1、江蘇省2014屆一輪復習數學試題選編21：空間角與空間距離（教師版）一、解答題 （2011年高考（江蘇卷）如圖,在正四棱柱中,點是的中點,點在上,設二面角的大小為(1)當時,求的長;ABCNMD(2)當時,求的長.【答案】【命題意圖】本小題主要考查空間向量的基礎知識,考查運用空間向量解決問題的能力. 【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz, 設,則各點的坐標為 ,所以 . 設平面DMN的法向量為,則, 即.令是平面DMN的一個法向量.設平面A1DN的法向量為,則, 即.令是平面A1DN的一個法向量.從而 (1)因為,所以,解得.從而.所以. (2)因為, 所以,因為,所以,解得.根據圖

2、形和(1)的結論可知,從而CM的長為. （2010年高考（江蘇）如圖,四棱錐P-ABCD中,PD平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,ABDC,BCD=900 (1)求證:PCBC(2)求點A到平面PBC的距離【答案】(1)PD平面ABCD,PDBC,又BCCD,BC面PCD,BCPC. (2)設點A到平面PBC的距離為h, （江蘇省揚州市2013屆高三上學期期中調研測試數學試題）如圖所示,是長方體,已知,是棱的中點,求直線與平面所成角的余弦值.【答案】解:以為坐標原點,為坐標軸,建立坐標系, 則, 設平面的一個法向量為 由可得的一個值是, 設直線與平面所成的角是,則 , 故直線與平面

3、所成角的余弦是 （江蘇省南京市2013屆高三9月學情調研試題（數學）WORD版）如圖,PA平面ABCD,AD/BC,ABC=90°,AB=BC=PA=1,AD=3,E是PB的中點.(1)求證:AE平面PBC;(2)求二面角B-PC-D的余弦值.PABCDE(第22題)【答案】(1)根據題意,建立如圖所示的空間直角坐標系,PABCDExyz則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,3,0),P(0,0,1),E(,0,), =(,0,),=(0,1,0),=(-1,0,1).因為·=0,·=0,所以,.所以AEBC,AEBP.因為BC,BP平面

4、PBC,且BCBP=B, 所以AE平面PBC (2)設平面PCD的法向量為n=(x,y,z),則n·=0,n·=0.因為=(-1,2,0),=(0,3,-1),所以-x+2y=0,3y-z=0.令x=2,則y=1,z=3.所以n=(2,1,3)是平面PCD的一個法向量 因為AE平面PBC,所以是平面PBC的法向量.所以cos<,n>=.由此可知,與n的夾角的余弦值為.根據圖形可知,二面角B-PC-D的余弦值為- （江蘇省連云港市2013屆高三上學期摸底考試（數學）（選修物理）如圖,在棱長為1的正方體A中,E、F分別為和的中點.(1)求異面直線AF和BE所成的角的

5、余弦值:(2)求平面AC與平面BF所成的銳二面角:(3)若點P在正方形ABCD內部或其邊界上,且EP平面BF,求EP的取值范圍.【答案】解:(1)以D為原點,DA,DC,DD1分別為軸,建立如圖所示的直角坐標系,則, , 所求的銳二面角為 (3)設() ,由得 即, 當時, 當時, 故EP的取值范圍為 （江蘇省2013屆高三高考壓軸數學試題）如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,AB=BC=,BB1=3,D為A1C1的中點,F在線段AA1上.(1)AF為何值時,CF平面B1DF?(2)設AF=1,求平面B1CF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值.ABCC1B1A1FD 2

6、013江蘇省高考壓軸【答案】(1)因為直三棱柱ABC-A1B1C1中,以B點為原點,BA、BC、BB1分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標系. ABCC1B1A1FDxyz 因為AC=2,ABC=90º,所以AB=BC=, 從而B(0,0,0),A,C,B1(0,0,3),A1,C1,D,E. 所以, 設AF=x,則F(,0,x), . ,所以 要使CF平面B1DF,只需CFB1F. 由=2+x(x-3)=0,得x=1或x=2, 故當AF=1或2時,CF平面B1DF. (2)由(1)知平面ABC的法向量為n1=(0,0,1). 設平面B1CF的法向量為,則由得 令z=1得, 所

7、以平面B1CF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值 （江蘇省蘇錫常鎮四市2013屆高三教學情況調研(一)數學試題）如圖,圓錐的高,底面半徑,為的中點,為母線的中點,為底面圓周上一點,滿足.(1)求異面直線與所成角的余弦值; (2)求二面角的正弦值.OEDAFBP【答案】 （江蘇省鹽城市2013屆高三年級第二次模擬考試數學試卷）正三棱柱的所有棱長都為4,D為的中點.(1)求證:平面;(2)求二面角的余弦值.【答案】解:取BC中點O,連AO,為正三角形, , 在正三棱柱中,平面ABC平面,平面, 取中點為,以O為原點,的方向為,軸的正方向,建立空間直角坐標系,則., ,. ,面 (2)設平面的法向量

8、為,. ,令,得為平面的一個法向量,由(1)知面, 為平面的法向量, 二面角的余弦值為 （連云港市2012-2013學年度第一學期高三期末考試數學試卷）【答案】以O點為原點,OB為x軸,OC為y軸,OS為z軸建立空間直角坐標系.由題意知SBO=45°,SO=3. O(0,0,0),C(0,0),A(0,-,0),S(0,0,3),B(3,0,0). ABOCDSxzy (1)設=l(0£l£1),則=(1-l)+l=(3(1-l),0,3l), 所以=(3(1-l),-,3l). 因為=(3,0),CDAB,所以=9(1-l)-3=0,解得l=. 故=時, CDA

9、B (2)平面ACB的法向量為n1=(0,0,1),設平面SBC的法向量n2=(x,y,z), 則,解得,取n2=(1, ,1), 所以cos<n1,n2>=, 又顯然所求二面角的平面角為銳角, 故所求二面角的余弦值的大小為 （南京市、鹽城市2013屆高三第三次模擬考試數學試卷）如圖,三棱錐P-ABC中,已知PA平面ABC,ABC是邊長為2的正三角形,D,E分別為PB,PC中點.(1)若PA=2,求直線AE與PB所成角的余弦值;(2)若平面ADE平面PBC,求PA的長.ABBCBEBDBPB（第22題）【答案】解(1)如圖,取AC的中點F,連接BF,則BFAC.以A為坐標原點ABB

10、CBEBDBPB（第22題）yxzF過A且與FB平行的直線為x軸,AC為y軸,AP為z軸,建立空間直角坐標系.則A(0,0,0),B(,1,0),C(0,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1),從而=(,1,-2), =(0,1,1). 設直線AE與PB所成角為,則cos=|=.即直線AE與PB所成角的余弦值為 (2)設PA的長為a,則P(0,0,a),從而=(,1,-a),=(0,2,-a).設平面PBC的法向量為n1=(x,y,z),則n1·=0,n1·=0,所以x+y-az=0,2y-az=0.令z=2,則y=a,x=a.所以n1=(a,a,2)是平面PBC的一

11、個法向量. 因為D,E分別為PB,PC中點,所以D(,),E(0,1,), 則=(,),=(0,1,).設平面ADE的法向量為n2=(x,y,z),則n2·=0,n2·=0.所以x+y+z=0,y+z=0.令z=2,則y=-a,x=-a.所以n2=(-a,-a,2)是平面ADE的一個法向量 因為面ADE面PBC,所以n1n2,即n1·n2=(a,a,2)·(- a,-a,2)=-a2-a2+4=0,解得a=,即PA的長為 （蘇州市2012-2013學年度第一學期高三期末考試數學試卷）三棱柱在如圖所示的空間直角坐標系中,已知,.是的中點.(1)求直線與平面

12、所成角的正弦值;(2)求二面角的大小的正弦值.【答案】 （徐州、宿遷市2013屆高三年級第三次模擬考試數學試卷）【必做題】本小題10分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.如圖,在正三棱柱中,已知,分別是棱,上的點,且,.求異面直線與所成角的余弦值;求二面角的正弦值.（第22題圖）ABCA1B1C1MN【答案】以的中點為原點,分別以所在直線為軸,建立空間直角坐標系(如圖). 則（第25題圖）ABCA1B1C1MNxyzO,. 所以,. 所以, 所以異面直線與所成角的余弦值為 平面的一個法向量為. 設平面的法向量為,因為, 由得令,則. 所以, 所以二面角的正弦值為 （揚州、南通、泰州、宿遷四市2013屆高三第二次調研測試數學試卷）必做題, 本小題10分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.如圖,在三棱柱中,且.(1)求棱與BC所成的角的大小;(2)在棱上確定一點P,使二面角的平面角的余弦值為.（第22題）BACA1B1C1【答案】【解】(1)如圖,以A為原點建立空間直角坐標系, 則 , ,. , 故與棱BC所成的角是 BACA1B1C1zxyP(2)P為棱中點, 設,則. 設平面的法向量為n1, 則 故n1 而平面的法向量是n2=(1,0,0),則, 解得,即P