1、第5章  插  值5.1引言在實際問題中，有時只能給出函數在平面上的一些離散點的值，而不能給出的具體解析表達式，或者的表達式過于復雜而難于運算。這時我們需要用近似函數來逼近函數，在數學上常用的函數逼近的方法有：· 插值。 · 一致逼近。 · 均方逼近或稱最小乘法。 什么是插值？簡單地說，用給定的未知函數的若干函數值的點構造的近似函數要求與在給定點的函數值相等，則稱函數為插值函數。例如：在服裝店訂做風衣時，選擇好風衣的樣式后，服裝師量出并記下你的胸圍、衣長和袖長等幾個尺寸，這幾個尺寸就是風衣函數的插值點數值，在衣料上畫出的裁剪線就是服裝師構造的插

2、值函數，裁剪水平的差別就在于量準插值點和構造合乎身材的插值函數。定義5.1 為定義在區間上的函數，為上個互不相同的點，為給定的某一函數類。若上有函數，滿足則稱為關于節點在上的插值函數；稱點為插值節點；稱，為插值型值點，簡稱型值點或插點；稱為被插函數。這樣，對函數在區間上的各種計算，就用對插值函數的計算取而代之。構造插值函數需要關心下列問題：· 插值函數是否存在？ · 插值函數是否唯一？ · 如何表示插值函數？ 如何估計被插函數與插值函數的誤差？5.2拉格朗日（Lagrange）插值可對插值函數選擇多種不同的函數類型，由于代數多項式具有簡單和一些良好的特性，例如，多

3、項式是無窮光滑的，容易計算它的導數和積分，故常選用代數多項式作為插值函數。5.2.1 線性插值問題5.1 給定兩個插值點其中，怎樣做通過這兩點的一次插值函數？過兩點作一條直線，這條直線就是通過這兩點的一次多項式插值函數，簡稱線性插值。如圖5.1所示。圖5.1 線性插值函數在初等數學中，可用兩點式、點斜式或截距式構造通過兩點的一條直線。下面先用待定系數法構造插值直線。設直線方程為，將分別代入直線方程得：當時，因，所以方程組有解，而且解是唯一的。這也表明，平面上兩個點，有且僅有一條直線通過。用待定系數法構造插值多項式的方法簡單直觀，容易看到解的存在性和惟一性，但要解一個方程組才能得到插值函數的系數

4、，因工作量較大和不便向高階推廣，故這種構造方法通常不宜采用。當時，若用兩點式表示這條直線，則有：                    （5.1）這種形式稱為拉格朗日插值多項式。，稱為插值基函數，計算，的值，易見                

5、60;    （5.2）在拉格朗日插值多項式中可將看做兩條直線，的疊加，并可看到兩個插值點的作用和地位都是平等的。拉格朗日插值多項式型式免除了解方程組的計算，易于向高次插值多項式型式推廣。線性插值誤差定理5.1 記為以為插值點的插值函數，。這里，設 一階連續可導， 在上存在，則對任意給定的，至少存在一點 ，使     （5.3）證明 令，因是的根，所以可設對任何一個固定的點，引進輔助函數：則。由定義可得，這樣至少有3個零點，不失一般性，假定，分別在和上應用洛爾定理，可知在每個區間至少存在一個零點，不妨記為和，即和，

6、對在上應用洛爾定理，得到在上至少有一個零點，。現在對求二次導數，其中的線性函數)，故有代入，得        所以          即                  5.2.2 二次插值問題5.2 給定三個插值點 ，,其中互不相等，怎樣構造函數的二次的（

7、拋物線）插值多項式？平面上的三個點能確定一條次曲線，如圖5.2所示。圖5.2 三個插值點的二次插值仿造線性插值的拉格朗日插值，即用插值基函數的方法構造插值多項式。設 每個基函數是一個二次函數，對來說，要求是它的零點，因此可設同理，也相對應的形式，得將代入，得同理將代入得到和的值，以及和的表達式。  也容易驗證：插值基函數仍然滿足：二次插值函數誤差：上式證明完全類似于線性插值誤差的證明，故省略。插值作為函數逼近方法，常用來作函數的近似計算。當計算點落在插值點區間之內時叫做內插，否則叫做外插。內插的效果一般優于外插。例5.1 給定。構造線性插值函數并用插值函數計算和解：構造線性

8、插值函數：分別將代入上式，得，準確值，準確值例5.2 給定。構造二次插值函數并計算。解：，準確值例5.3 要制做三角函數的函數 值表，已知表值有四位小數，要求用線性插值引起的截斷誤差不超過表值的舍入誤差，試決定其最大允許步長。解：設最大允許步長5.2.3 次拉格朗日插值多項式問題5.3 給定平面上兩個互不相同的插值點 ，有且僅有一條通過這兩點的直線；給定平面上三個互不相同的插值點，有且僅有一條通過這三個點的二次曲線；給定平面上個互不相同的插值點，互不相同是指互不相等，是否有且僅有一條不高于次的插值多項式曲線，如果曲線存在，那么如何簡單地作出這條次插值多項式曲線？分析：次多項式，它完全

9、由個系數決定。若曲線通過給定平面上個互不相同的插值點，則應滿足，事實上一個插值點就是一個插值條件。將依次代入中得到線性方程組：           （5.4）方程組的系數行列式是范德蒙（Vandermonde）行列式：當互異時，所以方程組（5.4）的解存在且惟一。即問題5.3的解存在而且惟一。通過求解（5.4）得到插值多項式 ，因其計算量太大而不可取，仿照線性以及二次插值多項式的拉格朗日形式，我們可構造次拉格朗日插值多項式。對于個互不相同的插值節點，由次插值多項式的惟一性，可對每個插值節點作出相

10、應的次插值基函數。要求是，的零點，因此可設由將代入，得到（5.5）作其組合：                           （5.6）那么不高于次且滿足，故就是關于插值點的插值多項式，這種插值形式稱為拉格朗日插值多項式。稱為關于節點的拉格朗日基函數。例5.4 給出下列插值節點數據，做三次拉格朗日插值多項式，并計算（0.6）。-2.0

11、00.001.002.0017.001.002.0017.00解：拉格朗日插值基函數為：三次拉格朗日插值多項式：       n次插值多項式的誤差定理5.2 設是上過的次插值多項式，互不相等，當時，則插值多項式的誤差：  其中(5.7)證明*：記。由于，因而是的根，于是可設下面的目標是算出，為此引入變量為的函數：  （5.8）令，得令，由定義即至少有個零點，由于，由洛爾定理，在相鄰的兩個零點之間至少有一個零點，即至少有個零點。同理再對應用洛爾定理，即至少有個零點，反復應用洛爾定理得到至少有一個零

12、點。另一方面，對求階導數，有令，有    得到 （5.9）由于的零點與的零點有關，因而為的函數。若|可表示為                    （5.10）由（5.9）式可以看到，當 是不高于次的多項式時，即。對于函數，關于節點的拉格朗日插值多項式就是其本身，故拉格朗日基函數滿足令，得到。定理5.2給出了當被插函數充分光滑時的插值誤差或稱插值余項表達式，但是，在實

13、際計算中，并不知道的具體表示，難以得到的形式或較精確的界限，因此也難以得到界。在實際計算中，可對誤差運用下面的事后估計方法。給出個插值節點，任選其中的個插值節點，不妨取，構造一個次插值多項式，記為。在個插值節點中另選個插值點，不妨取，構造一個次插值多項式，記為。由定理2可得到  （5.11） （5.12）設在插值區間內連續而且變化不大，有，則從而可得到         （5.13）       （5.14）拉格朗日插

14、值多項式的算法下面用偽碼描述拉格朗日插值多項式的算法。1：輸入：插值節點控制數，插值點序列，要計算的函數點，及變量 。2：FOR  i ：=0，1，n    /i控制拉格朗日基函數序列tmp：=1；2.1 FOR j：=0，1，i-1，i+1，n  /對于給定，計算拉格朗日基函數  ；         / tmp表示拉格朗日基函數 2.2      3：輸出的計算結果。5.4埃特金逐步插值法我們已經知道，拉

15、格朗日插值多項式的余項為 其中但在實際插值過程中，由于 一般無法計算，因而實際的誤差也就無法得知。那么，如何根據所要求的精度來選取插值點的多少呢？這就是埃特金（Aitken）逐步插值所要解決的問題。首先介紹一個誤差的事后估計法。設為通過點的次插值多項式；為通過點的次插值多項式。這兩個次插值多項式都通過，其中前者還通過，而后者還通過，即它們所通過的插值線結點有個是共同的，只有一個是不同的。若插值多項式用表示，則其中第一個下標表示插值多項式通過個插值結點;第二個下標表示還通過的插值結點。現在考慮插值多項式與，由于它們所通過的插值結點中有一個不同的，因此其余項也不同。設它們的余項分別為&#

16、160;其中與雖然不等，但由于在插值區間內這兩個插值多項式所通過的插值結點大部分相同，只有一個不同，所以這兩個階導數相差不多（假設與離得很近），可以近似看作相等，即    由此可以得到這兩個插值多項式的余項比為     從上式中解出得        即       由上式可以看出，次插值多項式的誤差可以由具有個相同的結點與一個不同結點的兩個次插值多項式的差來

17、估計。并且還可以看出，如果將這個誤差加上，則可以得到更精確的的近似值。可以證明，這更精確的插值多項式為次插值多項式，即由上式可以看出，兩個次插值多項式與經過線性組合后，便得到次插值多項式 。這種方法稱為埃特金逐步線性插值。它的優點在于可根據精度的要求逐步提高插值的階，在插值過程中，由于都是線性運算，因而計算也方便。其計算格式如圖5.3所示。圖5.3 埃特金逐步線性插值的計算格式例5.8  設函數已知求的近似值。解：根據埃特金逐步線性插值的計算格式，其計算結果如表5.2所示。表5.2Kxkf(xk)P0,k(x)P1,k(x)P2,k(x)P3,k(x)012340.30.40.50.

18、60.70.298540.396460.493110.588130.68122 0.4571950.4561340.4549000.453502  0.4565370.4564840.456432   0.4565570.456557    0.456557由表5.2可知，若取，則    所以有    此時,實際上已用不著計算了。若取，則所以有此時，以后的值也不必計算了。埃特金逐步線性插值的算法輸入：插值結點；插值點

19、及精度要求。輸出：插值點處的函數值。在上述算法中，分別表示。當某相鄰兩個 之差的絕對值小于時，插值過程就停止。如果所有的插值結點都已用完，但還未滿足精度要求，插值過程也停止。5.5  埃爾米特（Hermite）插值在構造插值時，如果不僅要求插值多項式節點的函數值與被插函數的函數值相同，還要求在節點處的插值函數與被插函數的一階導數的值也相同，這樣的插值稱為埃爾米特插值或稱密切插值。常用埃爾米特插值描述如下：設具有一階連續導數，以及插值點，若有至多為次的多項式函數滿足則稱為關于節點的埃爾米特插值多項式。問題5.7：給定；怎樣構造給定兩個節點的函數值和一階導數值的埃爾米特插值多項

20、式？分析：用4個條件，至多可確定三次多項式。設滿足插值條件的三次埃爾米特插值多項式為：將插值條件代入得到線性方程組：因為方程組的系數行列式所以方程組有解，可惟一解出，即關于節點的埃爾米特插值多項式存在惟一。類似于拉格朗日插值多項式樣構造手法，也可通過插值基函數作出。設    要    可設 同理要 有    要    有    要    有    由上述要求，對來說，

21、至多為三次多項式，是它的二重根，可設     （5.20）利用 解出 同理可得  由 ，可設。由，算出。所以                    （5.21）同理綜上所述，得到以為節點的埃爾米特插值為 （5.22）容易證明，當時插值誤差為      （5.23）如果要

22、構造關于個節點的米特插值多項式，手法與構造兩個節點的方法類似。這里分別為不高于次插值多項式，分別滿足  及  由此可得到             （5.24）這里為關于節點的拉格朗日基函數。容易證明，當時，誤差為：（5.25）例5.8 給定，求埃爾米特插值多項式，并計算。解：顯然本題不必計算。 利用構造基函數方法做插值多項式被廣泛地應用在不同的插值條件中。例5.9 給定構造二次插值多項式函數。解：設這里均為不高于二次的多項式，它們分別滿

23、足                于是可表示為由，得由，得所以， 所以 同理由所以所以用牛頓差商插值也能構造埃爾米特插值。對給定的插值點的函數值和一階導數值定義序列即計算一階差商時：由和，取即構造差商表中用代替其余差商計算公式不變，得到差商型埃爾米特插值公式：      （5.26）其中，。例5.10 用下列數據構造埃爾米特插值多項式，并計算f（1.36）。1.21.41.60.60.91.10.

24、50.70.6解：計算差商。1.21.21.41.41.61.60.60.60.90.91.11.10.51.50.71.00.6  5-41.5-2   -4513  -17.5    145 -76.25     -553.125例5.11 求 使 及 插值多項式及其余項表達式。解：這里給出了四個條件故可構造三次插值多項式,可用Newton均差插值，令顯然它滿足條件，為待定參數。由可得解得：于是就可得到插值多項式。它的余項為在與之間，而。5.

25、6  分段插值5.6.1 龍格（Runge）現象在構造插值多項式時，根據誤差表達式（5.9），你是否認為多取插值點總比少取插值點的效果好呢？答案是不一定。如果被插函數是高次多項式，那么多取插值點比少取插值點效果好；但對有些函數來說，有時點取的越多，效果越不近人意。請看下面的例子。給定函數，。構造10次插值多項式。對作等距分割，取，構造，10次插值多項式如圖5.4所示。從圖中可以看到，在零點附近，對的逼近效果較好，在=0.90，0.70，0.70，0.90時誤差較大。圖 5.4 和下面列出和的幾個插值點的數值：0.900.700.500.301.578720.47060.075470.

26、226200.137930.253760.307690.23535這個例子是由龍格（C.Runge）提出的，也稱插值多項式在插值區間發生劇烈振蕩的現象為龍格現象。龍格現象揭示了插值多項式的缺陷。它說明高次多項式的插值效果并不一定優于低次多項式的插值效果。在插值過程中，誤差由截斷誤差和舍入誤差組成。式（5.9）給出的是截斷誤差，它是插值函數與原函數的誤差。另外由節點計算產生的舍入誤差，在插值計算過程中可能被擴散或放大，這就是插值的穩定性問題。而高次多項式的穩定性一般比較差，這從另一角度說明了高次插值多項式的缺陷。5.6.2 分段線性插值既然增加插值點并不能提高插值函數的逼近效果，那么采用分段插值

27、的效果又如何呢？若對給定區間作分割，在每個小區間上作以為節點的線性插值，記這個插值函數為，則（5.27）把每個小區間的線性插值函數連接起來，就得到了以剖分（節點）的分段線性函數。在上為一個不高于一次的多項式，事實上是平面上以點為折點的折線。由線性插值誤差公式，當時有  （5.28）因而       其中。于是，當區間分割加密，時，分段線性插值收斂于。事實上，只要連續，分段線性插值序列就能收斂于。分段線性插值算法簡單，只要區間充分小，就能保證它的誤差要求。它的一個顯著優點是它的局部性質，如果修改了某節點的值，僅在相鄰

28、的兩個區間受到影響。分段線性插值的缺點是在插值節點處不光滑。圖5.5 給出分段線性插值 （虛線表示）和的圖形，可以看到分段線性插值的效果明顯好于整體的拉格朗日插值的效果。圖5.5 分段線性插值和例5.12 對下列數據作分段線性插值，并計算（1.2 ），（3.3 ）。3123912121612解：  1.21，2  (1.2 ) =× 5 +×1=2.0667 3.33，9 (3.3 ) =× 6 +× 12 = 6.35.7  三次樣條函數在制造船體和汽車外形等工藝中傳統的設計方法是，首先由設計人員按外形要求，給出

29、外形曲線的一組離散點值，施工人員準備好有彈性的樣條（一般用竹條或有彈性的鋼條）和壓鐵，將壓鐵放在點的位置上，調整竹條的形狀，使其自然光滑，這時竹條表示一條插值曲線，我們稱為樣條函數。從數學上看，這一條近似于分段的三次多項式，在節點處具有一階和二階連續微商。樣條函數的主要優點是它的光滑程度較高，保證了插值函數二階導數的連續性，對于三階導數的間斷，人類的眼睛已難以辨認了。樣條函數是一種隱式格式，最后需要解一個方程組，它的工作量大于多項式拉格朗日型式或牛頓型式等顯式插值方法。定義 給定區間上個節點和這些點上的函數值，。若滿足；在每個小區間上至多是一個三次多項式；在上有連續的二階導數，則稱為關于剖分的

30、三次樣條插值函數，稱為樣條節點。要在每個子區間上構造三次多項式 ，共需要個條件，由插值條件，提供了個條件；用每個內點的關系建立條件又得到個條件；再附加兩個邊界條件，即可惟一確定樣條函數了。用待定系數法確定了構造樣條函數的存在性和惟一性。在具體構造樣條函數時一般都不使用計算量大的待定系數法。下面給出構造三次樣插值的關系式和關系式的方法。5.7.1 三次樣條插值的M關系式引入記號。用節點處二階導數表示樣條插值函數時稱為大關系式，用一階導數表示樣條插值函數時稱為小關系式。問題5.8 給定插值點，怎樣構造用二階導數表示的樣條插值函數，即怎樣構造關系式？假設。由于在上為線性函數，故在上做的分段

31、線性插值函數： 令 ，得到       （5.29）對積分兩次有 （5.30）將代入式（5.27）可解出故在上有（5.31）在每個小區間上具有不同的表達式，但由于在整個區間上是二階光滑的，故有列出每一個關系式，再經計算得：         （5.32）其中：              由式（5.32

32、）得到個未知數的個方程組。現補充兩個邊界條件，使方程組只有惟一解。下面分三種情況討論邊界條件。（1）給定的值時，稱為自然邊界條件），此時階方程組有個未知量，即 （5.33）（2）給定的值，它們分別代入在中的表達式，得到另外兩個方程：于是需要解階的方程組：    （5.34）（3）被插函數以為基本周期時，即，即；即。此時化為個變量、個方程的方程組。樣條插值構造的關系式是對角占優的三對角帶狀矩陣，可用第3章中的追趕法求解。例5.13 給出離散數值表：1.11.21.41.50.40000.80001.65001.8000取，構造三次樣條插值的關系式，并計算f

33、（1.25）。解：由題中的數值，計算得    由的邊界條件，得解得。因此，三次樣條插值的分段表達式為特別地，。詳細的程序和算例請看5.8節。5.7.2 三次樣條插值的m關系式問題5.9 給定插值點，怎樣構造用節點處一階導數表示的樣條插值函數，即怎樣構造關系式？對給定的插值點，先假定已知，在每個小區間上做埃爾米特插值，那么在整個上是分段的埃爾米特插值，在上的表達式為通過得到方程組其中：再附加兩個邊界條件，即可解出的值。附加的邊界條件情況同關系式中的討論類似，不再詳述。對作樣條插值，插值效果見圖5.6。可以看到樣條插值效果優于分段插值效果。圖5.6 樣條插值圖示5.8

34、程序示例程序5.1給定，構造牛頓插值多項式互不相同。算法描述輸入值，及（；記；計算差商其中對給定的，由計算的值；輸出。程序源碼/   purpose：（x_i，y_i）的牛頓插值多項式  /# include stdio.h# define MAX_N 20              / 定義（x_i，y_i）的最大維數typedef struct tagPOINT     &

35、#160;    / 點的結構 double x；  double y； POINT；int main ( ) int n； int i，j；   POINT points MAX_N + 1；double diff MAX_N + 1；   double x，tmp，newton = 0；   printf (“ nInput n value：”)； / 輸入被插值點的數目   scanf (“% d”，&n)；if (nMAX_N )

36、  printf (“The input n is larger then MAX_N，please redefine the MAX_N. n”)；  return 1；if (n= 0) printf (“Please input a number between 1 and % d. n”，MAX_N )； return 1；         / 輸入被插值點（x_i，y_i）printf (“Now input the（x_i，y_i），i=0，% d: n”，n)；

37、for (i=0；i= n；i+)    scanf (“% lf % lf”，&pointsi.x, &pointsi.y)；printf (“Now input the x value：”)；       / 輸入計算牛頓插值多項式的x值scanf (“%lf”，& x)；for (i=0；i= n；i+)  diff i = points i.y；for (i=1；i= n；i+)    for ( j = n；j=i；j-) 

38、;  diff j = ( diff jdiff j-1) / (points j. x points j-1-i.x)；                          / 計算f (x_0，x_n)的差商tmp = 1；newton = diff 0；for (i=0；i= n；i + +)  tmp = tmp * (x

39、-pointsi.x)；  newton = newton + tmp * diff i+1；printf (“newton (% f ) = %f n”，x，newton)；  / 輸出return 0；計算實例給定sin11°= 0.190809，sin12°= 0.207912，sin13°= 0.224951，構造牛頓插值函數并計算sin11°30。程序輸入輸出input n value：2Now input the（x_i，y_i），i=0，2：11 0.190809 12 0.207912 13 0.224951Now I

40、nput the x value：11.5newton (11.500000) = 0.199369程序5.2給定插值點和二階導數的端點值，用關系式構造三次樣條插值多項式，求在給定點處的值。算法描述1輸入值，及，要計算的函數點；2for i =1 to n1計算，其中；3求解方程組 對給定的，由4計算出的值；5輸出。程序源碼/ purpose：給定，值的三次樣條插值多項式  /# include <stdio.h># define MAX_N 20         

41、;    / 定義(x_i，y_i)的最大的維數typedef struct tagPOINT         / 點的結構 double x；double y； POINT；int main ( ) int n；  int i，k；POINT pointsMAX_N +1；double hMAX_N +1，bMAX_N +1，cMAX_N +1，dMAX_N +1，MMAX_N +1；double uMAX_N +1，vMAX_N +1，yMAX_N +1；double x

42、，p，q，S；printf (“ nInput n value：”)；       / 輸入插值點的數目scanf (“% d”，&n)；if (nMAX_N) printf (“The input n is larger than MAX_N, please redefine the MAX_N. n”)；return 1；if (n0)  printf (“Please input a number between 1 and % d. n”，MAX_N)；return 1   / 輸入插值點

43、(x_i，y_i)，M0值和Mn值printf (“Now input the (x_i，y_i)，i=0，% d： n”，n)；for (i=0；in；i+)  scanf (“% lf % lf ”，&pointsi.y)；printf (“Now input the M0 value：”)；scanf (“% lf ”，&M0)；printf (“Now input the Mn value：”)；scanf (“%lf ”，&Mn)；printf (“Now input the x value：”)；     /

44、輸入計算三次樣條插值函數的x值scanf (“%lf”，&x)；if (xpointsn. x | | xpoints0.x printf (“Please input a number between % f and % f. n”，points0.x，points0.x)；return 1；/ 計算M關系式中各參數的值h0=points1.xpoints0.x；for (i=1；i；i+ )hi=pointsi+1.xpointsi.x；bi=hi/(hi+hi1；ci=1bi；di=6*(pointsi+1.ypointsi.y)/hi(pointsi.ypointsi1.y)/

45、hi1)/(hi+hi1)；/ 用追趕法計算Mi，i=1，n1d1= c1*M0；dn1=bn1*Mn；bn1=0；c1=0；v0=0；for ( i=1；in；i+) ui=2ci*vi1； vi=bi/ui； yi= (dici*yi1)/ui；for (i=1；in；i+) Mni=ynivni* Mn-i+1；/ 計算三次樣條插值函數在x處的值k=0；while (x= pointsk.x) k+；k=k1p=pointsk+1.xx;q=xpointsk.x；S=(p* p* p* Mk +q* q* q* Mk+1) / (6* hk)+( p* points

46、k.y+q* pointsk+1.y) / hkhk*(p* Mk +q* Mk+q* Mk+1)/6；printf (“S(%f ) = % f n”，x，S)；/ 輸出getchar ( )；return 0；計算實例給定離散點（1.1，0.4），（1.2，0.8），（1.4，1.65），（1.5，1.8），用關系式構造三次樣條插值多項式，計算。程序輸入輸出Input n value：3Now input the (x_i，y_i)，i=0，3：1.1 0.4 1.2 0.8 1.4 1.65 1.5 1.8Now Input the M0 value：0Now Input the Mn

47、value：0Now Input the x value：1.25S (1.25000) = 1.0335945.3牛頓（Newton）插值拉格朗日插值多項式的優點是格式整齊和規范，它的缺點是計算量大且沒有承襲性質，當需要增加插值節點時，不得不重新計算所有插值基函數。本節給出具有承襲性質的牛頓插值多項式，并首先介紹在牛頓插值中需要用到的差商計算。5.3.1 差商及其計算一階差商稱函數值的差與自變量的差之比值為關于點的一階差商，并記為，即而稱為關于點的二階差商。函數關于的零階差商即為函數在的函數值，。階差商設點互不相同，關于的階差商為 差商有很多性質，我們僅列舉其中的兩條。性質1：階差

48、商是由函數值的線性組合而成。用歸納法可以證明這一性質。例如：性質2：若為的任一排列，則該性質表明差商的值只與節點有關而與節點的順序無關，即差商對節點具有對稱性，這一性質由性質1可直接推出。差商的計算按照差商定義，用兩個階差商的值計算階差商，通常用差商表的形式計算和存放（見表5.1）。由于差商對節點具有對稱性，可以任意選擇兩個差商的值計算階差商。例如：表5.1 差商表ixif(xi)一階差商二階差商三階差商n階差商0123nx0x1x2x3xnf(x0)f(x1)f(x2)f(x3)f(xn) fx0，x1fx1，x2fx2，x3fxn-1，xn  fx0，x1，x2fx1，x2，x3fxn-2，xn-1，xn   fx0，x1，x2，x3fxn-3，xn     fx0，x1，xn例5.5 計算（2，17），（0，1），（1，2），（2，19）的一至三階差商。ixif(xi)fxi-1，xifxi-2，xi-1，xifxi-3，xi-2，xi-1，xi0123-2012171219