1、一一. .動荷載的定義動荷載的定義 自重、緩慢變化的荷載，其慣性力與外荷比很小，分析時仍視作自重、緩慢變化的荷載，其慣性力與外荷比很小，分析時仍視作靜荷載。靜荷載。 靜荷只與作用位置有關，而動荷是坐標和時間的函數(shù)。靜荷只與作用位置有關，而動荷是坐標和時間的函數(shù)。二二. .動荷載的分類動荷載的分類1y2y1y1y2yEI1y2yEIm自由振動自由振動-由初位移、初速度引起的由初位移、初速度引起的, ,在振動中無動荷載作用的振動。在振動中無動荷載作用的振動。1.1.運動方程及其解運動方程及其解EIl)(ty)(tym )()(11tymty )()(11tymtyk 0)()(2tyty 1111

2、21mmk2.2.振動分析振動分析其通解為其通解為tctctysincos)(21由初始條件由初始條件0)0(yy0)0(yy可得可得01yc /02yctytytysincos)(00sin0Ay cos/0Ay)sin()(tAty22020yyA00tanyy單自由度體系不計阻尼時的自由振動是簡諧振動單自由度體系不計阻尼時的自由振動是簡諧振動. .)2()2(sin)2sin()sin()(tytAtAtAty2T自振周期自振周期21T自振園頻率自振園頻率( (自振頻率自振頻率) )與外界無關與外界無關, ,體系本身固有的特性體系本身固有的特性A 振幅振幅初相位角初相位角3.3.自振頻率

3、和周期的計算自振頻率和周期的計算利用計算公式利用計算公式111121mmk11,WmgWststg2算例算例例一例一. .求圖示體系的自振頻率和周期求圖示體系的自振頻率和周期. .3117121mlEIm)221213221(111lllllllllEIEImlT127223EIlEIl=111=1ll/2l解解: :EIl3127例二例二. .求圖示體系的自振頻率和周期求圖示體系的自振頻率和周期. .3332231mlEIEIlmEIl31132EImlT32=1解解: :23lEIEIllm/2EIEIll例三例三. .質點重質點重W,W,求體系的頻率和周期求體系的頻率和周期. .3113

4、lEIkk解解: :EIkl11k111kk33lEIgWm/gWlEIk33c-阻尼系數(shù) )()(tyctR011ykycym )(ty)(tym )(11tyk)(tycmc2/022yyy tAety)(022221i)2(1mc 21D)cossin()(21tctcetyDDt00)0(,)0(yyyy02001,/)(ycyycD)sin()(DDttAety2020)(DyyyA)/(tan000yyyDD)2(1mc tetccty)()(21mcr2mcccr2)2(1mc 小阻尼情況臨界阻尼情況大阻尼情況)sin()(DDttAetyit1itDTt)(tyiA1iA21D

5、DDT2DDiiTTttiieAeAeAA)(1DiiTAA1ln22D1ln21iiAAniiAAnln21kN4 .160276.012ln421)/(102 .802.0104 .165311mNk) s (5 .04/2DT) s (4998.012DTT)s/1 (57.122T)kg(5190/211km)kN(86.50 mgW)s/mN(36012mc)s/1 (89.1368005190102 .8252)s/1 (70.11)s (537.0/2T0257.02/mc1.1.運動方程及其解運動方程及其解tPtyktymsin)()(11 一、不考慮阻尼一、不考慮阻尼EIl)

6、(tyP(t)P(t)tPtPsin)(P -P -荷載幅值荷載幅值-荷載頻率荷載頻率運動方程運動方程)()()(*tytyty或或通解通解其中其中tctctysincos)(21設設tmPtytysin)()(2 tAtysin)(*)(22mPA通解為通解為tmPtctctysin)(sincos)(2221|2112.2.純受迫振動分析純受迫振動分析EIl)(tyP(t)P(t)tAtysin)()(22mPA22211mPstyA 112PmPyst22/11mk112101|0)(1sin)(22tPmtmPty0110101例例1 1 求圖示體系振幅和動彎矩幅值圖，知求圖示體系振幅

7、和動彎矩幅值圖，知5 . 03.3.動位移、動內力幅值計算動位移、動內力幅值計算tAtysin)(styA 22/11tPsin1EIEIEIPPl/4解解. . 31124lEIkEIPlkPyst2431134/1122EIPlyAst3181Pl/3動彎矩幅值圖動彎矩幅值圖例例2 2 求圖示梁中最大彎矩和跨中點最大位移求圖示梁中最大彎矩和跨中點最大位移 知知: :./500,10,35,210,108 .8,445分轉nkNPkNQGPaEmIml解解. . S/13 .62/111Qgmm10722.0311Pyst4 .3/1122m1045.23styAtPsinQ重力引起的彎矩重

8、力引起的彎矩kN3541QlMQ重力引起的位移重力引起的位移m1053. 2311QQ111m/N10722.0487311EIlkN.m1041PlMstS/13 .5260/2n振幅振幅動彎矩幅值動彎矩幅值kN.m34stDMM跨中最大彎矩跨中最大彎矩kN.m69maxDQMMM跨中最大位移跨中最大位移m1098.43maxAfQ 動荷載不作用于質點時的計算動荷載不作用于質點時的計算 PP1112*tPsin)(ty)(sin)(1112ymtPty )(tym tPsin12=111=1tPtytymsin)(1)(111211 令令tPtytymsin)(1)(*11 tmPtysin

9、)(2*11*2*PmPA111112PP12stystyP仍是位移動力系數(shù)仍是位移動力系數(shù)是內力動力系數(shù)嗎是內力動力系數(shù)嗎? ?運動方程運動方程穩(wěn)態(tài)解穩(wěn)態(tài)解振幅振幅 列幅值方程求內力幅值列幅值方程求內力幅值 tAtysin)(EIPlllPlEIyst34856522211解解: :5 .0例例: :求圖示體系振幅、動彎矩幅值圖求圖示體系振幅、動彎矩幅值圖. .知知tAtysin)(2 tmAtIsin)(2tPtPsin)(同頻同步變化同頻同步變化tPsinEIl/2l/2)(tyAm2A34/1122EIPlyAst3365sty=1112/Pll解解: :例例: :求圖示體系右端的質點

10、振幅求圖示體系右端的質點振幅 0oMkmPA410321122441AmAmAIP485PP485Pl965Pl4829動彎矩幅值圖動彎矩幅值圖tPsinlkEIllAP2mA231mAAk32o二二. .考慮阻尼考慮阻尼1.1.運動方程及其解運動方程及其解設設tPykycymsin11 或或tmPyyysin22 通解通解)()()(*tytyty)cossin()(21tctcetyDDttDtDtysincos)(21*22222214)(2mPD2222222224)(mPD)sin()(*tAty222224)1 (1mPA)1 (2tan2)sin()cossin()(21tAtc

11、tcetyDDt00)0()0(yyyy)sin( )sin()sin()(2211tAteAteAtyDtDt200201)(DyyyA0001tanyyyD)sin()(*tAty222224)1 (1mPA)1 (2tan2)sin()cossin()(21tAtctcetyDDt00)0()0(yyyy)sin( )sin()sin()(2211tAteAteAtyDtDt200201)(DyyyA0001tanyyyD22222222222)2()-()(2)2(DDmPA)-(22tan22222D初位移、初速度引初位移、初速度引起的自由振動分量起的自由振動分量動荷載激起的按結構自

12、動荷載激起的按結構自振頻率振動的分量振頻率振動的分量,稱為稱為伴隨自由振動伴隨自由振動純受迫振動純受迫振動2.2.阻尼對振幅的影響阻尼對振幅的影響)sin()(tAty222224)1 (1mPA在平穩(wěn)階段在平穩(wěn)階段sty22224)1 (1隨隨 增大而減小增大而減小阻尼在共振區(qū)內影響顯著阻尼在共振區(qū)內影響顯著, ,在共振區(qū)外可不計阻尼在共振區(qū)外可不計阻尼. .2/11 時的最大值并不發(fā)生在的最大值并不發(fā)生在處1位移滯后于荷載位移滯后于荷載3.3.動內力、動位移計算動內力、動位移計算除動力系數(shù)計算式不同外，除動力系數(shù)計算式不同外，其它過程與無阻尼類似。其它過程與無阻尼類似。02.03.0例例.

13、 .圖示為塊式基礎圖示為塊式基礎. .機器與基礎的質量為機器與基礎的質量為 ; ;地基豎向地基豎向 剛度為剛度為 ; ;豎向振動時的阻尼比為豎向振動時的阻尼比為 機器轉速為機器轉速為N=800r/min,N=800r/min,其偏心質量引起的離心力為其偏心質量引起的離心力為P=30kN.P=30kN.求豎向求豎向 振動時的振幅。振動時的振幅。kg101563mkg/m105 .13143K2.0解：解：m100228.0105 .13143033KPyst)s/1 (79.9110156105 .131436mKtPtPsin)()s/1 (78.83260N49.2)/2()/1 (/122

14、22)mm(0568.0styA)(tP)(ty0ymP將荷載看成是連續(xù)作用的一系將荷載看成是連續(xù)作用的一系列沖量，求出每個沖量引起的列沖量，求出每個沖量引起的位移后將這些位移相加即為動位移后將這些位移相加即為動荷載引起的位移。荷載引起的位移。)(tPtt一一. .瞬時沖量的反應瞬時沖量的反應t)(tPttP1.t=0 1.t=0 時作用瞬時沖量時作用瞬時沖量SmPy/020)(21mPy0tytytysincos)(00tmPsin2. 2. 時刻作用瞬時沖量時刻作用瞬時沖量)(tPttP)(sin)(tmPty二二. .動荷載的位移反應動荷載的位移反應)(tP)(ty)(tPtt)(Pdt

15、mPtyt)(sin)()(0-杜哈美積分杜哈美積分d )(sin)()(0)(tDtDtemPty計阻尼時計阻尼時若若t=0 t=0 時體系有初位移、初速度時體系有初位移、初速度d )(sin)()sin()(0)(tDtDDttemPtAety例例. .求突加荷載作用下的位移，開始時靜止，不計阻尼。求突加荷載作用下的位移，開始時靜止，不計阻尼。)(tP)(tyP)(tPtdtmPtyt)(sin)()(0解：解：dtmPt)(sin0)cos1 (2tmP)cos1 (tyst動力系數(shù)為動力系數(shù)為 2 2000)(tPttP自由振動分析的目的是確定體系的動力特性自由振動分析的目的是確定體系

16、的動力特性. .可不計阻尼。可不計阻尼。一一. .運動方程及其解運動方程及其解 0ykym 或或)(1ty)(2ty運動方程運動方程11212111ymykyk 22222121ymykyk 設方程的特解為設方程的特解為)sin()sin(2211tXytXy代入方程代入方程, ,得得0121212111XmXkXk0222222121XmXkXk00)00(2122122211211XXmmkkkk0)(21212111XkXmk0)(22222121XmkXk 0)(2Xmk 02mk-頻率方程頻率方程)(1ty)(2ty解頻率方程得解頻率方程得 的兩個根的兩個根2值小者記作值小者記作21

17、稱作第一頻率稱作第一頻率也稱作基本頻率也稱作基本頻率; ; 值大者記作值大者記作稱為第二頻率或高階頻率稱為第二頻率或高階頻率. .將將 頻率代入振型方程頻率代入振型方程10)(21121121111XkXmk11211122111kmkXX特解特解1 1)sin()sin(112121111111tXytXy特解特解2 2)sin()sin(222222221212tXytXy)sin(112111121tXXyy)sin(222212221tXXyy通解通解)sin()sin(22221211211121tXXtXXyy二二. .頻率與振型頻率與振型體系按特解振動時有如下特點體系按特解振動時

18、有如下特點1)1)各質點同頻同步各質點同頻同步; ;21111121111121)sin()sin()()(XXtXtXtyty)sin()sin(112121111111tXytXy11211122111kmkXX2)2)任意時刻任意時刻, ,各質點位移的比各質點位移的比 值保持不變值保持不變定義定義: :體系上所有質量按相同頻率作自由振動時體系上所有質量按相同頻率作自由振動時 的振動形狀稱作體系的主振型。的振動形狀稱作體系的主振型。幾點說明：幾點說明：1.1.按振型作自由振動時，各質點的按振型作自由振動時，各質點的 速度的比值也為常數(shù)，且與位移速度的比值也為常數(shù)，且與位移 比值相同。比值相

19、同。2111111211111121)cos()cos()()(XXtXtXtyty2.2.發(fā)生按振型的自由振動是有條件的發(fā)生按振型的自由振動是有條件的. .211121211121) 0() 0(,) 0() 0(XXyyXXyy3.3.振型與頻率是體系本身固有的屬性振型與頻率是體系本身固有的屬性, , 與外界因素無關與外界因素無關. .5 5。若已知柔度矩陣時。若已知柔度矩陣時6 6。求振型、頻率可列幅值方程。求振型、頻率可列幅值方程. .4 4。N N自由度體系有自由度體系有N N個頻率和個頻率和N N個振型個振型 02mk頻率方程頻率方程解頻率方程得解頻率方程得 的的N,N,從小從小到

20、大排列到大排列N21,依次稱作第一頻率依次稱作第一頻率, ,第二頻率第二頻率.第一頻率稱作基本頻率第一頻率稱作基本頻率, ,其它為高其它為高階頻率階頻率. .將頻率代入振型方程將頻率代入振型方程 ), 2 , 1(NiXi得得N N個振型個振型 0)(2XmkN N個振型是線性無關的個振型是線性無關的. .振型方程振型方程 0)(2XmI頻率方程頻率方程 02mI按振型振動時按振型振動時)sin()sin(2211tXytXy)sin()sin(222211tXytXy )sin()sin(22222111tXmItXmI1X2X121Xm222Xm2222212121222212121111

21、XmXmXXmXmX 0)(2XmI 02mI振型可看作是體系按振型振動時，振型可看作是體系按振型振動時，慣性力幅值作為靜荷載所引起的靜位移慣性力幅值作為靜荷載所引起的靜位移三三. .求頻率、振型例題求頻率、振型例題例一例一. .求圖示體系的頻率、振型求圖示體系的頻率、振型mm 1mm 23/l3/l3/lEI解解1111122221EIl322112434EIl321124867 02mI0/1/122222111222111mmmm令令21111m01/1112111120)8/7()1 (228/1822692. 5mlEImlEI2222212121222212121111XmXmXXmXmX22212121111XmXmX21112212211mmXX1121111212122111mmXX1122111222122212mmXX1 11 11 11 1第一振型第一振型第二振型第二振型 111X 112X對稱體系的振型分對稱體系的振型分成兩組成兩組: :一組為對稱振型一組為對稱振型一組為反對稱振型一組為反對稱振型mm 1mm 23/l3/l3/lEI11111222211 11 1第二振