1、 Department of Mathematics第一節(jié)第一節(jié) 級數(shù)和序列的基本性質(zhì)級數(shù)和序列的基本性質(zhì)(2)(2)復變函數(shù)項級數(shù)復變函數(shù)項級數(shù)設(shè)fn(n)(n=1,2,),在復平面點集E上有定義，那么：.)(.)()(21zfzfzfn是定義在點集E上的復變函數(shù)項級數(shù)，記為，或)()(1zfzfnnn設(shè)函數(shù)f(z)在E上有定義，如果在E上每一點z，此級數(shù)都收斂于f(z)，那么我們說它在E上收斂于f(z)），或者此級數(shù)在E上有和函數(shù)f(z)，記作),()(1zfzfnn復變函數(shù)序列設(shè)),.(),.,(),(21zfzfzfn是E上的復變函數(shù)列，記作 或 。1)(nnzf)(zfn設(shè)函數(shù) 在E

2、上有定義，如果在E上每一點z，)(z序列 都收斂于 ），那么我們說此序列在E上收斂于 ），或者此序列在E上有極限函數(shù) ，記作)(zfn)(z)(z)(z),()(limzzfnn注解：注解1、復變函數(shù)項級數(shù) 收斂于f(z)的 定義可以敘述為：)(zfnN有時使得當, 0, 0NnN注 解 2 、 復 變 函 數(shù) 序 列 f n ( n ) 收 斂 于 的 定義可以敘述為：.| )()(|1zfzfnkk)(zN有時使得當, 0, 0NnN.| )()(|zzfn一致收斂 如果任給 ，可以找到一個只與 有關(guān)，而與z無關(guān)的正整數(shù) ，使得當 時，有0EzNn,)(NN .| )()(|zzfn.|

3、)()(|1zfzfnkk或那么我們說級數(shù) 或序列 在E上一致收斂于f(z)或 ）。)(zfn)(zfn)(z注解：注解1、和實變函數(shù)項級數(shù)和序列一樣，我們也有相應(yīng)的柯西一致收斂原理：柯西一致收斂原理復變函數(shù)項級數(shù)）：復變函數(shù)項級數(shù) 在E上一致收斂的必要與充分條件是：任給 ，可以找到一個只與 有關(guān)，而與z無關(guān)的正整數(shù) ，使得當 ，p=1,2,3,時，有0)(NN EzNn,.| )(.)()(|21zfzfzfpnnn)(zfn柯西一致收斂原理復變函數(shù)序列）：復變函數(shù)序列fn(n)在E上一致收斂必要與充分條件是：任給 ，可以找到一個只與 有關(guān)，而與z無關(guān)的正整數(shù) ，使得當時，有注解：0)(NN

4、 EzNnm,.| )()(|zfzfmn注解：注解2、一致收斂的魏爾斯特拉斯判別法M-判別法）：設(shè)在復平面點集E上,.)2 , 1)(nzfn有定義，并且設(shè).21naaa是一個收斂的正項級數(shù)。設(shè)在E上，)(zfn,.),2 , 1( | )(|nazfnn那么級數(shù) 在E上一致收斂。定理1、2：定理2.1 設(shè)復平面點集E表示區(qū)域、閉區(qū)域或簡單曲線。設(shè)在集E上fn(n)(n=1,2,),連續(xù)，并且級數(shù) 或序列 在E上一致收斂于f(z)或 ，那么f(z)或 在E上連續(xù)。)(zfn)(zfn)(z)(z定理2.2 設(shè)在簡單曲線C上fn(n)(n=1,2,),連續(xù)，并且級數(shù) 或序列fn(n)在C上一致

5、收斂于f(z)或 ，那么)(zfn)(z或,)()(1CnCndzzfdzzf.)()(CCndzzdzzf注解：注解1、在研究復變函數(shù)項級數(shù)和序列的逐項求導的問題時，我們一般考慮解析函數(shù)項級數(shù)和序列；注解2、我們主要用莫勒拉定理及柯西公式來研究和函數(shù)與極限函數(shù)的解析性及其導數(shù)。內(nèi)閉一致收斂：設(shè)函數(shù)序列,.)2 , 1)(nzfn在復平面C上的區(qū)域D內(nèi)解析。如果級數(shù))(zfn序列fn(n)在D內(nèi)任一有界閉區(qū)域或在一個緊集上一致收斂于f(z)或 ，那么我們說此級數(shù)或序列在D中內(nèi)閉或內(nèi)緊一致收斂于f(z)或 。)(z)(z定理3：定理2.3魏爾斯特拉斯定理設(shè)函數(shù),.)2 , 1)(nzfn在區(qū)域D

6、內(nèi)解析，并且級數(shù) 或序列fn(n)(zfn在D內(nèi)閉一致收斂于函數(shù)f(z)或 ，那么f(z)或)(z 在區(qū)域D內(nèi)解析，并且在D內(nèi))(z或, )()(1)()(nknkzfzf,.).3 , 2 , 1(),(lim)()()(kzfzknnk定理3的證明級數(shù)）：證明：先證明f(z)在D內(nèi)任一點z0解析，取z0的一個鄰域U，使其包含在D內(nèi)，在U內(nèi)作一條簡單閉曲線C。由定理2.2以及柯西定理, 0)()(1nCnCdzzfdzzf因為根據(jù)莫勒拉定理，可見f(z)在U內(nèi)解析。再由于z0是D內(nèi)任意一點，因此f(z)在D內(nèi)解析。其次，設(shè)U的邊界即圓K也在D內(nèi)，于是110)()(nknzzzf定理3的證明級

7、數(shù)）：對于 一致收斂于 。由定理2.2，我們有Kz10)()(kzzzf,)()(21)()(2111010nKknKkdzzzzfidzzzzfi也就是,.)3 , 2 , 1( , )()(1)()(kzfzfnknk因而，定理中關(guān)于級數(shù)的部分證明結(jié)束。定理3的證明序列）：對于序列，我們也先證明 在D內(nèi)任一點z0)(z取它的一個鄰域U，使其包含在D內(nèi)，在U內(nèi)作一條簡單閉曲線C。由定理2.2以及柯西定理, 0)(lim)(lim)(CnnCnnCdzzfdzzfdzzf因為根據(jù)莫勒拉定理，可見 在U內(nèi)解析。再由于z0是D內(nèi)任意一點，因而 在D內(nèi)解析。)(z)(z其次，設(shè)U的邊界即圓K也在D內(nèi)，于是10)()(knzzzf定理3的證明：對于 一致收斂于 。由定理2.2，我們有Kz10)()(kzzzdzzzzfidzzzziKknnKk1010)()(lim21)()(21也就是dzzzzfiKknn10)()(21lim,.).3 ,