1、數值分析試題一、填空題（ 2 0 ×2）322 設x 是精確值x的近似值，則 x 有位1.=*=2A1, X23有效數字。2.若 f ( x)= x7 x3 1 ， 則 f 2 0,2 1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6 ,2 7= 1，f 2 0,2 1 ,2 2,2 3 ,2 4,2 5,2 6,2 7,2 8=0。3. 設， A _5 _ ， X _ 3_ ，AX _15_ _ 。4.非線性方程 f ( x)=0 的迭代函數 x= ( x) 在有解區間滿足|( x)| <1，則使用該迭代函數的迭代解法一定是局部收斂的。a b上的三次樣條插值函數S x在 a b上具

2、有直到2階的連續導數。5. 區間,( ) , 6. 當插值節點為等距分布時， 若所求節點靠近首節點， 應該選用等距節點下牛頓差商公式的前插公式，若所求節點靠近尾節點， 應該選用等距節點下牛頓差商公式的后插公式；如果要估計結果的舍入誤差，應該選用插值公式中的拉格朗日插值公式。7.拉格朗日插值公式中 f ( xi ) 的系數 ai ( x) 的特點是：na i ( x )1；所以i 0當系數 ai ( x) 滿足ai ( x)>1，計算時不會放大 f ( xi ) 的誤差。8.要使20 的近似值的相對誤差小于 %，至少要取 4位有效數字。9. 對任意初始向量 X(0) 及任意向量 g，線性方

3、程組的迭代公式 x( k+1) =Bx( k) +g( k=0,1, ) 收斂于方程組的精確解 x* 的充分必要條件是(B)<1。10.由下列數據所確定的插值多項式的次數最高是5。x012y fx)-2-12=(11.牛頓下山法的下山條件為|f(xn+1)|<|f(xn)|。12.線性方程組的松弛迭代法是通過逐漸減少殘差r i(i=0,1,n來實現的，其中的殘,)差 r i ii11i22-in n)/aii，in。(b-ax-ax-a x(=0,1, , )13. 在非線性方程 f ( x)=0 使用各種切線法迭代求解時， 若在迭代區間存在唯一解， 且 f ( x) 的 二 階

4、導 數 不 變 號 ， 則 初 始 點 x0 的 選 取 依 據 為f(x0)f”(x0)>0。14. 使用迭代計算的步驟為建立迭代函數、選取初值、迭代計算。二、判斷題（ 10× 1）1、 若 A 是 n 階非奇異矩陣，則線性方程組 AXb 一定可以使用高斯消元法求解。 (× )2、 解 非 線 性 方 程f ( x)=0的 牛 頓 迭 代 法 在 單 根x* 附 近 是 平 方 收 斂 的 。()3、 若 A 為 n 階方陣，且其元素滿足不等式則解線性方程組AXb 的高斯塞德爾迭代法一定收斂。(× )4、 樣條插值一種分段插值。()5、 如果插值結點相同，

5、 在滿足相同插值條件下所有的插值多項式是等價的。()6、 從實際問題的精確解到實際的計算結果間的誤差有模型誤差、觀測誤差、截斷誤差及舍入誤差。()7、 解線性方程組的的平方根直接解法適用于任何線性方程組AXb。(× )8、 迭代解法的舍入誤差估計要從第一步迭代計算的舍入誤差開始估計, 直到最后一步迭代計算的舍入誤差。(× )9、 數值計算中的總誤差如果只考慮截斷誤差和舍入誤差，則誤差的最佳分配原則是截斷誤差舍入誤差。()10、插值計算中避免外插是為了減少舍入誤差。(× )三、計算題（5×10）1、用列主元高斯消元法解線性方程組。解答：（ 1， 5， 2）

6、最大元 5 在第二行，交換第一與第二行：L21=1/5=,l 31=2/5= 方程化為：（ , ）最大元在第三行，交換第二與第三行：L32=, 方程化為：回代得：x13.00005x25.99999x31.000102、用牛頓埃爾米特插值法求滿足下列表中插值條件的四次插值多項式P4( x) ，并寫出其截斷誤差的表達式 (設 f ( x) 在插值區間上具有直到五階連續導數 ) 。xi012f ( xi )1-13f( xi )15解答：做差商表xiF(xiFxi,xi+F+2Fxi,xi+1,xi+2,xFxi,xi+1,xi+2,xi+3,)1i+3xi+4011-1-21-113234302

7、351-2-1P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2)R4(x)=f(5)()/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)3、對下面的線性方程組變化為等價的線性方程組，使之應用雅克比迭代法和高斯賽德爾迭代法均收斂，寫出變化后的線性方程組及雅克比迭代法和高斯賽德爾迭代法的迭代公式，并簡單說明收斂的理由。解答：交換第二和第四個方程，使系數矩陣為嚴格對角占優：2 xx式：x41雅克比1迭代公2x13x2x 33x 24 x3x 48x 1x 35x46計算機數學基礎 (2) 數值分析試題一、單項選擇題 ( 每小題 3 分，共 15 分 )1.已知準確值x*與其有t位

8、有效數字的近似值x n× 10s(10) 的絕對誤差aax* x ( )(A)× 10 s 1 t(B)× 10 s t(C)×10s 1 t(D) × 10s t2.以下矩陣是嚴格對角占優矩陣的為()21005210(A)1210 ，(B)1410012111410012001252104211(C)1421(D)141021412141001213153. 過 (0 ， 1) ， (2 ， 4) ， (3 ， 1) 點的分段線性插值函數P( x)=()(A)3 x 10 x 2(B)3 x 10 x 2223x102x3(C)3 x10x2

9、(D)23x102x34.等距二點的求導公式是()3x2102x33 x10x22x4 2x3f (xk )(A)f (xk 1 )f (xk )(C)f (xk 1 )1(ykyk 1 )1( ykyk 1 )h1(ykyk 1 )1( yk 1yk )hf ( xk )1 ( yk yk 1 )(B)h1f ( xk 1 )( ykyk 1 )h(D)5. 解常微分方程初值問題的平均形式的改進歐拉法公式是那么 y , yc分別為 () p(A)y pykhf ( xk , yk )ycykhf ( xk 1 , yk )(C)y pykf (xk , yk )ycykf ( xk , y

10、p )ypykhf ( xk 1 , yk )(B)ykhf ( xk , y p )ycypykhf ( xk , yk )(D)ykhf ( xk 1 , y p )yc二、填空題 ( 每小題 3 分，共 15 分 )6.設近似值 x1 , x2 滿足 ( x1)= ， ( x2)= ，那么 ( x1x2)=7.三次樣條函數 ()滿足： () 在區間 , 內二階連續可導，( k)=yk( 已S xS xa bS x知 ) ， k=0,1,2, n，且滿足 S( x) 在每個子區間 xk, xk+1 上是8.bnn.牛頓科茨求積公式f (x)dxAk f ( xk ) ，則Ak ak 0k0

11、9.解 方 程 f ( x)=0的 簡 單 迭 代 法 的 迭 代 函 數 ( x) 滿 足 在 有 根 區 間內，則在有根區間內任意取一點作為初始值，迭代解都收斂10. 解常微分方程初值問題的改進歐拉法預報校正公式是預報值： yk 1ykhf ( xk , yk ) ，校正值： yk+1=三、計算題 ( 每小題 15 分，共 60 分 )11. 用簡單迭代法求線性方程組的 X(3) 取初始值 (0,0,0) T，計算過程保留 4 位小數12. 已知函數值 f (0)=6 ， f (1)=10 ， f (3)=46 ，f (4)=82 ， f (6)=212 ，求函數的四階均差 f (0,1,

12、3,4,6) 和二階均差 f (4 ， 1，3) 13. 將積分區間 8 等分，用梯形求積公式計算定積分32 dx ，計算過程保留1 x14 位小數14.用牛頓法求115 的近似值，取x=10 或 11 為初始值，計算過程保留4 位小數四、證明題 ( 本題 10 分 )15. 證明求常微分方程初值問題在等距節點 a=x0<x1<<xn=b 處的數值解近似值的梯形公式為y( xk+1) yk+1=yk+ h f ( xk, yk)+ f ( xk+1, yk+1)2其中 h=xk+1xk( k=0,1,2,n1)計算機數學基礎 (2) 數值分析試題答案一、單項選擇題 ( 每小題

13、 3 分，共 15 分 )1.A2.B3.A4.B5.D二、填空題 ( 每小題 3 分，共 15 分 )6.x2 + x17. 3次多項式8.b a9.( x) r <1 10.yk+ h f ( xk , yk ) f ( xk 1 , y k 1 ) hf ( xk 1,2yk 1 )三、計算題 ( 每小題 15 分，共 60 分 )11. 寫出迭代格式X(0) =(0,0,0)T.得到 X(1) ， 3， 3) T(2)T得到X =，7，0)12. 計算均差列給出f ( xk一階均二階均三 階 均四 階 均)差差差差061140341814/36483661/2362126529/

14、311/11/155f (0,1,3,4,6)=115f (4, 1, 3)=613. f ( x)=1x2 ,= 20.25分點x0=， x1=， x2=， x3 =， x4 =，x5=，x6=， x7=，h8x8=.函數值： f = 2 ， f = 8 ， f = 8 ， f = 6 ， f = 1 ， f = 2 ， f = 6 ，f = 2 ， f = 3 2( f ( x1 )f ( x2 )f ( x3 )f ( x4 )f ( x5 )f ( x6 )f ( x7 ) (9分 )= 0.25 × 2+ 3+2 × 8+ 8+ 62+ 1+ 2+ 6+ 2)=&

15、#215; 5+2 × 3)= 114. 設 x 為所求，即求 x2 115=0 的正根 f ( x)= x2 115因為 f ( x)=2 x，f ( x)=2 ，f (10) f(10)=(100 115) × 2<0，f (11) f (11)=(121 115) × 2>0 取 x0=11有迭代公式xk+1=xk f ( xk ) = xk xk2115xk115 ( k=0,1,2,)f ( xk )2xk22xkx1=11115 32211x2=10.727 32115 8210.727 3x3=10.723 8115 82210.723

16、8x* 8四、證明題 ( 本題 10 分 )15. 在子區間 xk+1, xk 上，對微分方程兩邊關于x 積分，得y( xk+1) y( xk)=xk 1f ( x, y(x) dxxk用求積梯形公式，有hy( xk+1) y( xk)= f (xk , y(xk )f ( xk 1 , y( xk 1 )將 y( xk), y( xk+1) 用 yk, yk+1 替代，得到hy( xk+1) yk+1=yk+ f ( xk, yk)+ f ( xk+1, yk+1)( k=0,1,2, n1)數值分析期末試題一、填空題（ 2 1020分）152（ 1)設 A210，則 A_13_。382（

17、2)對于方程組2 x15 x 21迭代法的迭代矩陣是BJ02.510x 14x 2， Jacobi2.5。30（ 3)3 x *的相對誤差約是 x * 的相對誤差的1 倍。3（ 4）求方程 x f ( x ) 根的牛頓迭代公式是 xn1x nx nf ( x n ) 。1f ' ( x n )（ 5）設 f ( x )x 3x 1 ，則差商 f 0,1,2,31。（ 6）設 nn 矩陣 G 的特征值是 1 , 2 , n ，則矩陣 G的譜半徑(G )max i 。1in（ 7）已知 A12 ，則條件數 Cond( A)901（ 8 ）為了提高數值計算精度，當正數x 充分大時 , 應將

18、ln( xx 21)改寫為ln( xx 21 )。（ 9） n 個求積節點的插值型求積公式的代數精確度至少為n 1 次。（ 10）擬合三點 ( x1 , f ( x1 ) ， ( x2 , f ( x 2 ) ， ( x3, f ( x 3 ) 的水平直線是 y13f ( xi ) 。3 i 12 x1x 2x31二、（ 10 分）證明：方程組 x1x 2x 31x1x 22 x31使用 Jacobi 迭代法求解不收斂性。證明： Jacobi迭代法的迭代矩陣為B J 的特征多項式為B J 的特征值為10 ，21.25i ，31.25i ，故(B J )1.25 1，因而迭代法不收斂性。三、（

19、10 分）定義內積試在 H1Span 1, x中尋求對于 f ( x )x 的最佳平方逼近元素 p( x ) 。解： 0 ( x )1， 1 ( x )x ，( , )dx 1 ，11，121 ，12，100( 1 ,0 )xdx(1,1)0x dx( 0 , f )0x dx00233( 1 , f )x xdx2 。105法方程解得 c04 ， c112 。所求的最佳平方逼近元素為1515p x412 x， 0x 1()1515四、（ 10 分）給定數據表x-2-1012y試用三次多項式以最小二乘法擬合所給數據。解 : y( x ) c0 c1 x c2 x 2c3 x 312485010

20、01111010034A 1 00 0， ATA111110034003401301248法方程的解為 c00.4086 ， c10.39167 ， c20.0857 ， c30.00833得到三次多項式誤差平方和為30.000194五. (10分 ) 依據如下函數值表012419233建立不超過三次的 Lagrange 插值多項式， 用它計算 f (2.2)，并在假設 f ( 4)( x )1下，估計計算誤差。解 : 先計算插值基函數所求 Lagrange 插值多項式為311 x 345 x 21 x從 而L3 ( x )f ( x i )l i ( x ) l 0 ( x ) 9l 1 ( x )23l 2 ( x)3l 3 ( x )1i 0442f ( 2.2)L3 (2.2) 25.0683 。據誤差公式 R3 ( x )f (4 ) ( ) ( x x 0 )( x x1 )( x x2 )( x x 3 ) 及假設 f ( 4) ( x )1 得誤差估4!計：六 . (10分 ) 用