1、 年第 期 設 則 點 記為 , 再把 : 三 點 放 回 原位 置 尸 仍 為 優點 下 面證 明 點 “ “ 因為 , 為紅點 所以 點 , 必在弧冗 上任 一 從而 普 “ , 外 因 此 從點 ' 出 發到 弧 位 到 置 紅 點 個 數 與 黃 點 個 數 之差 至 少 大 于 , 丨 , 點 ; 八 時 至少大 于 從而 當 , 故 “ 仍 為優 點 時 命 題成 立 個 點 中 若 黃 點 個數 , 若“ 一 ° 另 一 方面 在 , 為 , 將 圓周 分成 一 段 將 , 個 紅色 , 點 放人 每 段 弧 中 每 段弧 中 至 多 兩 個 點 則 綜 , ,

2、 每 個 紅 點 均 不 可 能 為優 點 , 因 此 圓 周 上 黃 點 個數 的 最 大 值 為 又 , 則 圓 周 上 黃 點個 數 的 最 大值 為 四 在式 、 中 令 三 、 優點 一 定為 紅 點 則 首 先 考 慮 簡 單情 形 當 圓周上 分別有 、 令 、 、 、 、 、 個點 此 得 , 町 因此 , : 時 若 圓 周 上 至 少有 一 個優點 則 圓 周 上 黃 點 , 為 彳 禹函數 個 數 最 大值 分 別 為 到 一 、 、 、 、 、 、 由 設 “ 般性 結 論 : 其中 個 點 將其 任 意 染成 紅 , , 盧 圓 周 上有 知 、 令 , , 則 黃

3、兩 色 當 且 僅 當 黃點 個 數 不 大 于 時 才能 保 證 圓 周 上至 少 有 一 個優 點 存 在 如 個黃 點 , 接 下來 用 數 學 歸 納 法給 出 證 明 當 三 個紅 點 , 時 圓 周 上有 四 個 點 , “ 廣 、 , 在 三 個 相 連 的 紅 點 中 取居 中 的 所 以 該 多 項式 的 系 數 均 為 那 個 易 知 其 為 優點 故 , 時 命 題成 立 但當 為 時 , 假 設當 灰 ' 時 命題 成立 即 圓 周 上 有 , 互 廣 為 ' 個 點 分別 染 成紅 黃兩 色 為確 保 圓 、 , 一 周 上 至少 有 當 個 優 點

4、則 黃 點 個數 不 超過 , 時 在 , , 個黃 點 中 任 取 一 個 記為 , , 在 、 兩旁 分 別 取 與 最近的 紅 , 放 “ 點 分 別 記為 將 此三 點 從 圓 周 上 拿走 個 點 且 滿足 , 所以 因此 , 則 在 圓周 上 只 剩 下 , 供 、 時 命題成 立 的 條 件 由 歸 納 假設 知 圓 周 上 至 少 存 在 一 故 個優 中 等 數 學 數 學 奧 林 匹 克 問 題 時 開著 或 關 著 ( ; , 則 其下 一 層 對應的 那扇 窗 開 : 關著 辦層娜 初 為線段 上 織 關 則 其下 , 一 在菱形 一 中 。 , : 層 對 應 的 那

5、 扇 窗開 著 證 明 第 層唯 一 的 點 延長 , 與 與 的延長 線 那扇 窗 必開 著 上 期 問 題 解 答 交于點 聯結 , 延長 交于點 的 若 面積 沉 試用 表 示 四 邊形 高挪 設 : , , 滿足 、 證明 初 , 如 圖 、 與 內 切于 點 在 點 上 , 力 直線 證明 : ; ; 分 別 與 切于 點 、 , 注意到 , 口 直線 于點 與 翻 : 交 ; 咖 , 平分 高 “ 乂 設 , , 證明 : : 丨 : “ 高 扇窗 ( 幢 建筑 物 有 , 層 第 混有 , 又 , 則 ( 頂層有 扇 窗 開 著 遠 處 望 去 所有 的 窗 戶 成倒 立 的 楊 輝 三角形 , 士 “ 士 ! 七 更 特別 的 是 若 同 層相 鄰 的 兩 扇 窗 同 , 故 原 不等 式 其中 “ , ”