎn)出發(fā)，沿著方向場(chǎng)依次連接各等傾線上的出發(fā)，沿著方向場(chǎng)依次連接各等傾線上的短線段，就得到系統(tǒng)在短線段，就得到系統(tǒng)在確定初始條件下的完整相軌跡確定初始條件下的完整相軌跡。 對(duì)應(yīng)畫(huà)出每一條等傾線，并在每條等傾線上畫(huà)出表示該對(duì)應(yīng)畫(huà)出每一條等傾線，并在每條等傾線上畫(huà)出表示該等傾線相應(yīng)斜率值的等傾線相應(yīng)斜率值的短線段短線段。這些短線段表示了相軌跡通過(guò)。這些短線段表示了相軌跡通過(guò)等傾線時(shí)的方向，或者說(shuō)它們構(gòu)成了相軌跡切線的等傾線時(shí)的方向，或者說(shuō)它們構(gòu)成了相軌跡切線

17、的“方向方向場(chǎng)場(chǎng)”。 指導(dǎo)思想：在相軌跡上指導(dǎo)思想：在相軌跡上從初始點(diǎn)開(kāi)始從初始點(diǎn)開(kāi)始，沿相軌跡的運(yùn)動(dòng)，沿相軌跡的運(yùn)動(dòng)方向選取方向選取若干點(diǎn)若干點(diǎn) ，則系統(tǒng)從初態(tài)運(yùn)動(dòng)，則系統(tǒng)從初態(tài)運(yùn)動(dòng)至穩(wěn)態(tài)的時(shí)間為：至穩(wěn)態(tài)的時(shí)間為：), 2 , 1 , 0)(,(nixxii 平平均均值值表表示示相相鄰鄰兩兩點(diǎn)點(diǎn)縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)的的，可可用用下下式式近近似似計(jì)計(jì)算算為為相相鄰鄰兩兩點(diǎn)點(diǎn)的的時(shí)時(shí)間間增增量量其其中中：，2111iiiiiiiiiiniixxxtxxxxxttt 4 4 由相軌跡求時(shí)間解由相軌跡求時(shí)間解 微小增量法微小增量法BAABABxxxxtt 2ABABxxx 2()BAABABxxtxx 相軌

18、跡相軌跡A-B段的平均速度：段的平均速度： 相軌跡相軌跡A-B段所用的時(shí)間：段所用的時(shí)間： 4 4 由相軌跡求時(shí)間解由相軌跡求時(shí)間解 微小增量法微小增量法都已知，畫(huà)出曲線。ABBAtxx,奇點(diǎn)與極限環(huán)奇點(diǎn)與極限環(huán)相軌跡的兩個(gè)相軌跡的兩個(gè)基本特征基本特征 奇點(diǎn)的類(lèi)型奇點(diǎn)的類(lèi)型設(shè)二階線性系統(tǒng)微分方程為（零輸入條件下）：設(shè)二階線性系統(tǒng)微分方程為（零輸入條件下）：。原原點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)）為為其其相相平平面面的的坐坐標(biāo)標(biāo)二二階階系系統(tǒng)統(tǒng)的的奇奇點(diǎn)點(diǎn)（平平衡衡因因此此，）奇奇點(diǎn)點(diǎn)（令令00000022,xx,xxxxnn 根據(jù)根據(jù)的取值及特征根的不同，的取值及特征根的不同，奇點(diǎn)分為奇點(diǎn)分為6 6種種1221 nn

19、，系統(tǒng)特征根為：系統(tǒng)特征根為： 由于解析法和圖解法工作量都比較大，而相軌跡主要針對(duì)由于解析法和圖解法工作量都比較大，而相軌跡主要針對(duì)二階系統(tǒng)，故一般對(duì)常見(jiàn)二階系統(tǒng)，故一般對(duì)常見(jiàn)二階系統(tǒng)相軌跡的規(guī)律二階系統(tǒng)相軌跡的規(guī)律作一個(gè)作一個(gè)典型的典型的歸納歸納，以此作為非線性系統(tǒng)相平面分析的基礎(chǔ)。，以此作為非線性系統(tǒng)相平面分析的基礎(chǔ)。5 5 二階系統(tǒng)的相軌跡二階系統(tǒng)的相軌跡極點(diǎn)分布極點(diǎn)分布奇點(diǎn)奇點(diǎn)相跡圖相跡圖中心點(diǎn)中心點(diǎn)穩(wěn)定的穩(wěn)定的 焦點(diǎn)焦點(diǎn)穩(wěn)定的穩(wěn)定的 節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)鞍鞍 點(diǎn)點(diǎn)不穩(wěn)定不穩(wěn)定的焦點(diǎn)的焦點(diǎn)不穩(wěn)定不穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)極點(diǎn)分布極點(diǎn)分布奇點(diǎn)奇點(diǎn)相跡圖相跡圖(2) 01（穩(wěn)定）（穩(wěn)定）(5) -10（不穩(wěn)定

20、）（不穩(wěn)定）(3) 1（穩(wěn)定）（穩(wěn)定）(6) -1（不穩(wěn)定）（不穩(wěn)定）(1) =0（臨界穩(wěn)定）（臨界穩(wěn)定）為兩個(gè)符號(hào)相反的實(shí)根2 . 1)4(不穩(wěn)定不穩(wěn)定),(00 xxxxx 奇奇點(diǎn)點(diǎn)為為解解之之得得根根據(jù)據(jù)定定義義，可可令令奇奇點(diǎn)點(diǎn)的的求求法法： 奇點(diǎn)的作用奇點(diǎn)的作用： 6. 非線性系統(tǒng)的相平面分析非線性系統(tǒng)的相平面分析 一般步驟：一般步驟：（1）寫(xiě)出系統(tǒng)各組成環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，形成系統(tǒng)方程組。）寫(xiě)出系統(tǒng)各組成環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，形成系統(tǒng)方程組。（2）選取狀態(tài)變量。通常選取非線性環(huán)節(jié)的輸入，即）選取狀態(tài)變量。通常選取非線性環(huán)節(jié)的輸入，即系統(tǒng)誤系統(tǒng)誤差差e及其導(dǎo)數(shù)作為系統(tǒng)狀態(tài)變量及其導(dǎo)數(shù)作為系

21、統(tǒng)狀態(tài)變量。 （3）將非線性環(huán)節(jié)）將非線性環(huán)節(jié)分段線性化分段線性化，寫(xiě)出每一段的，寫(xiě)出每一段的微分方程微分方程。（3）根據(jù)）根據(jù)分段線性化分段線性化將相平面劃分成若干個(gè)線性區(qū)域?qū)⑾嗥矫鎰澐殖扇舾蓚€(gè)線性區(qū)域（分界（分界線稱(chēng)為線稱(chēng)為開(kāi)關(guān)線開(kāi)關(guān)線），根據(jù)各段的微分方程式），根據(jù)各段的微分方程式繪制各區(qū)域的繪制各區(qū)域的相軌跡相軌跡。（4）把相鄰區(qū)域開(kāi)關(guān)線連接起來(lái)即得非線性系統(tǒng)的相軌跡圖，）把相鄰區(qū)域開(kāi)關(guān)線連接起來(lái)即得非線性系統(tǒng)的相軌跡圖，由此可分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性。由此可分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性。例例4 4 設(shè)系統(tǒng)方程為設(shè)系統(tǒng)方程為 求系統(tǒng)的平衡點(diǎn)求系統(tǒng)的平衡點(diǎn)xe，并判定平衡點(diǎn)附近，并判定平衡點(diǎn)附近相軌跡的

22、性質(zhì)。相軌跡的性質(zhì)。0)5 . 03(2 xxxxx 0 xx 解解 令令0)1(2 xxxx 1021eexx 不穩(wěn)定焦點(diǎn)；發(fā)散的螺旋線不穩(wěn)定焦點(diǎn)；發(fā)散的螺旋線線性化線性化 0)1()1(5 . 005 . 02xxxxxxx xxxxxxxxee121 05 . 005 . 0 xxxxxx 015 . 0015 . 022ssss特征特征方程方程s = 0.25j0.970.78s =-1.28鞍點(diǎn)；雙曲線鞍點(diǎn)；雙曲線(1) (1) 非本質(zhì)非線性系統(tǒng)的相平面分析（非本質(zhì)非線性系統(tǒng)的相平面分析（ 各點(diǎn)連續(xù)可微）各點(diǎn)連續(xù)可微）6. 非線性系統(tǒng)的相平面分析非線性系統(tǒng)的相平面分析 例例5 5 設(shè)

23、系統(tǒng)方程為設(shè)系統(tǒng)方程為 ，求系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，求系統(tǒng)的平衡點(diǎn)xe， 并判定平衡點(diǎn)附近并判定平衡點(diǎn)附近相軌跡的性質(zhì)。相軌跡的性質(zhì)。0sin xx 0 xx 解解 令令當(dāng)當(dāng)xxxkx sin)2sin(sin 00 xxxx 010122ss特征特征方程方程 11sjs0sin x kxe ex k2xxx sinsin )12( k線性化線性化 中心點(diǎn)中心點(diǎn)鞍點(diǎn)鞍點(diǎn)例例1 1 系統(tǒng)方程為系統(tǒng)方程為 ，分析系統(tǒng)的自由響應(yīng)。，分析系統(tǒng)的自由響應(yīng)。0 xxx 解解 01II01I22ssss 62. 162. 0866. 05 . 02,12,1sjs特征特征方程方程 穩(wěn)定焦點(diǎn)穩(wěn)定焦點(diǎn)鞍點(diǎn)鞍點(diǎn) II00I

24、00 xxxxxxxx 0II0I21eexx奇點(diǎn)奇點(diǎn)極點(diǎn)極點(diǎn)開(kāi)關(guān)線開(kāi)關(guān)線(2) (2) 本質(zhì)非線性系統(tǒng)的相平面分析本質(zhì)非線性系統(tǒng)的相平面分析例例2 2 系統(tǒng)方程為系統(tǒng)方程為 ，分析系統(tǒng)的自由響應(yīng)。，分析系統(tǒng)的自由響應(yīng)。0sign xxx 解解 01II01I22ss 112,12,1jsjs特征特征方程方程 中心點(diǎn)中心點(diǎn) II001I001xxxxxx 1II1I21eexx奇點(diǎn)奇點(diǎn)極點(diǎn)極點(diǎn) 中心點(diǎn)中心點(diǎn)開(kāi)關(guān)線開(kāi)關(guān)線 劃分不同線性區(qū)域的邊界線劃分不同線性區(qū)域的邊界線平衡線平衡線（奇線奇線） 不同區(qū)域的相軌跡相互影響而產(chǎn)生不同區(qū)域的相軌跡相互影響而產(chǎn)生解解21)()(ssUsC 22ee開(kāi)關(guān)線

25、方程開(kāi)關(guān)線方程)()(tutc 線性部分線性部分 u非線性部分非線性部分 ececec 4)I(20 e)II(22 eeIII)(22 ee綜合點(diǎn)綜合點(diǎn)ccre 4 uce )I(20 e)II(22 eeIII)(22 ee例例3 3 系統(tǒng)如右，已知系統(tǒng)如右，已知 , ,確定開(kāi)關(guān)線方程確定開(kāi)關(guān)線方程, ,奇點(diǎn)位置和奇點(diǎn)位置和 類(lèi)型類(lèi)型, ,繪制相軌跡繪制相軌跡 圖。圖。 )(14)(0)0(ttrce e( , ) (3) (3) 非線性控制系統(tǒng)的相平面分析非線性控制系統(tǒng)的相平面分析 中心點(diǎn)中心點(diǎn) 中心點(diǎn)中心點(diǎn)0s 0 e 0e I21 s 區(qū)域區(qū)域 運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程 奇點(diǎn)奇點(diǎn) 特征方程特

26、征方程 極點(diǎn)極點(diǎn) 奇點(diǎn)性質(zhì)奇點(diǎn)性質(zhì)js s 01 2e 02-ee II22 js s 01 -2e 02ee III23 奇奇點(diǎn)點(diǎn)類(lèi)類(lèi)型型相軌跡相軌跡)II(以以 為中心的圓為中心的圓22 e以以 為中心的圓為中心的圓III)(23 e0)I( e Ce 水平線水平線響應(yīng)響應(yīng))(tccre eerc 4eTe1 開(kāi)關(guān)線方程開(kāi)關(guān)線方程)()(tutc 線性部分線性部分非線性部分非線性部分1 ededetdededede )I(01 eTeII)(01 eTe u比較點(diǎn)比較點(diǎn)ccre 1例例4 4 系統(tǒng)如右，系統(tǒng)如右， ， ，分別討論系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)。，分別討論系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)。)(1)(ttr 5 . 0,

27、0 T整理整理)I(01 eTeII)(01 eTe e 在在 I 區(qū)：區(qū)：22eeC I拋物線方程拋物線方程同理在同理在 II 區(qū)：區(qū)：22eeCII當(dāng)當(dāng) 時(shí)，開(kāi)關(guān)線為時(shí)，開(kāi)關(guān)線為： 5 . 00T eee20解解開(kāi)關(guān)線開(kāi)關(guān)線0 eTe( I )相軌跡圖相軌跡圖0 eTe( II )系統(tǒng)方程系統(tǒng)方程 eeT25 . 0 00eT1 e 22eeC I22eeCII1 e 非線性部分非線性部分 0,1ehehe 0,1ehehe u比較點(diǎn)比較點(diǎn)cre 例例5 5 系統(tǒng)如右，在系統(tǒng)如右，在 平面上分析系統(tǒng)的自由響應(yīng)運(yùn)動(dòng)。平面上分析系統(tǒng)的自由響應(yīng)運(yùn)動(dòng)。)(cc整理整理sssUsC 21)()(線性

28、部分線性部分解解ucc 11 ucc 0, chchc 0, chchc(I )1dcccccdc 11c 等傾斜線等傾斜線(II)1dcccccdc 11c I)(11 II)(11- 21 201121 03 21 2 1 23 2 2 1 21 0211221 0 1 3 2 23 21 0 1 3 2 2331 3131 2323 等傾斜線等傾斜線極限環(huán)極限環(huán) u定義定義：非線性系統(tǒng)產(chǎn)生：非線性系統(tǒng)產(chǎn)生自激振蕩自激振蕩時(shí)，在相軌跡圖上表現(xiàn)為一時(shí)，在相軌跡圖上表現(xiàn)為一條條孤立的封閉曲線孤立的封閉曲線，稱(chēng)為稱(chēng)為極限環(huán)極限環(huán)。u特點(diǎn)特點(diǎn)：（1）極限環(huán)是最常見(jiàn)的一種奇線。極限環(huán)是最常見(jiàn)的一種奇

29、線。 （2）極限環(huán)附近的其它相軌跡都無(wú)限地趨向或者離開(kāi)它。極限環(huán)附近的其它相軌跡都無(wú)限地趨向或者離開(kāi)它。（3）極限環(huán)作為一條特殊的相軌跡，既不存在平衡點(diǎn)，也不極限環(huán)作為一條特殊的相軌跡，既不存在平衡點(diǎn)，也不趨向無(wú)窮遠(yuǎn)，而是一個(gè)趨向無(wú)窮遠(yuǎn)，而是一個(gè)無(wú)首無(wú)尾的封閉環(huán)圈無(wú)首無(wú)尾的封閉環(huán)圈。（4）極限環(huán)把相平面劃分為內(nèi)、外兩個(gè)相互獨(dú)立部分，任何極限環(huán)把相平面劃分為內(nèi)、外兩個(gè)相互獨(dú)立部分，任何一條相軌跡都不能從內(nèi)部平面穿過(guò)極限環(huán)進(jìn)入外部平面，一條相軌跡都不能從內(nèi)部平面穿過(guò)極限環(huán)進(jìn)入外部平面，也不能從外部平面穿過(guò)極限環(huán)進(jìn)入內(nèi)部平面。也不能從外部平面穿過(guò)極限環(huán)進(jìn)入內(nèi)部平面。 各各類(lèi)類(lèi)極極限限環(huán)環(huán)極限環(huán)極限環(huán)

30、 對(duì)應(yīng)二階非線性系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)二階非線性系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定的極限環(huán)穩(wěn)定的極限環(huán)不穩(wěn)定的極限環(huán)不穩(wěn)定的極限環(huán)半穩(wěn)定的極限環(huán)半穩(wěn)定的極限環(huán)u類(lèi)型及其特點(diǎn)類(lèi)型及其特點(diǎn) 根據(jù)極限環(huán)附近系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的根據(jù)極限環(huán)附近系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的可維持性可維持性將極限環(huán)分為穩(wěn)將極限環(huán)分為穩(wěn)定、不穩(wěn)定和半穩(wěn)定三種。定、不穩(wěn)定和半穩(wěn)定三種。(a) 穩(wěn)定穩(wěn)定(b) 不穩(wěn)定不穩(wěn)定(c) 半穩(wěn)定半穩(wěn)定(d) 半穩(wěn)定半穩(wěn)定內(nèi)、外的相內(nèi)、外的相軌跡都軌跡都趨于趨于極限環(huán)極限環(huán)內(nèi)、外的相內(nèi)、外的相軌跡都軌跡都卷離卷離極限環(huán)極限環(huán)內(nèi)部卷向內(nèi)部卷向極限環(huán)，極限環(huán)，外部卷離外部卷離內(nèi)部卷離內(nèi)部卷離極限環(huán)極限環(huán)外部卷向外部卷向產(chǎn)生產(chǎn)生自激自

31、激振蕩振蕩，應(yīng)應(yīng)設(shè)法減小設(shè)法減小內(nèi)部?jī)?nèi)部漸進(jìn)穩(wěn)定漸進(jìn)穩(wěn)定，外部外部不穩(wěn)定不穩(wěn)定，應(yīng)應(yīng)設(shè)法增大設(shè)法增大內(nèi)、外內(nèi)、外均不均不穩(wěn)定穩(wěn)定，應(yīng)設(shè)應(yīng)設(shè)法避免法避免。同不穩(wěn)定同不穩(wěn)定的極限環(huán)的極限環(huán) 總的來(lái)說(shuō)總的來(lái)說(shuō)，控制系統(tǒng)中，控制系統(tǒng)中不希望產(chǎn)生極限環(huán)不希望產(chǎn)生極限環(huán)，如不能做到完全消除或避免，如不能做到完全消除或避免，也應(yīng)設(shè)法將其限制在工程允許的范圍之內(nèi)。也應(yīng)設(shè)法將其限制在工程允許的范圍之內(nèi)。非線性部分非線性部分)I(1he )III(1he u比較點(diǎn)比較點(diǎn)ccre 例例6 6 系統(tǒng)如右，在系統(tǒng)如右，在 平面上分析系統(tǒng)的自由響應(yīng)運(yùn)動(dòng)。平面上分析系統(tǒng)的自由響應(yīng)運(yùn)動(dòng)。)(cc整理整理 ucc sssUsC

32、 21)()(線性部分線性部分解解ucc )II(hee 1hc )I(c hc )II(1 hc )III(例例7 7 系統(tǒng)方程為系統(tǒng)方程為 ，繪制相軌跡圖；，繪制相軌跡圖； 分析系統(tǒng)的自由響應(yīng)運(yùn)動(dòng)。分析系統(tǒng)的自由響應(yīng)運(yùn)動(dòng)。0sin xx xxdxdxtdxdxdxdtdxdxsin 解解 xdxd 令令xxsin1 值值角角 1 1 45121 6 .2620 0 21 6 .262 1 451 90041 14441 144 值值角角 1 1 45121 6.2620 0 21 6.262 1 451 90041 14441 144 sin0 xx 系統(tǒng)方程系統(tǒng)方程1sinxx 等傾斜線

33、等傾斜線8.4 8.4 描述函數(shù)法描述函數(shù)法 描述函數(shù)描述函數(shù)是非線性特性的一種線性近似方法。它是線性是非線性特性的一種線性近似方法。它是線性系統(tǒng)理論中的頻率特性法在一定假設(shè)條件下，在非線性系統(tǒng)中系統(tǒng)理論中的頻率特性法在一定假設(shè)條件下，在非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用。它主要用來(lái)分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，以及確定非線的應(yīng)用。它主要用來(lái)分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，以及確定非線性系統(tǒng)在正弦函數(shù)作用下的輸出響應(yīng)特性。應(yīng)用這種方法時(shí)非性系統(tǒng)在正弦函數(shù)作用下的輸出響應(yīng)特性。應(yīng)用這種方法時(shí)非線性系統(tǒng)的階數(shù)不受限制。線性系統(tǒng)的階數(shù)不受限制。描述函數(shù)的最基本思想描述函數(shù)的最基本思想是是用輸出信用輸出信號(hào)中的基波分量來(lái)代替非線性

34、元件在正弦輸入信號(hào)作用下的實(shí)號(hào)中的基波分量來(lái)代替非線性元件在正弦輸入信號(hào)作用下的實(shí)際輸出際輸出。 本節(jié)主要學(xué)習(xí)本節(jié)主要學(xué)習(xí)三個(gè)基本內(nèi)容三個(gè)基本內(nèi)容： 描述函數(shù)的描述函數(shù)的基本概念基本概念、典型非線性特性的描述函數(shù)典型非線性特性的描述函數(shù)、用描、用描述函數(shù)法述函數(shù)法分析在無(wú)外作用的情況下分析在無(wú)外作用的情況下，非線性系統(tǒng)的非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性穩(wěn)定性和和自自激振蕩激振蕩問(wèn)題。問(wèn)題。 圖圖8-36 非線性系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)非線性系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu) 描述函數(shù)的基本概念描述函數(shù)的基本概念 描述函數(shù)是對(duì)系統(tǒng)中的描述函數(shù)是對(duì)系統(tǒng)中的非線性元件非線性元件在在正弦信號(hào)作用下正弦信號(hào)作用下的的輸出輸出進(jìn)行進(jìn)行諧波線性化諧波

35、線性化處理后得到的，其表達(dá)形式類(lèi)似于線性處理后得到的，其表達(dá)形式類(lèi)似于線性系統(tǒng)中的系統(tǒng)中的幅相頻率特性幅相頻率特性。 非線性系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)如圖非線性系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)如圖8-36。其中：其中：G(s) 線性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)線性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù) N 非線性元件描述函數(shù)非線性元件描述函數(shù) 若在若在N(A)的輸入端加一正弦輸入信號(hào)的輸入端加一正弦輸入信號(hào) 時(shí)，時(shí)，其穩(wěn)態(tài)輸出其穩(wěn)態(tài)輸出 一般為含有高次諧波的周期函數(shù)，將其用一般為含有高次諧波的周期函數(shù)，將其用傅傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)為：為： 諧波線性化諧波線性化即：忽略高次諧波，即：忽略高次諧波，只考慮基波分量只考慮基波分量的線性化方法。的線性化方法。)sin

36、()sincos()(1010nnnnnntnYAtnBtnAAty 直流分量直流分量第第n次諧波分量次諧波分量式中，式中，An、Bn為為傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù)nnnnnnBABAYarctan22 )(tytAtxsin)( 因非線性特性大多為因非線性特性大多為奇對(duì)稱(chēng)奇對(duì)稱(chēng)，則直流分量，則直流分量A0=0；同時(shí)各諧波同時(shí)各諧波分量的幅值與基波相比都比較小；再考慮到實(shí)際系統(tǒng)的線性部分量的幅值與基波相比都比較小；再考慮到實(shí)際系統(tǒng)的線性部分一般都具有分一般都具有低通特性低通特性，因此，可以忽略其高次諧波分量，只，因此，可以忽略其高次諧波分量，只考慮基波分量，即考慮基波分量，即n=1n=1。則：。則：

37、 2020)2 , 1 , 0(,sin)(1,cos)(1nttdntyBttdntyAnn按照傅里葉分解法，其按照傅里葉分解法，其偶函數(shù)分量偶函數(shù)分量和和奇函數(shù)分量奇函數(shù)分量的系數(shù)分別為：的系數(shù)分別為： 200,)(1dttyA而直流分量：而直流分量：)sin(sincos)(1111 tYtBtAty22111111arctanAYABB， 201201),(sin)(1, )(cos)(1ttdtyBttdtyA其中：其中：y (x)= -y (-x) 可見(jiàn)：非線性環(huán)節(jié)在正弦輸入情況下，其輸出也可近似具可見(jiàn)：非線性環(huán)節(jié)在正弦輸入情況下，其輸出也可近似具有和線性環(huán)節(jié)相類(lèi)似的頻率響應(yīng)形式，

38、即是一個(gè)有和線性環(huán)節(jié)相類(lèi)似的頻率響應(yīng)形式，即是一個(gè)與輸入信號(hào)同與輸入信號(hào)同頻率的正弦信號(hào)頻率的正弦信號(hào)，只是幅值和相位發(fā)生了變化。由于只是，只是幅值和相位發(fā)生了變化。由于只是用一用一次基波代替了總的輸出次基波代替了總的輸出，因此，將這種近似處理方法稱(chēng)為，因此，將這種近似處理方法稱(chēng)為諧波諧波線性化線性化。 諧波線性化的條件諧波線性化的條件： 非線性系統(tǒng)應(yīng)能夠簡(jiǎn)化為圖非線性系統(tǒng)應(yīng)能夠簡(jiǎn)化為圖8.36所示的所示的典型結(jié)構(gòu)典型結(jié)構(gòu)。 非線性特性應(yīng)具有非線性特性應(yīng)具有奇對(duì)稱(chēng)性奇對(duì)稱(chēng)性，即：，即：f1(e)=-f1(-e) 保證非線性元件輸出的平均值即直流分量保證非線性元件輸出的平均值即直流分量A0=0。

39、 系統(tǒng)的線性部分應(yīng)具有較好的系統(tǒng)的線性部分應(yīng)具有較好的低通濾波特性低通濾波特性。 描述函數(shù)描述函數(shù)定義定義：在：在正弦信號(hào)作用下，正弦信號(hào)作用下，非線性環(huán)節(jié)非線性環(huán)節(jié)穩(wěn)態(tài)輸出的穩(wěn)態(tài)輸出的基波分量基波分量與輸入正弦量的與輸入正弦量的復(fù)數(shù)比復(fù)數(shù)比。用。用N(A)表示。表示。由上分析可知：由上分析可知：對(duì)于非線性元件，輸入對(duì)于非線性元件，輸入 時(shí)，時(shí)，諧波線性化后的輸出為：諧波線性化后的輸出為：1111( )cossinsin()y tAtBtYt則則描述函數(shù)描述函數(shù)為：為：AjABBAABAeAYeANANjANj111121211)(arctan)()(1tAtxsin)( 描述函數(shù)的描述函數(shù)的

40、求取求取：【例【例7.1】設(shè)繼電特性為】設(shè)繼電特性為 試計(jì)算該非線性特性的描述函數(shù)。試計(jì)算該非線性特性的描述函數(shù)。 00,)(，xMxMxy解：設(shè)解：設(shè)tAxsin 2,0,)(tMtMtyAMAjABANMttdtyBttdtyAtdtyA4)(4,sin)(10,cos)(1, 0)(2111201201200故：0, 011 A非線性環(huán)節(jié)為單非線性環(huán)節(jié)為單/ /非單非單值函數(shù)值函數(shù)時(shí)時(shí), ,N(A)是實(shí)是實(shí)/ /復(fù)復(fù)數(shù)數(shù), ,虛部為虛部為/ /不為不為0 -因非線性元件一般為非儲(chǔ)能元件因非線性元件一般為非儲(chǔ)能元件復(fù)變?cè)鲆娣糯笃鲝?fù)變?cè)鲆娣糯笃鳌?. 典型非線性特性的描述函數(shù)典型非線性特性的

41、描述函數(shù) （1）理想）理想繼電特性繼電特性的描述函數(shù)的描述函數(shù)理想繼電特性在正弦輸入信號(hào)作用下的波形如圖所示。理想繼電特性在正弦輸入信號(hào)作用下的波形如圖所示。 圖圖 理想繼電特性正弦輸入作用下的輸出波形理想繼電特性正弦輸入作用下的輸出波形t 由于由于y (t)是周期為是周期為2的單值方波函數(shù)，且關(guān)于的單值方波函數(shù)，且關(guān)于點(diǎn)齊對(duì)點(diǎn)齊對(duì)稱(chēng)，所以稱(chēng)，所以A0=A1=0， 。01 的函數(shù)。幅值，幅值是輸入正弦信號(hào)的相位角為即述函數(shù)為：故，理想繼電特性的描所以，基波分量為：為：而基波奇函數(shù)分量系數(shù)AANAMeAYANtMtyMttdMttdtyBj0)(4)(sin4)(4)(sin2)(sin)(11

42、10201圖圖 死區(qū)特性正弦輸入作用下的輸出波形死區(qū)特性正弦輸入作用下的輸出波形 X由于死區(qū)特性仍為由于死區(qū)特性仍為單值奇函數(shù)單值奇函數(shù)，故只需要求解，故只需要求解B B1 1。XX arcsinsin11其中：其中：故，死區(qū)特性的描述函數(shù)為：故，死區(qū)特性的描述函數(shù)為： 212()arcsin1() 2BKN XXXXXX121020/221( )sind1 (sin)sind4(sin)sind2arcsin1() 2By tttK XtttK XtttKXXXXX 1a-aX圖圖 飽和特性正弦輸入作用下的輸出波形飽和特性正弦輸入作用下的輸出波形11sin 0( ) /2KXtty tKat

43、 因因y (t)為為平頂對(duì)稱(chēng)波形平頂對(duì)稱(chēng)波形，故只需計(jì)算，故只需計(jì)算(0,)區(qū)間內(nèi)的積分，區(qū)間內(nèi)的積分，此時(shí)：此時(shí)：1sinXa1arcsinaX其中：其中：同理可求出：同理可求出：1111/ 2210/ 2024sindsind411sin 2( cos)242arcsin1() BKXttKattKXatttXKXaaaXaXXX212()arcsin1BKaaaN XXaXXXX 故，飽和特性的描述函數(shù)為：故，飽和特性的描述函數(shù)為：圖圖 間隙特性正弦輸入作用下的輸出波形間隙特性正弦輸入作用下的輸出波形 間隙特性是間隙特性是多值函數(shù)多值函數(shù)，A1、B1均不為均不為0，描述函數(shù)為輸入信，描述

44、函數(shù)為輸入信號(hào)振幅號(hào)振幅X的復(fù)函數(shù)。的復(fù)函數(shù)。 y (t)為有為有時(shí)間滯后且削頂時(shí)間滯后且削頂?shù)恼也ǎ淝鞍胫芷谂c后半周期的正弦波，其前半周期與后半周期波形相同，符號(hào)相反。故計(jì)算波形相同，符號(hào)相反。故計(jì)算A1、B1時(shí)可只半波積分。時(shí)可只半波積分。 由此求得間隙特性的描述函數(shù)為：由此求得間隙特性的描述函數(shù)為： 11j()224 arcsin 12 11j12BAN XXXKbbbbKbb XbXXXXXX 描述函數(shù)為描述函數(shù)為復(fù)函數(shù)復(fù)函數(shù)，說(shuō)明輸出對(duì)輸入有相位差，即輸出，說(shuō)明輸出對(duì)輸入有相位差，即輸出滯后于輸入。滯后于輸入。 同理可求出其它非線性特性的描述函數(shù)，如具有死區(qū)同理可求出其它非線性特

45、性的描述函數(shù)，如具有死區(qū)和滯環(huán)的繼電特性、組合（串聯(lián)元件）非線性特性等。見(jiàn)和滯環(huán)的繼電特性、組合（串聯(lián)元件）非線性特性等。見(jiàn)P413表表8-1所示。所示。3. 非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)分析非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)分析 分析的分析的條件條件： 假定非線性系統(tǒng)具有圖假定非線性系統(tǒng)具有圖8.36所示的典型結(jié)構(gòu)，并且系統(tǒng)所示的典型結(jié)構(gòu)，并且系統(tǒng)的線性部分是穩(wěn)定的，即其極點(diǎn)全部位于復(fù)平面的左半部。的線性部分是穩(wěn)定的，即其極點(diǎn)全部位于復(fù)平面的左半部。 分析的分析的內(nèi)容內(nèi)容： 非線性系統(tǒng)的非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性穩(wěn)定性； 自激振蕩及其自激振蕩及其穩(wěn)定性穩(wěn)定性，振幅和頻率的計(jì)算振幅和頻率的計(jì)算。分析的分析的依據(jù)依據(jù)： 線性

46、系統(tǒng)中的線性系統(tǒng)中的奈氏穩(wěn)定判據(jù)奈氏穩(wěn)定判據(jù)。 分析的分析的思路思路： 在復(fù)平面做出線性部分的在復(fù)平面做出線性部分的奈奈氏圖氏圖G(j)，和非線性部分，和非線性部分N(A)的的負(fù)倒特性圖負(fù)倒特性圖，根據(jù)，根據(jù)兩者的關(guān)系兩者的關(guān)系，引入奈氏判據(jù)，就可，引入奈氏判據(jù)，就可進(jìn)行非線性系統(tǒng)的分析。進(jìn)行非線性系統(tǒng)的分析。 將系統(tǒng)中的非線性元件看作是具有復(fù)增益將系統(tǒng)中的非線性元件看作是具有復(fù)增益N(A)的放大器后，的放大器后，整個(gè)系統(tǒng)就可以等效為一個(gè)整個(gè)系統(tǒng)就可以等效為一個(gè)變?cè)鲆娴木€性系統(tǒng)變?cè)鲆娴木€性系統(tǒng)，并可用，并可用奈奈氏判氏判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。 由上分析可知，由上分析可知，N(A)

47、只是輸入信號(hào)幅值只是輸入信號(hào)幅值A(chǔ)的函數(shù)，則：的函數(shù)，則： 可見(jiàn)，非線性元件可以看作是具有可見(jiàn)，非線性元件可以看作是具有復(fù)數(shù)增益復(fù)數(shù)增益N(A)的放大器，的放大器，即元件的描述函數(shù)，就是元件的即元件的描述函數(shù)，就是元件的等效復(fù)增益等效復(fù)增益。)()()()(1txANtytyN(A)x(t)y(t) 非線性系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)非線性系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)G(j)()(1)()()()()(jGANjGANjRjCj 如右圖系統(tǒng)如右圖系統(tǒng)閉環(huán)頻閉環(huán)頻率特性率特性為：為：對(duì)應(yīng)閉環(huán)特征方程為：對(duì)應(yīng)閉環(huán)特征方程為：0)()(1jGAN)(1)(ANjG 定義：定義： 稱(chēng)為描述函數(shù)的稱(chēng)為描述函數(shù)的負(fù)倒特性負(fù)倒特性。)

48、(1AN 對(duì)比線性系統(tǒng)中的奈氏判據(jù)，當(dāng)對(duì)比線性系統(tǒng)中的奈氏判據(jù)，當(dāng)G(j)= -1時(shí)，系統(tǒng)是臨時(shí)，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的，即系統(tǒng)處于等幅振蕩狀態(tài)。顯然界穩(wěn)定的，即系統(tǒng)處于等幅振蕩狀態(tài)。顯然-1/N(A)相當(dāng)于線相當(dāng)于線性系統(tǒng)中的（性系統(tǒng)中的（-1,j0）點(diǎn)）點(diǎn)。可見(jiàn)，線性系統(tǒng)的臨界狀態(tài)是奈氏曲。可見(jiàn)，線性系統(tǒng)的臨界狀態(tài)是奈氏曲線過(guò)點(diǎn)（線過(guò)點(diǎn)（-1,j0），而），而非線性系統(tǒng)的臨界狀態(tài)是奈氏曲線與負(fù)倒非線性系統(tǒng)的臨界狀態(tài)是奈氏曲線與負(fù)倒特性曲線特性曲線-1/N(A)曲線相交曲線相交。)(1)(ANjG可見(jiàn)可見(jiàn)： 只要在復(fù)平面上只要在復(fù)平面上同時(shí)會(huì)出線性部分的奈氏曲線和非線性部同時(shí)會(huì)出線性部分的奈氏曲線

49、和非線性部分的負(fù)倒特性曲線分的負(fù)倒特性曲線，便可以利用奈氏判據(jù)來(lái)判斷非線性系統(tǒng)的，便可以利用奈氏判據(jù)來(lái)判斷非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。穩(wěn)定性。 方法如下：方法如下： 若若G (j)曲線曲線不包圍不包圍-1/N(A)曲線，非線性系統(tǒng)曲線，非線性系統(tǒng)穩(wěn)定。穩(wěn)定。 （如圖（如圖a a），而且兩者距離越遠(yuǎn)，穩(wěn)定性越好。），而且兩者距離越遠(yuǎn)，穩(wěn)定性越好。 若若G (j)曲線曲線包圍包圍-1/N(A)曲線，非線性系統(tǒng)曲線，非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定。不穩(wěn)定。 （如圖（如圖b b）。）。 若若G (j)曲線與曲線與- -1/N(A)曲線曲線相交相交，理論上將，理論上將產(chǎn)生等幅振蕩的產(chǎn)生等幅振蕩的周期運(yùn)動(dòng)。周期運(yùn)動(dòng)。（如圖（如

50、圖c c，有兩個(gè)周期運(yùn)動(dòng)點(diǎn)，有兩個(gè)周期運(yùn)動(dòng)點(diǎn)A和和B）。）。 (a) 穩(wěn)定穩(wěn)定(a) 不穩(wěn)定不穩(wěn)定(a) 自激振蕩自激振蕩圖圖 非線性系統(tǒng)的奈氏圖與負(fù)倒特性的關(guān)系非線性系統(tǒng)的奈氏圖與負(fù)倒特性的關(guān)系（3）自振蕩自振蕩的分析與計(jì)算的分析與計(jì)算 由上分析可知，若由上分析可知，若G (j)曲線與曲線與-1/N(A)曲線曲線相交相交，非線，非線性系統(tǒng)將產(chǎn)生自振蕩，此時(shí)對(duì)輸入信號(hào)至少存在一組（性系統(tǒng)將產(chǎn)生自振蕩，此時(shí)對(duì)輸入信號(hào)至少存在一組（A,）參數(shù)滿足這一條件。參數(shù)滿足這一條件。 一般來(lái)說(shuō)，控制系統(tǒng)不希望有自振蕩現(xiàn)象產(chǎn)生，為此應(yīng)一般來(lái)說(shuō)，控制系統(tǒng)不希望有自振蕩現(xiàn)象產(chǎn)生，為此應(yīng)分析自振蕩產(chǎn)生的條件，為系統(tǒng)

51、參數(shù)的調(diào)整和校正裝置的設(shè)分析自振蕩產(chǎn)生的條件，為系統(tǒng)參數(shù)的調(diào)整和校正裝置的設(shè)計(jì)提供依據(jù)。計(jì)提供依據(jù)。l 穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性分析小擾動(dòng)小擾動(dòng)法法 在自振蕩點(diǎn)，當(dāng)系統(tǒng)受到小擾動(dòng)后，若最后能回到該點(diǎn)，在自振蕩點(diǎn)，當(dāng)系統(tǒng)受到小擾動(dòng)后，若最后能回到該點(diǎn)，則自振蕩是穩(wěn)定的，否則不穩(wěn)定。則自振蕩是穩(wěn)定的，否則不穩(wěn)定。 如圖，系統(tǒng)有如圖，系統(tǒng)有A、B兩個(gè)自振蕩點(diǎn)，由兩個(gè)自振蕩點(diǎn)，由奈氏判據(jù)奈氏判據(jù)知，奈知，奈氏圖以外（左側(cè)）為穩(wěn)定區(qū)，里側(cè)（右側(cè)）為不穩(wěn)定區(qū)。氏圖以外（左側(cè)）為穩(wěn)定區(qū)，里側(cè)（右側(cè)）為不穩(wěn)定區(qū)。 經(jīng)小擾動(dòng)法分析，經(jīng)小擾動(dòng)法分析，A點(diǎn)自振蕩不穩(wěn)定，點(diǎn)自振蕩不穩(wěn)定，B點(diǎn)點(diǎn)穩(wěn)定穩(wěn)定。（0AXA 或或XB

52、A ）系統(tǒng)穩(wěn)定的范圍是：系統(tǒng)穩(wěn)定的范圍是：圖圖 非線性系統(tǒng)自振蕩的穩(wěn)定性非線性系統(tǒng)自振蕩的穩(wěn)定性X不穩(wěn)定區(qū)不穩(wěn)定區(qū)振蕩發(fā)散振蕩發(fā)散穩(wěn)穩(wěn)定定區(qū)區(qū)自振蕩穩(wěn)定性的自振蕩穩(wěn)定性的簡(jiǎn)易判斷方法簡(jiǎn)易判斷方法 在自振蕩點(diǎn)附近，沿在自振蕩點(diǎn)附近，沿A方向方向-1/N(A)曲線由不穩(wěn)定區(qū)進(jìn)入曲線由不穩(wěn)定區(qū)進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)時(shí)，該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的周期運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的，穩(wěn)定區(qū)時(shí)，該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的周期運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的，如上圖中如上圖中B點(diǎn)；點(diǎn)；否否則為不穩(wěn)定的自振蕩點(diǎn)則為不穩(wěn)定的自振蕩點(diǎn)，如上圖中的，如上圖中的A點(diǎn)。點(diǎn)。 若交點(diǎn)處兩條曲線若交點(diǎn)處兩條曲線幾乎垂直相交幾乎垂直相交，且非線性環(huán)節(jié)輸出的高，且非線性環(huán)節(jié)輸出的高次諧波分量被線性部分充分衰

53、減，則分析結(jié)果是準(zhǔn)確的。若兩次諧波分量被線性部分充分衰減，則分析結(jié)果是準(zhǔn)確的。若兩曲線在交點(diǎn)處曲線在交點(diǎn)處幾乎相切幾乎相切，則在一些情況下，則在一些情況下( (取決于高次諧波的取決于高次諧波的衰減程度衰減程度) )不存在自振蕩。不存在自振蕩。 l 自振蕩自振蕩振幅和頻率的計(jì)算振幅和頻率的計(jì)算 )(1)(ANjG自振自振蕩點(diǎn)蕩點(diǎn)穩(wěn)定點(diǎn)的穩(wěn)定點(diǎn)的輸出響應(yīng)輸出響應(yīng)判斷判斷穩(wěn)定性穩(wěn)定性A、4 4 自振分析自振分析 ( (定量定量) )自振必要條件：自振必要條件：例例1 1 分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性(M=1)，求自振參數(shù)。，求自振參數(shù)。解解 作圖分析，作圖分析，系統(tǒng)一定自振。系統(tǒng)一定自振。1)(

54、)( jGAN由自振條件：由自振條件：1)2)(1(104 jjjA)2(3)2)(1(4022 jjjjA2340 A122. 2640 A得：得：比較實(shí)比較實(shí)/ /虛部虛部：0)2(2 2 1)()( jGAN分析：可以調(diào)節(jié)分析：可以調(diào)節(jié)K, t t 實(shí)現(xiàn)要求的自振運(yùn)動(dòng)。實(shí)現(xiàn)要求的自振運(yùn)動(dòng)。1)()( jGAN1)2)(1(4 ttjjjKeAMj)2(3422 t t jAMKej)32arctan(54242 141 AM 322. 031arctan93. 910t t K解解代入代入比較模和相角得比較模和相角得例例2 2 系統(tǒng)如右，欲產(chǎn)生系統(tǒng)如右，欲產(chǎn)生 的周期信號(hào)的周期信號(hào), ,

55、 試確定試確定K、t t 的值的值。 41A 例例3 3 非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如右圖所示，非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如右圖所示， 已知：已知：自振時(shí)自振時(shí), ,調(diào)整調(diào)整K使使 。 求此時(shí)的求此時(shí)的K值和自振參數(shù)值和自振參數(shù)(A, )以及輸出振幅以及輸出振幅Ac。(1)(1)(2)(2)定性分析定性分析K增大后自振參數(shù)增大后自振參數(shù)(A, )的變化規(guī)律。的變化規(guī)律。 ) 1(818)(1, 2222AAjAAANhM 135)1(2)(ssKsG jAAAN 18)(22 jAAN 18)(12 881112)1(2)(2 jjKjjKjG 解解(1)(1)(2) (2) 依圖分析：依圖分析： ,AK2 A 6 . 3283927. 081 cAK88 j 例例4 4 非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如右圖所示，非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如右圖所示， 已知：已知： 時(shí)，系統(tǒng)是否自振？時(shí)，系統(tǒng)是否自振？ 確定使系統(tǒng)自振的確定使系統(tǒng)自振的K值范圍；求值范圍；求K=2時(shí)的自振參時(shí)的自振參數(shù)。數(shù)。(1)(1) (2) (2) G3(s)=s 時(shí)，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。時(shí)，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 )(14)()(,) 1(1)(221hAAhAMANsKsGsssG 1)(3 sG解解 先將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖化為典型結(jié)構(gòu)先將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖化為典型結(jié)構(gòu)解法解法II 特征方程法特征方程法 3