1、數(shù)學(xué)建模論文 論文題目：根據(jù)測(cè)量的長(zhǎng)度估計(jì)鱸魚(yú)的重量姓名1：張惠玲 學(xué)號(hào)：11073139 專(zhuān)業(yè)：信息與計(jì)算科學(xué)（周四晚）姓名2：牟智偉 學(xué)號(hào)：11154126 專(zhuān)業(yè)：計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)（周四晚）姓名3：魯鵬 學(xué)號(hào)：11063219 專(zhuān)業(yè)：電氣工程與自動(dòng)化（周三晚）2013年3月24日摘要鱸魚(yú)的重量作為一個(gè)簡(jiǎn)單的變量，在本問(wèn)題中是由兩個(gè)變量（身長(zhǎng)和胸圍）所決定，這種由多個(gè)變量影響一個(gè)變量的問(wèn)題，在數(shù)學(xué)中我們可以通過(guò)回歸分析方法建立數(shù)學(xué)模型。問(wèn)題一：分別討論身長(zhǎng)和胸圍對(duì)鱸魚(yú)重量的影響，即一元回歸分析方法。計(jì)算出回歸系數(shù)，了解兩者之間關(guān)系的正確度。并繪制圖線(xiàn)，計(jì)算出回歸方程中的系數(shù)，得出兩者的函數(shù)關(guān)

2、系。問(wèn)題二：多元回歸分析的方法分析多個(gè)變量對(duì)鱸魚(yú)重量的影響，采用一般多元回歸分析的方法，繪制曲線(xiàn)并求出函數(shù)關(guān)系表達(dá)式。關(guān)鍵字：回歸分析 多元回歸 一、問(wèn)題重述1.1問(wèn)題（鱸魚(yú)的重量）一垂釣俱樂(lè)部鼓勵(lì)垂釣者將釣上的魚(yú)放生，打算按照放生的魚(yú)的重量給予獎(jiǎng)勵(lì)，俱樂(lè)部只準(zhǔn)備了一把軟尺用與測(cè)量，請(qǐng)你設(shè)計(jì)按照測(cè)量的長(zhǎng)度估計(jì)魚(yú)的重量的方法。假設(shè)魚(yú)池中只有一種鱸魚(yú)，并且得到了8條魚(yú)的如下數(shù)據(jù)（胸圍指魚(yú)身的最大周長(zhǎng)）：身長(zhǎng)(cm) 36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1重量(cm) 765 482 1162 737 482 1389 652 454胸圍(cm) 24.8 2

3、1.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6先用機(jī)理分析建立模型，再用數(shù)據(jù)確定參數(shù)。1.2問(wèn)題分析這是一個(gè)解決變量之間關(guān)系的問(wèn)題，是一個(gè)用回歸分析方法解決的問(wèn)題。題中的自變量由兩個(gè)：身長(zhǎng)和胸圍；因變量是鱸魚(yú)的體重。題目要求按照測(cè)量長(zhǎng)度估計(jì)魚(yú)的重量，用逐步回歸法。回歸分析是研究因變量（Y）和自變量（X）之間的數(shù)量變化規(guī)律，并通過(guò)一定的數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)描述這種關(guān)系，進(jìn)而確定一個(gè)或幾個(gè)自變量的變化對(duì)因變量的影響程度，即用一種確定的函數(shù)關(guān)系去近似代替比較復(fù)雜的相關(guān)關(guān)系。二、模型假設(shè)1.鱸魚(yú)的重量只受身長(zhǎng)和胸圍的影響，忽略其他條件的影響；2.在做一元回歸分析的時(shí)候，先假設(shè)此回歸是線(xiàn)性的

4、，有公式Y(jié)=AX+B，算出回歸系數(shù)R，如若R接近1（R（0.95，1），則回歸為線(xiàn)性，否則為非線(xiàn)性，再重新討論此兩者之間的關(guān)系；3.假設(shè)軟尺的測(cè)量沒(méi)有誤差；4.假設(shè)池塘只有一種鱸魚(yú)，不存在種群競(jìng)爭(zhēng)等；5.假設(shè)鱸魚(yú)正常生長(zhǎng)，沒(méi)有其他因素影響其發(fā)育和生長(zhǎng)；6.假設(shè)鱸魚(yú)的身長(zhǎng)，胸圍與體重成正相關(guān)關(guān)系；7.假設(shè)鱸魚(yú)體型為橢球形。三、符號(hào)說(shuō)明符號(hào)表a0身長(zhǎng)對(duì)體重的線(xiàn)性回歸的第一個(gè)系數(shù)b0身長(zhǎng)對(duì)體重的線(xiàn)性回歸的第二個(gè)系數(shù)R1身長(zhǎng)對(duì)體重的線(xiàn)性回歸的擬合系數(shù)a1胸圍對(duì)體重的線(xiàn)性回歸的第一個(gè)系數(shù)b1胸圍對(duì)體重的線(xiàn)性回歸的第二個(gè)系數(shù)R2胸圍對(duì)體重的線(xiàn)性回歸的擬合系數(shù)c0兩個(gè)變量同時(shí)對(duì)體重的線(xiàn)性回歸方程的第一個(gè)系數(shù)

5、c1兩個(gè)變量同時(shí)對(duì)體重的線(xiàn)性回歸方程的第二個(gè)系數(shù)c2兩個(gè)變量同時(shí)對(duì)體重的線(xiàn)性回歸方程的第三個(gè)系數(shù)兩個(gè)變量同時(shí)對(duì)體重的線(xiàn)性回歸方程的殘差兩個(gè)變量同時(shí)對(duì)體重的線(xiàn)性回歸方程的擬合系數(shù)F兩個(gè)變量同時(shí)對(duì)體重的線(xiàn)性回歸方程的F_檢驗(yàn)值f兩個(gè)變量同時(shí)對(duì)體重的線(xiàn)性回歸方程的閾值 p兩個(gè)變量同時(shí)對(duì)體重的線(xiàn)性回歸方程中與顯著性概念相關(guān)的p值 X鱸魚(yú)的身長(zhǎng)Y鱸魚(yú)的胸圍Z鱸魚(yú)的重量四、模型的建立與求解模型一：建立鱸魚(yú)的身長(zhǎng)和鱸魚(yú)的體重的模型設(shè)鱸魚(yú)的身長(zhǎng)和體重成線(xiàn)性關(guān)系，用線(xiàn)性回歸方法，設(shè)線(xiàn)性回歸方程為 Y=b0X+a0，R1為回歸系數(shù)。Matlab程序：x=36.8,31.8,43.8,36.8,32.1,

6、45.1,35.9,32.1;y=765,482,1162,737,482,1389,652,454;p=polyfit(x,y,1);yfit=polyval(p,x);plot(x,y,'r*',x,yfit,'b-')grid onX=ones(length(y),1) x'A1=Xy'a0=A1(1)b0=A1(2)R1=min(min(corrcoef(x, y)執(zhí)行后結(jié)果：a0 = -1.6373e+003b0 = 65.2901R1 =0.9898即R1=0.98981，說(shuō)明擬合程度很接近，幾乎可以認(rèn)為兩者成線(xiàn)性關(guān)系。得到曲線(xiàn)：圖一

7、從圖上也可看出，給定的點(diǎn)幾乎在同一直線(xiàn)上。模型二：建立鱸魚(yú)的胸圍和鱸魚(yú)的體重的模型設(shè)鱸魚(yú)的胸圍和體重成線(xiàn)性關(guān)系，用線(xiàn)性回歸方法，設(shè)線(xiàn)性回歸方程為 Y=b1Z+a1，R2為回歸系數(shù)。matlab程序：y=765,482,1162,737,482,1389,652,454z=24.8,21.3,27.9,24.8,21.6,31.8,22.9,21.6p=polyfit(z,y,1);yfit=polyval(p,z);plot(z,y,'r*',z,yfit,'b-')grid onZ=ones(length(y),1) z'A2=Zy'

8、a1=A2(1)b1=A2(2)R2=min(min(corrcoef(x, y)執(zhí)行后結(jié)果：a1 = -1.4975e+003b1 = 92.0335R2 = 0.9898即R2=0.98981，說(shuō)明擬合程度很接近，幾乎可以認(rèn)為兩者成線(xiàn)性關(guān)系。得到曲線(xiàn)：圖2從圖上也可看出，給定的點(diǎn)幾乎在同一直線(xiàn)上。模型三：同時(shí)考慮身長(zhǎng)和胸圍對(duì)體重的影響用一般多元回歸的方法假設(shè)此模型是線(xiàn)性回歸到，有四個(gè)基本假定：因變量與自變量之間存在線(xiàn)性關(guān)系殘差是獨(dú)立的殘差滿(mǎn)足方差奇性殘差滿(mǎn)足正態(tài)分布回歸方程設(shè)為Y=c0+c1X+c2Z+，其中是殘差（殘差與殘差區(qū)間杠桿圖最好在0點(diǎn)附近比較均勻的分布，而不呈現(xiàn)一定的規(guī)律性，如

9、果是這樣，這說(shuō)明回歸分析做得比較理想）第一步 分析數(shù)據(jù)matlab程序：X=36.8,31.8,43.8,36.8,32.1,45.1,35.9,32.1Y=765,482,1162,737,482,1389,652,454Z=24.8,21.3,27.9,24.8,21.6,31.8,22.9,21.6corrcoef(X,Y)corrcoef(Z,Y)plot3(X,Z,Y,'*')得到結(jié)果：ans = 1.0000 0.9898 0.9898 1.0000ans = 1.0000 0.99000.9900 1.0000即corrcoef(X,Y)=0.9898, corr

10、coef(Z,Y)=0.9900說(shuō)明有單變量關(guān)系，且關(guān)系同模型一和模型二同樣分析。得到的圖形：圖3也可以看出明顯的線(xiàn)性關(guān)系，這也說(shuō)明Y，X，Z滿(mǎn)足線(xiàn)性關(guān)系：Y=c0+c1X+c2Z+第二步.做線(xiàn)性多元回歸matlab：X=36.8,31.8,43.8,36.8,32.1,45.1,35.9,32.1'Y=765,482,1162,737,482,1389,652,454'Z=24.8,21.3,27.9,24.8,21.6,31.8,22.9,21.6'e=ones(8,1);x=e,X,Z;b,bit,r,rint,stats=regress(Y,x,0.05)rco

11、plot(r,rint)執(zhí)行后得到結(jié)果b = 1.0e+003 * -1.6045 0.0330 0.0470bit = 1.0e+003 * -1.7902 -1.4189 0.0131 0.0529 0.0189 0.0751r = -10.3657 36.1201 9.9811 -38.3657 12.1196 10.7402 -4.3493 -15.8804rint = -80.0916 59.3603 -10.0728 82.3131 -24.5729 44.5351 -89.4306 12.6993 -51.9141 76.1534 -11.9684 33.4487 -66.802

12、8 58.1043 -78.5411 46.7804stats =0.9957 578.5612 0.0000 703.3991即Y=-1604.5+33X+47Z置信度95%，且=0.9957，F(xiàn)=578.5612>0，與顯著性概念=0.05相關(guān)的p=0.0000<0.05,說(shuō)明回歸變量的每個(gè)自變量的選取，都是有意義的。殘差杠桿圖：圖4從杠桿圖看出，所以的殘差都在0點(diǎn)附近均勻分布，區(qū)間幾乎都位于-80,80之間，即：沒(méi)有發(fā)現(xiàn)高杠桿點(diǎn)，也就是說(shuō)，數(shù)據(jù)中沒(méi)有強(qiáng)影響點(diǎn)和異常觀測(cè)點(diǎn)。 綜合看起來(lái)，以上回歸結(jié)果（回歸函數(shù)，擬合曲線(xiàn)和曲面）近乎完美。五、模型的檢驗(yàn)與分析對(duì)上述三個(gè)模型均進(jìn)行誤

13、差分析模型一表1身長(zhǎng)36.831.843.836.832.145.135.932.1原體重76548211627374821389652454估測(cè)體重765.4438.91222.4765.4458.51307.3706.6458.5平均誤差0.00050.08920.05200.03850.04880.05880.08370.0099從鱸魚(yú)身長(zhǎng)與體重的數(shù)據(jù)分析，我們可以得出用身長(zhǎng)和體重的關(guān)系符合線(xiàn)性回歸關(guān)系，鱸魚(yú)體重的實(shí)際值與估計(jì)值的相對(duì)誤差不大，說(shuō)明模型一是可行的。模型二：表2胸圍24.821.327.924.821.631.822.921.6原體重76548211627374821389

14、652454估測(cè)體重784.9462.81070.2784.9490.41429.2610.1490.4平均誤差0.0260 0.0398 0.0790 0.06500.01740.02890.06430.0802從鱸魚(yú)胸圍與體重的數(shù)據(jù)分析，我們可以得出用胸圍和體重的關(guān)系符合線(xiàn)性回歸關(guān)系，鱸魚(yú)體重的實(shí)際值與估計(jì)值的相對(duì)誤差不大，說(shuō)明模型二是可行的。模型三：表3身長(zhǎng)36.831.843.836.832.145.135.932.1胸圍24.821.327.924.821.631.822.921.6原體重76548211627374821389652454估測(cè)體重775.5446.01152.2775.5470.01378.4656.5470.0平均誤差0.0137 0.0747 0.0084 0.05220.0249 0.00760.00690.0352從鱸魚(yú)胸圍及身長(zhǎng)共同影響體重的數(shù)據(jù)來(lái)看，我們可以得出用胸圍和體重的關(guān)系符合二元線(xiàn)性回歸關(guān)系，鱸魚(yú)體重的實(shí)際值與估計(jì)值的相對(duì)誤差不大，說(shuō)明模型三是可行的。六、模型的優(yōu)缺點(diǎn)分析 該模型應(yīng)用了