1、李津1、給定2階RK基本公式，求相容階數，判斷是否收斂，考慮穩定性后對h的要求 yn+1=yn+h/2*(k1+k2) k1=f(tn,yn) k2=f(tn+3/5*h,yn+3/5*h*k1)2、給定一個分段函數，求全函數為1區間0，2的最佳二次平方逼近3、給定對稱正定矩陣(3*3)，判斷SOR收斂性(w=1.2)、給定初值算一步、估計5次迭代誤差4、給定求積表達式，要求有最大的代數精度，確定參數和代數精度 f(x)從0積到2= r1*f(x1)+r2*f(x2)5、給定兩個矩陣A、A1(均為3*3)，將A變化為三對角陣，用QR方法對A1算一步求A26、(1)以前試題的變形,設B奇異，證明

2、(|A-B|/|A|)=1/(|inv(A)|A|)，其中|為算子范數 (2)證明最佳n次平方逼近函數奇偶性與f(x)相同別的題目記不太清了第一題有些錯誤，正確的題目好像是：Y(n+1)Y(n)+h*(k1+5*k2)/6k1=f(tn,Y(n)k2=f(tn+3/5*h,y(n)+3/5*k1)偶算出來的是二階相容第四題的矩陣A好像是：10 -1 -2;-1 10 -2;0 -2 102002.121.三點高斯勒讓得積分公式最佳平方逼近，f(x)=|x|，(-1,1)分別在span1,x2和spanx,x3中求2.書上P236第31題第2小問原題，只是沒告訴的范圍，要你求3.書上P257原題

3、加了兩問，證明收斂，再算一步4.householder變換Givens做QR分解5.Y(n+2)=Y(n)+h(fn+f(n+2)求局部TE，相容，根條件，絕對穩定區間|A-B|<1/|inv(A)|要證B可逆,|inv(B)|<=|inv(A)|/(1-|A-B|*|inv(A)|)|inv(A)-inv(B)|<=(|inv(A)|)2*|A-B|/(1-|A-B|*|inv(A)|)ft，沒做完，第4題的矩陣太難算了其他老師: 有記錯的和不全的請補充: : 一。填空題: 1.求矩陣2范數和cond的題A=1 1/2 1/2 1/3: 2.Ax=b,A=1,a,a;a,1

4、,a;a,a,1,b=1,2,3'(或者3,2,1,我記不清了）: (1)如果0<=a<c時GS方法收斂，求c的最大值: （2）a=1/2，x(0)=(0,0,0)，求迭代兩次的x(2): (3)a=1/2，jacobi方法收斂不？為啥: 3.給一個函數，給5個點，求拉各朗日插值多項式: 4.穩定方法求解良性問題是否一定收斂？: 二。計算題: 1.非線性方程組問題: 給F（s）: (1)如果x(k+1)=x(k)+1/4F(x(k)，證明這個迭代方法在x*=1,1,1': 附近局部收斂。: (2)newton求兩步: 2.Euler的顯式和隱士方法: (1)求兩方法

5、的局部截斷誤差: （2）兩方法幾階的？梯形方法幾階？: （3）顯示Euler的絕對穩定域: (4)證明隱士的步長可以隨便選: 3.(1)用houleholder變換QR分解A: (2)利用上面的分解求Ax=b的解x: 三。證明: Ax=b,A(x+deltax)=b+deltab: 證明deltax的范數/x的范數<=cond(A)deltab的范數/b的范數1.1)求sin(x)的pade(3*3)逼近R33 2)確定求積公式的待定參數，使其代數精度盡量高并指出代數精度是多少， 判斷是否為Gauss型 (區間是-2到2,被積函數是f(x),求積公式為Af(-)+Bf(0)+Cf()2.

6、給出一多步線性方法，y(n+2)=y(n)+hf(n)+f(n+2) 1)求此方法局部截斷誤差主項,并判斷方法的階 2)是否相容 3)是否滿足根條件,是否收斂 4)是否A穩定3.給定矩陣A,B. 5 1 -2 3 4 0A= -3 2 1 B= 4 4 1 4 1 3 0 0 2 1)用正交相似變換把A變化成上Hessenberg型矩陣 2)對B做一次QR分解4.給一非線性方程組 3(X1)2-(X2)2=0 3(X1)(X2)2-(X1)3-1=0 此方程組在D0.4<=X1=<0.6 ; 0.5<=X2<=1上有精確解X* 要求 1)寫出相應的牛頓法迭代公式,給定X

7、(0)=(0.55,0.9)T,求X(1) 2)已知X*=(1/2,3(1/2)/2)T,求一種不動點迭代方式，并判定其局部收斂性5.給一矩陣A和向量b 4 -2 a 2A= -2 4 -1 b= 6 a -1 4 5 1)求使J法迭代收斂的a的范圍(注意使用最簡單的收斂充要條件) 2)若a0,寫出SOR法的分量計算公式,并求最優松弛因子Wopt6.|G(x)-G(y)|<=L|x-y| 0<L<1 G(D0)是D0的真子集 求證G(x)在D0中存在唯一的不動點填空：1 A=1,1/2;1/2,1/3求|A|2和cond2（A）2 J，GS迭代有關3 f(x)=x2+3x+2

8、,在2，1，0，1，2五點確定得拉格朗日多項式插值多項式4 一個穩定得算法計算一個良態得問題是否一定穩定（大致）計算1 F(x)=.(1)證明x(k+1)=x(k)-1/4F'(x)收斂到其解x*=1,1,1'(2)用牛頓法在給定初值x0.'下計算兩步2 顯式和隱式歐拉法得局部截斷誤差和階數，寫出梯形法，及其階數.3 A=4,1,1;1,1,1;1,1,2;b=.' (1)housholder變換求A得QR變換 (2)用QR變換結果計算Ax=b證明已知Ax=b,A(x+deltaX)=b+deltaB證明|deltaX|/|x|<=cond(A)*|del

9、taB|/|b|1。單步法yn+1=yn+h/4(f(tn,yn)+3f(tn+2/3h，yn+2/3hf(tn,yn) 1)Tn+1,收斂階 2)絕對穩定區間 3)對y'=-5y+2,y0=1(好像是），在h=0.2,0.5,1時討論數值擾動的穩定性 2.1)exp(-2x)的pade(1*2)逼近 2)I=A(f(x0)+f(x1)+f(x2) 確定A,x1,x0,x2,判斷代數精度，是否高斯3。給定F(x) 1）xk+1=xk-1/4F(x),x*=(1,1,1)T,證明局部收斂 2）給定x0,用牛頓算兩部4。Ax=b A含未知數a 1)求a,使LLT存在 2）給定a,用chol

10、esky算L 3)給定a,判斷jacobi,gauss_siedel是否收斂 4）給定a,sor算一步5。給定A, 1)househoulder算p，A1=pAp 2)givens對A1做QR 3)算一步QR迭代，得到A26。|B|<1,證明I-B可逆，并證明|I-B|<1/1-|B|好像是這么寫，書上有個I+B的，一點思路都沒有5555555一.(1)函數f(x)=|x|在-1,1上積分，求在空間span1,x2和spanx,x3上權函數p(x)=1的最佳平方逼近函數，并說明 (2)對f(x)在-1,1上積分,求A0,A1,A2,x0,x2, 使得A0*f(x0)+A1*f(0)

11、+A2*f(x2)對求積公式有最高的代數精度，并求 代數精度二. A=2 0 1;0 2 -1;1 -1 1 (1)求householder變換矩陣P，使得A1=PAP為三對角矩陣 (2)用Givens變換，對A1進行QR分解； (3)若用QR方法求A1特征值，迭代一步，求A2，并證明A2和A相似三.線性二步法 y(n+2)=y(n)+h*(fn-fn+2) fi=f(ti,yi) (1)求局部截斷誤差及主部，方法是幾階收斂 (2)用根條件判斷收斂性 (3)絕對收斂域四.A為對稱正定矩陣，最大特征值和最小特征值分別是1和n, 迭代X(k+1)=(I-w*A)*X(k)+w*b 求w的范圍，使迭

12、代法收斂，并求w'使收斂速度最快。五. 非線性方程組 F(x)=x12-10*x1+x22+8;x1*x22+x1-10*x2+8'=0 令G(x)=1/10*(x12+x22+8) 1/10*(x1*x22+x1+8) (1)若0<x1,x2<3/2, 用x=G(x)迭代，證明G(x)在D中存在 唯一的不動點； (2)判斷G(x)是否收斂？ (3)寫出牛頓迭代法的公式，并且取初值x0=(0.5,0.5)T, 求出x1六. A，B為n*n階矩陣，A非奇異，|A-B|< 1/|A(-1)| 證明： (1) B非奇異 (2) |B(-1)| <= |A(-1

13、)|/(1-|A(-1)|*|A-B|) (3) |A(-1)-B(-1)| <= |A(-1)|2*|A-B|/(1-|A(-1)|*|A-B|)僅供參考！1.（1）求f(x)=|x|,區間-1，1上權函數為(x)=1，在span1,x2上的最佳平方逼近（2）0，1上權函數為(x)=1，求積分公式Af(0)+Bf(x1)+Cf(1)的參數使得代數精度盡可能高2。A=0 3 4；3 0 0；4 0 1（1）求householder變換使A1=PAP為對稱三對角陣（2）用givens變換求A1的QR分解（3）用不帶原點位移的QR算A的特征值，A1迭代一次得A2，證明A2與A1相似3。不動點

14、迭代F（x）=0，F（x）=x1+x22 -x12+x2等價于x=G(x)，G(x)=-x22 x12（a）證明D=（x1,x2）T|-0.25<=x1,x2<=0.25上，G有唯一不動點（b）寫出newton公式，取x(0)=(1,1)T，求x(1)4.初值問題dy/dt+y=0,y(0)=1（a）tn=nh，用梯形法求數值解yn（b）h趨于0時，證明數值解收斂于準確解y=exp(-t)（c）梯形法的局部階段誤差主項（d）梯形法的絕對穩定區域5（1）A為n*m矩陣，列滿秩，w與ATA的特征值有什么關系時x(k+1)=x(k)+wAT(b-Ax(k)收斂到ATAx=ATb的唯一解（

15、2）B為n階方陣，x*=Bx*+C,迭代公式x(k+1)=Bx(k)+C若|B|<=<1且|x(k)-x(k-1)|<=(1-)/證明|x*-x(k)|<=6.A對稱正定，（x）=0.5xTAx-xTb,p為非零向量定義()=(x+p),求為何值時()最小證明對此定義下的x*=x+p,有b-Ax*與p正交一、給了個矩陣A1）用household正交相似變換，將A變換為上海森堡形式A12）對A1(我記得是A1,不是A,不知道看錯沒有)做一次QR分解，要求用第一種位移方法二1）給了個常微分方程組，求剛性比2) y(n+2)=y(n+1)+h/(3f(n+2)+f(n)/4,

16、求階數，判斷相容性，收斂，及絕對穩定區間三，給定Ax = b1)用變分構造出它的二次形式，并證明（這題的意思我覺得就是證明方程組的解使該函數取最小值，好像就是證明書上那個定理，不知道對不對）2)給定初值，用最速下降法算一步。四，給了個非線性二元二次方程組1）判斷在定義區間上是否有唯一不動點2)用newton迭代法計算一步。五，給出了一個用分段線性插值逼近函數f的表達式（形式和書上差不多)，求出它的法方程的系數矩陣，并判斷它是否有解。六，A對稱正定，對Ax = b 構造(I-A)x = (I+A)x - 2b (不知道記得對不對） 證明 >0 時，迭代收斂1.1)求sin(x)的pade(

17、3*3)逼近R33 2)確定求積公式的待定參數，使其代數精度盡量高并指出代數精度是多少， 判斷是否為Gauss型 (區間是-2到2,被積函數是f(x),求積公式為Af(-)+Bf(0)+Cf()2.給出一多步線性方法，y(n+2)=y(n)+hf(n)+f(n+2) 1)求此方法局部截斷誤差主項,并判斷方法的階 2)是否相容 3)是否滿足根條件,是否收斂 4)是否A穩定3.給定矩陣A,B. 5 1 -2 3 4 0A= -3 2 1 B= 4 4 1 4 1 3 0 0 2 1)用正交相似變換把A變化成上Hessenberg型矩陣 2)對B做一次QR分解4.給一非線性方程組 3(X1)2-(X2)2=0 3(X1)(X2)2-(X1)3-1=0 此方程組在D0.4<=X1=<0.6 ; 0.5<=X2<=