1、1 1-3 充分條件與必要條件 基礎(chǔ)鞏固強(qiáng)化 1. (文)(2011 湖南高考)設(shè)集合 M= 1,2 , Na2，則“ a= 1” 是“ N? M” 的( ) A. 充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件 答案A 解析顯然a= 1 時(shí)一定有N? M反之則不一定成立，如 a=- 1.故是充分不必要條 件. 點(diǎn)評(píng) 若N? M則應(yīng)有a2= 1 或a2= 2,.a 1,1 , 2,- 2，由于匚 I - 1,1 , ,2, - 2 ,應(yīng)選 A. (理)(2011 太原模考)“ a 3 ”是 “Sin a 豐sin B ” 的( ) A. 充分而不必要條件 B.必

2、要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 答案B 解析 命題“若a工3，貝U sin a工 sin 3 ”等價(jià)于命題“若 sin a = sin 3 ,則a = 3 ”，這個(gè)命題顯然不正確，故條件是不充分的；命題“若 sin a工 sin 3 ,則a工3 ”等 價(jià)于命題“若 a = 3，則 sin a = sin 3 ”，這個(gè)命題是真命題，故條件是必要的.故選 B. 2 2. (文)(2011 遼寧六校模考)“ x2”是“ x - 3x + 20”成立的( ) A. 充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 答案A 2 2 2 解析 因?yàn)?x -

3、 3x + 20? x2 或 x2? x - 3x+ 20;但 x - 3x+ 20? / x2，故“ x2”是“ x2- 3x + 20”的充分不必要條件，選 A. (理)(2011 山西六校聯(lián)考)“ a= 1”是“函數(shù)f(x)= lg( ax)在(0,+s)上單調(diào)遞增” 的() A.充分不必要條件 B.充分必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件 答案A 解析T當(dāng) a= 1 時(shí)，f (x) = lg x 在(0,+s)上單調(diào)遞增， a= 1? f(x) = lg( ax)在 (0,+)上單調(diào)遞增，而由f (x) = lg( ax)在(0 ,+s)上單調(diào)遞增可得 a0,“ a=

4、 1”是 “函數(shù)f (x) = lg( ax)在(0 ,+)2 上單調(diào)遞增”的充分不必要條件，故選 A. 3. 下列命題中的假命題是 ( ) 1 A. ? x0 且 x 豐 1,都有 x+ 一2 x B. ? a R,直線ax + y= a恒過(guò)定點(diǎn)(1,0) C. ? m R,使 f (x) = (m-1) xmk4rr 3 是幕函數(shù) D. ? $ R,函數(shù)f (x) = sin(2 x + $ )都不是偶函數(shù) 答案 D 解析 1 “ -x + 2等號(hào)在x- 1 時(shí)成立， A 真；將x- 1, y x 0 代入直線方程 ax+ y =a中成立， B 真；令 m- 1 1 得 m= 2,此時(shí)f

5、（x） x1是幕函數(shù)， 故 C 真；當(dāng) 1 $ - =;時(shí), f(x) = sin j2x+2 = cos2x 為偶函數(shù)，故 D 假. 1 4. （2012 浙江調(diào)研）在厶 ABC中，“ A= 60 ”是“ cos A=-”的（ ） A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 答案C 1 1 解析 在 ABC中若A= 60,則 cosA=可；反過(guò)來(lái)，若 cosA=，因?yàn)?0 A180 , 1 所以A= 60 .因此，在 ABC中，“ A= 60”是“ cos A= 的充要條件，選 C. 5. （2012 北京西城區(qū)期末）“直線I的方程為x y = 0

6、”是“直線l平分圓x2 + y2= 1 的周長(zhǎng)”的（ ） A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分又不必要條件 答案A 解析若直線I的方程為x y= 0,則直線I 一定平分圓x2 + y2 = 1 的周長(zhǎng)；但要平 分圓x2 + y2 = 1 的周長(zhǎng)，只需要經(jīng)過(guò)圓心（原點(diǎn)）任意作一條直線即可，即“直線 I的方程為 x y = 0”是“直線I平分圓x2 + y2= 1 的周長(zhǎng)”的充分而不必要條件故選 A. 6. （文）（2011 杭州二檢）3 已知a、3表示兩個(gè)不同的平面， m是一條直線且 n? a , 則“ a丄3 ”是“ n3”的（ ） A.充分而不必要條

7、件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 答案B ml 3 解析 ? a丄3 ;但a丄3時(shí)，設(shè)aA3= I，當(dāng)m/ I時(shí)，m與3不垂 n? a 直，故選 B. （理）（2011 浙江五校聯(lián)考）已知不重合的直線 a、b和不重合的平面 a、 3 , a丄a, b 丄則“ a丄b”是“ a丄3 ”的（ ） A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 答案C a b, 解析/ a /3或 a? 3,： a 丄a,. a丄3 ;反之，由 a丄3也可 p丄3 . 以推出a丄b,故選 C. 7. 有下列命題： 設(shè)集合 M= x|0 x w 3, N

8、= x|00” 的否定綈 P: “ ? x R, x2 x 1w0” 其中真命題的序號(hào)是 _ . 答案 解析 N M - a M是a N 的必要不充分條件，為假命題；逆否命題是將原 命題的條件和結(jié)論都否定后分別作為新命題的結(jié)論與條件， a M否定后a?M為結(jié)論，b?M 否定后b M為條件，故為真命題；pA q為假命題時(shí)，p、q至少有一個(gè)為假命題，不一定 “p、q都是假命題”，故為假命題；特稱(chēng)命題的否定為全稱(chēng)命題， 的否定為w,故為 真命題. 1 3 & a= 3 是函數(shù)f （x） = ax + 4x + 1 在（g, 2上單調(diào)遞減的 _條件.（填充 分不必要、必要不充分、充要或既不充分

9、也不必要 ） 1 aw 3.故填充分不必要. 4 答案充分不必要 1 2 解析a= 3 時(shí)，若 x 2,貝U f （x） = x2+ 4w0,. f（x）在（一g, 2上單 3 調(diào)遞減. 若f （x）在（g, 2上單調(diào)遞減， 2 2 4 _ T f （x） = 3ax + 4,. 3ax + 4w0,在（g, 2上恒成立，即 a 石一2恒成立，二 3x 2 2 9. _ (2012 浙江紹興模擬)“3a0， 應(yīng)有1 a0, a+ 3 工 1 a, 解得3a1 且 a 1, 故“3a1 ”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件. 10. (文)已知 p： | x 3| 2, q： (x n十 1)(

10、 x m 1) 0,若綈 p是綈q的充分而不 必要條件，求實(shí)數(shù) m的取值范圍. 解析 由題意 p: 2 x 3 2,.1W x 5. 綈 p： x5. q： n1 x n十 1, 綈 q： xir 十 1. 又綈p是綈q的充分不必要條件， n 11, i 且等號(hào)不同時(shí)取得. m十 K 5. 20,則f(a)十f(b) f ( a)十 f ( b).” (1) 寫(xiě)出其逆命題，判斷其真假，并證明你的結(jié)論； (2) 寫(xiě)出其逆否命題，判斷其真假，并證明你的結(jié)論. 解析(1)逆命題是：若f (a)十f(b) f ( a)十f( b)，則a+ b 0,真命題. 用反證法證明： 設(shè) a + b0,貝V a

11、b, b a, 5 / f(x)是 R 上的增函數(shù)， f(a)f( b), f(b)f( a), f (a)十f (b) f ( a)十f ( b)，這與題設(shè)矛盾，所以逆命題為真. (2)逆否命題：若f (a)十f ( b)f ( a)十f ( b)，則a+ b2 2 2 C. x + y 2 D. xy1 答案B 解析命題x、y中至少有一個(gè)數(shù)大于 1”等價(jià)于x1 或y1” .若x+ y2,必有 x1 或y1，否則x + yw2;而當(dāng)x= 2, y =- 1 時(shí)，2 1 = 11 或y1 不能推出x + y2.對(duì)于x+ y = 2,當(dāng)x = 1,且y= 1 時(shí)，滿足x+ y = 2,不能推出

12、x1 或y1.對(duì)于x + 2 2 2 y 2,當(dāng) x 1, y2,不能推出 x1 或 y1.對(duì)于 xy1，當(dāng) x 1, y1，不能推出x1 或y1.故選 B. 12. (2012 衡陽(yáng)六校聯(lián)考)已知a、b為非零向量，則“函數(shù)f(x) = (ax+ b)2為偶函數(shù)” 是“ a丄b”的( ) A. 充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件 答案C 解析 依題意得f (x) = a2x2+ 2( a b)x + b2.由函數(shù)f (x)是偶函數(shù)，得a b= 0,又a、 b為非零向量，所以a丄b;反過(guò)來(lái)，由a丄b得，a b= 0, f (x) = a2x2 + b2,所

13、以函數(shù)f (x) 是偶函數(shù).綜上所述，“函數(shù) f(x) = (ax+ b)2為偶函數(shù)”是“ a丄b”的充要條件，選 C. 13. (文)(2011 海南五校聯(lián)考)下列說(shuō)法錯(cuò)誤 的是( ) 1 A. “ sin 0 = 2”是“ 0 = 30 ”的充分不必要條件 B. 命題“若a= 0,貝U ab= 0”的否命題是：6 “若 a0,貝U ab0” C. 若命題 p: ? x R, x2x + 10 D. 如果命題“綈p”與命題“ p或q”都是真命題，那么命題 q 定是真命題 答案A 1 1 解析 I sin 0 = 2? 0 = k 360 + 30 反之當(dāng) 0 = 30。時(shí),sin 0 = ?

14、,“sin 0 1 一 =2”是“ 0 = 30 ”的必要不充分條件.故選 A. log 2x x*1 , (理)(2011 成都二診)已知函數(shù) f(x) = * “ 則“ c = 1”是“函數(shù) x+ c x J * f(x)在 R 上遞增”的( ) A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件 7 D. 既不充分也不必要條件 log 次 x$1 , 解析當(dāng)c=- 1 時(shí)，函數(shù)f(x)= n0”是“方程 mx+ ny2= 1 表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的充要條件. 對(duì)于數(shù)列an，“ an+1|即,n= 1,2，”是an為遞增數(shù)列的充分不必要條件. 已知a、b為平面上兩個(gè)不共線的向量， p： | a+

15、 2b| = | a 2b| ； q： a丄b，貝 U p是q 的必要不充分條件. 2 2 “mn”是“(功弋動(dòng)”的充分不必要條件. 其中真命題的序號(hào)是 _ 答案 解析 1 1 x2 y2 .nn0,. 0| an| 0，二an+1an，. an為遞增數(shù)列；當(dāng)取 a= n 4 時(shí)，則 an為遞增數(shù)列，但 an+1| an|不一定成立，如a2| a1|就不成立.二是真命題； _ 2 2 由于 | a+ 2b| = | a 2b| ? (a+ 2b) = (a 2b) ? a b= 0? a丄b，因此 p 是 q 的充要 條件，是假命題； y= |2 x是減函數(shù)，.當(dāng)mn時(shí)，氏n，因此 3) 3f

16、 詢(xún)丿 3 3) C.充要條件 答案A |4x+ 3y12 0, (理)(2011 濟(jì)南三模)設(shè)p： S 3 x0, + 3y w 12, 2 2 2 q： x + y r (x, y R, r 0)，右 p是q的充分不必要條件，則 r的取值范圍是 _ 答 12 (0, 7) 8 4x+ 3y -12,0 2 2 2 解析 設(shè) A=( x, y)| $3 x,0 , B= ( x, y)| x + y r , x, y R, r0, x + 3y 12 貝燦合A表示的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分， 集合B表示以原點(diǎn)為圓心，以r為半徑的圓的外 部，設(shè)原點(diǎn)到直線 4x + 3y- 12= 0 的距離為d,貝

17、 U |4 X 0+ 3X 0- 12| 12 d= =, 5 5 ? _ _ , _ _ 2 2 2 _ _ , 15. 已知兩個(gè)關(guān)于 x的一元二次方程 mx 4x + 4 = 0 和x - 4mx+ 4m 4m 5 = 0,求兩 方程的根都是整數(shù)的充要條件. 解析T mx - 4x + 4 = 0 是一元二次方程， 0. 又另一方程為x2-4mx+ 4m- 4m- 5= 0，且兩方程都要有實(shí)根， 花1 =記l-m沁 A2 = 16 用一 4 4HI- 4m- 5 0, 兩方程的根都是整數(shù)，故其根的和與積也為整數(shù), 4m Z, 4H2-4m- 5 乙 5 5 又 mE - 4, 1, m=-

18、 1 或 1. 當(dāng)m=- 1 時(shí)，第一個(gè)方程x2+ 4x-4= 0的根不是整數(shù); 而當(dāng)m= 1 時(shí)，兩方程的根均為整數(shù)， m為4的約數(shù). 兩方程的根均為整數(shù)的充要條件是 m= 1. p 是 q 的充分不必要條件, A B,則 0睪 5 5 解得 m -4, 1. 9 備選題庫(kù) 1. (2012 重慶)已知f(x)是定義在R 上的偶函數(shù)，且以 2 為周期，則“ f(x)為0,1 上的增函數(shù)”是“ f(x)為3,4上的減函數(shù)”的( ) A. 既不充分也不必要的條件 B. 充分而不必要的條件 C. 必要而不充分的條件 D. 充要條件 答案D 解析 f (x)是定義在 R 上的偶函數(shù),且f (x)在0

19、,1上為增函數(shù), f (x)在-1,0 上為減函數(shù)，.當(dāng) 3WxW4時(shí)，一 K x-4W0, 當(dāng)x 3,4時(shí)，f (x)是減函數(shù)，反之也成立，故選 D. 點(diǎn)評(píng)本題運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法更容易求解. 2. (2012 浙江省溫州八校聯(lián)考 )已知f(x) = 2x+ 3( x R), 若 | f(x) - 1| a的必要條件 是| x + 1|0)，貝U a、b之間的關(guān)系是( ) a a A. bB. b2 - b b C. a2 答案A 解析由| f (x) - 1| =|2x+ 2| = 2|x + 1|a得, a a | x + 1|0 是S的( ) A. 充分但不必要條件 B. 必要但不充分條

20、件11 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 答案A 故選 A. 5. 若集合 A=i , mi , B=2,4，則“ m2” 是“ An B=4 ”的（ ） A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 答案A 解析由“ m 2”可知A= 1,4 , B= 2,4，所以可以推得 An B= 4,反之，如果 “An B= 4 ”可以推得 m = 4,解得 m= 2 或2，不能推得 m= 2,所以“ m= 2”是“ An B = 4 ”的充分不必要條件. 6. 已知命題p： |x + 2|1，命題q： x3 B. aw 3 C. a3 答案B 解析命題p： x 1, 則綈 p： 3 xa, 由題意有綈p?綈q,綈q? /綈p,貝U aw 3. 7.