1、導數的概念及運算知識點一：函數的平均變化率(1) 概念：函數-中，如果自變量二在匸處有增量，那么函數值 y也相應的有增量厶y=f(x 0+ x)-f(x o)，其比值亠叫做函數從到 + 的平均變化率，即 Av =牝+A力二， 。Ay _若=二心，一 i十'，則平均變化率可表示為八 <，稱為函數從:到心的平均變化率。 事物的變化率是相關的兩個量的“增量的比值”。如氣球的平均膨脹率是半徑的增量 與體積增量的比值； 函數的平均變化率表現函數的變化趨勢，當取值越小，越能準確體現函數的變化情況。 止是自變量在：處的改變量，丄；而是函數值的改變量，可以是 0。函數 的平均變化率是0，并不一定

2、說明函數沒有變化，應取丄二更小考慮。(2 )平均變化率的幾何意義函數1'的平均變化率-心石的幾何意義是表示連接函數尸圖像上兩點割線的斜率。3 /tx如圖所示，函數的平均變化率'-的幾何意義是：直線 AB的斜率力-堆心-了佃）Av事實上,作用：根據平均變化率的幾何意義，可求解有關曲線割線的斜率知識點二：導數的概念:1 導數的定義：對函數 '：-，在點廠二"處給自變量x以增量二：，函數y相應有增量linL叟=乳聞+山）一了（和皿：丄* "。若極限存在，則此極限稱為'在點處的導數，記作"或八，此時也稱八在點二處可導。即：（或一 r * _

3、）注意: 增量止工可以是正數，也可以是負數; 導數的本質就是函數的平均變化率在某點處的極限，即瞬時變化率2 導函數:如果函數' '小在開區間 內的每點處都有導數，此時對于每一個A，=l：-J -，都對 應著一個確定的導數，從而構成了一個新的函數,稱這個函數"'廠為函數在開區間內的導函數，簡稱導數。注意：函數的導數與在點"處的導數不是同一概念，' 是常數，是函數- ' 在=" 處的函數值，反映函數兒在工二附近的變化情況。3 導數幾何意義：(1) 曲線的切線曲線上一點P(X0, yo)及其附近一點Q(xo+ (,yo+ ，經過點

4、P、Q作曲線的割線PQ , 粒則有並=5 0=型-其傾斜角為當點Q(xo+ (,yo+ 沿曲線無限接近于點 P(xo，yo),即Ax - 0時，割線PQ的極限位置直線PT叫做曲線在點P處的切線。若切線的傾斜角為,則當Ax-0時，割線PQ斜率的極限，就是切線的斜率td g=氐曲=te?:即:站衛 Ax mtoXo(2) 導數的幾何意義：函數11 ：1在點xo的導數八-是曲線上點(' ' ' 1 )處的切線的斜率。注意： 若曲線I " 1在點處的導數不存在，但有切線，則切線與-軸垂直。 ，切線與工軸正向夾角為銳角，切線與T軸正向夾角為鈍角；廣切線與兀軸平行。(3)

5、 曲線的切線方程如果'/ ；1在點廠可導，則曲線-在點(' ' 1 ')處的切線方程為：二屮(話("心')O4 瞬時速度：物體運動的速度等于位移與時間的比，而非勻速直線運動中這個比值是變化的， 如何了解非勻速直線運動中每一時刻的運動快慢程度，我們采用瞬時速度這一概念如果物體的運動規律滿足 s=s(t)(位移公式)，那么物體在時刻t的瞬時速度V,就是物二氐3二如心體t到t+ 這段時間內，當 -0時平均速度的極限，即如果把函數，-看作是物體的位移公式)，導數、'表示運動物體在時刻的瞬時速 度。規律方法指導1 .如何求函數的平均變化率求函數的

6、平均變化率通常用“兩步”法:作差：求出'-和 廠：作商：對所求得的差作商，即八 二【 o注意:®/花)-了OJ 孑(帀 +時-_fg)(1)Ax，式子中二；、的值可正、可負，但一的值不能為零，的值可以為零。若函數為常數函數時，宀 o(2) 在式子“-1 中，與是相對應的“增量”，即在：】時,(3)在式子一中，當廠取定值，二：取不同的數值時，函數的平均變化率不同；當止：取定值，習取不同的數值時，函數的平均變化率也不一樣。2. 如何求函數在一點處的導數(1 )利用導數定義求函數在一點處的導數，通常用“三步法”計算函數的增量：°求平均變化率:/ Vc)= lim mo+k

7、) 幾G 取極限得導數：一(2 )利用基本初等函數的導數公式求初等函數的導數。3. 導數的幾何意義 設函數' 1 在點山的導數是- '-,則八廠表示曲線在點('')處的切線的斜率。 設'是位移關于時間的函數，則'''' '表示物體在時刻的瞬時速度； 設，是速度關于時間的函數，貝U ； 表示物體在'、時刻的加速度；4 .利用導數的幾何意義求曲線的切線方程的步驟 求出'/，："在二處的導數'：-：; 利用直線方程的點斜式得切線方程為O類型一：求函數的平均變化率° 1、求一I在

8、到、i之間的平均變化率，并求，1時平均變化率的值.Ay _ Z(x0 +Ax)-/faj思路點撥：求函數的平均變化率，要緊扣定義式一 進行操作.舉一反三:【變式1】求函數y=5x2+6在區間2 , 2+止一內的平均變化率。2【變式2】已知函數'，分別計算在下列區間上的平均變化率:（1）1，3；（2）1，2；（3）1，1.1；（4）1，1.001.【變式3】自由落體運動的運動方程為，計算 t 從 3s 至U 3.1s，3.01s，3.001s 各段內的平均速度（位移s的單位為m）【變式4】過曲線-上兩點亠和- 1 -'-作曲線的割線，求出當-J-丄-時割線的斜率.類型二：利用定義

9、求導數C»2、用導數的定義，求函數' 廠在x=1處的導數。舉一反三:【變式1】已知函數(1 )求函數在x=4處的導數.嚴丄-&F(4-與(2 )求曲線 上一點處的切線方程。【變式2】利用導數的定義求下列函數的導數:(1);(2);(3) -：;(4) - o53、求曲線y=x3+2x在x=1處的切線方程.思路點撥：從函數在一點處的導數定義可求得函數y=x3+2x在x=1處的導數值，再由導數的幾何意義，得所求切線的斜率，將 x=1代入函數可得切點坐標，從而建立切線方程舉一反三：【變式】在曲線y=x2上過哪一點的切線:（1）平行于直線y=4x ；（2）垂直于直線2x -6

10、y+5=0 ；（3 ）與x軸成135。的傾斜角。知識點三：常見基本函數的導數公式(1) - (C 為常數),'1，-(2) 一 " (n 為有理數)，d/ j(7)= Sin 7 f (x) = C0£ 7j (:r) =f (x) = - sin x(7)") = 1“ 廣E = £(8)mm叱廣專曲知識點四:函數四則運算求導法則(1)和差的導數：丄'J _'積的導數：-|：-廠；-:-: - 1 -商的導數：-'-：G）知識點五:復合函數的求導法則"嚴幾兒或兒【於祕力的導即復合函數-對自變量芒的導數'

11、,等于已知函數匸對中間變量 數丄，乘以中間變量對自變量卞的導數。注意：選擇中間變量是復合函數求導的關鍵。求導時需要記住中間變量，逐層求導, 遺漏。求導后，要把中間變量轉換成自變量的函數。規律方法指導1 求復合函數的導數的一般步驟適當選定中間變量，正確分解復合關系;分步求導（弄清每一步求導是哪個變量對哪個變量求導）；把中間變量代回原自變量（一般是 x ）的函數。整個過程可簡記為分解一一求導一一回代，熟練以后，可以省略中間過程。若遇多重 復合，可以相應地多次用中間變量。類型一：利用公式及運算法則求導數1、求下列函數的導數:(3 )，_=；(4) y=2x 3H3x2+5x + 4舉一反三：【變式】

12、求下列函數的導數:(1) 一 宀；j/ 2 sin (1 2cos )(2)-( 3) y=6x 3Fx2+9x O2、求下列各函數的導函數(1)一 一；(2) y=x2sinx;A+ CQSX(4) y=，一 ：丄兒舉一反三：【變式1】函數1 _ ：/' ?-在? = -處的導數等于()A. 1B. 2C. 3D. 4【變式2】下列函數的導數2 工* 3 x + 1y -l(1)_ I ； ：* . ；(2) -【變式3】求下列函數的導數后1詳-1)(2)類型四：復合函數的求導03、求下列函數導數(3)y = cos(2z-Fl)舉一反三：【變式1】求下列函數的導數:(1(3) y=l n (x +門');f (x) = p_¥(cos x+sin x)類型五:求曲線的切線方程4、求曲線y=x 3+2x在x=1處的切線方程.舉一反三:【變式1】求曲線,-在點匚，處的切線的斜率，并寫出切線方程【變式2】已知'i是曲線一廠上的兩點，則與直線'“平行的曲線_ 的切線方程是【變式3】已知曲線'".（1）求曲線丁上橫坐標為1的點處的切線的方程；（2）第（1）小題中的切線與曲線是否還有其他的公共點?【變式4】如果