1、北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第三章圓回顧與反思 一、 教學(xué)內(nèi)容 本單元的主要內(nèi)容 （1）圓有關(guān)的概念：垂直于弦的直徑，弧、弦、圓心角、圓周角 （2）與圓有關(guān)的位置關(guān)系：點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系 （3）正多邊形和圓 （4）弧長(zhǎng)和扇形面積：弧長(zhǎng)和扇形面積 二、 教學(xué)目標(biāo) 1知識(shí)與技能 （1）了解圓的有關(guān)概念，探索并理解垂徑定理，探索并認(rèn)識(shí)圓心角、弧、弦之間的相等關(guān)系的定理，探索并理解圓周角和圓心角的關(guān)系定理 （2）探索并理解點(diǎn)和圓、直線與圓：了解切線的概念，探索切線與過(guò)切點(diǎn)的直徑之間的關(guān)系，能判定一條直線是否為圓的切線，會(huì)過(guò)圓上一點(diǎn)畫(huà)圓的切線 （3）進(jìn)一步認(rèn)識(shí)和理解正多邊形和圓的關(guān)系和正多邊

2、的有關(guān)計(jì)算 （4）熟練掌握弧長(zhǎng)和扇形面積公式及其它們的應(yīng)用 2過(guò)程與方法 （1）積極引導(dǎo)學(xué)生從事觀察、測(cè)量、平移、旋轉(zhuǎn)、推理證明等活動(dòng)了解概念，理解等量關(guān)系，掌握定理及公式 （2）在教學(xué)過(guò)程中，鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)腦，并進(jìn)行同伴之間的交流 （3）在探索圓周角和圓心角之間的關(guān)系的過(guò)程中，讓學(xué)生形成分類討論的數(shù)學(xué)思想和歸納的數(shù)學(xué)思想 （4）通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)等方式，認(rèn)識(shí)直線與圓的位置關(guān)系，使學(xué)生明確圖形在運(yùn)動(dòng)變化中的特點(diǎn)和規(guī)律，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理能力 （5）探索弧長(zhǎng)、扇形面積的計(jì)算公式并理解公式的意義、理解算法的意義 3情感、態(tài)度與價(jià)值觀 經(jīng)歷探索圓及其相關(guān)結(jié)論的過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力；通過(guò)

3、積極引導(dǎo)，幫助學(xué)生有意識(shí)地積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，獲得成功的體驗(yàn)；利用現(xiàn)實(shí)生活和數(shù)學(xué)中的素材，設(shè)計(jì)具有挑戰(zhàn)性的情景，激發(fā)學(xué)生求知、探索的欲望 三、 教學(xué)重點(diǎn) 1平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧及其運(yùn)用 2在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等及其運(yùn)用 3在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半及其運(yùn)用 4半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑及其運(yùn)用 5不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓 6直線L和O相交d<r；直線L和圓相切d=r；直線L和O相離d>r及其運(yùn)用 7圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)

4、的半徑及其運(yùn)用 8經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線并利用它解決一些具體問(wèn)題 9從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角及其運(yùn)用10正多邊形和圓中的半徑R、邊心距r、中心角之間的等量關(guān)系并應(yīng)用這個(gè)等量關(guān)系解決具體題目11n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為L(zhǎng)=，n°的圓心角的扇形面積是S扇形=及其運(yùn)用這兩個(gè)公式進(jìn)行計(jì)算四、教學(xué)難點(diǎn)1垂徑定理的探索與推導(dǎo)及利用它解決一些實(shí)際問(wèn)題 2弧、弦、圓心有的之間互推的有關(guān)定理的探索與推導(dǎo)，并運(yùn)用它解決一些實(shí)際問(wèn)題 3有關(guān)圓周角的定理的探索及推導(dǎo)及其它的運(yùn)用 4點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用5三點(diǎn)確定

5、一個(gè)圓的探索及應(yīng)用 6直線和圓的位置關(guān)系的判定及其應(yīng)用 7切線的判定定理與性質(zhì)定理的運(yùn)用 8切線長(zhǎng)定理的探索與運(yùn)用 9正多邊形和圓中的半徑R、邊心距r、中心角的關(guān)系的應(yīng)用 10n的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)L=及S扇形的公式的應(yīng)用 五、 教學(xué)方法 1積極引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、測(cè)量、折疊、平移、旋轉(zhuǎn)等數(shù)學(xué)活動(dòng)探索定理、性質(zhì)、“三個(gè)”位置關(guān)系并推理證明等活動(dòng) 2關(guān)注學(xué)生思考方式的多樣化，注重學(xué)生計(jì)算能力的培養(yǎng)與提高 3在觀察、操作和推導(dǎo)活動(dòng)中，使學(xué)生有意識(shí)地反思其中的數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展學(xué)生有條理的思考能力及語(yǔ)言表達(dá)能力 教學(xué)過(guò)程（一）我們可以得到：圓是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是任意一條過(guò)圓心的直線 （學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同

6、學(xué)按下面要求完成下題：如圖，AB是O的一條弦，作直徑CD，使CDAB，垂足為M （1）如圖是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，其對(duì)稱軸是什么？ （2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系？說(shuō)一說(shuō)你理由 （老師點(diǎn)評(píng)）（1）是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是CD （2）AM=BM，即直徑CD平分弦AB，并且平分及 1、 這樣，我們就得到下面的定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧 下面我們用邏輯思維給它證明一下： 已知：直徑CD、弦AB且CDAB垂足為M 求證：AM=BM，. 分析：要證AM=BM，只要證AM、BM構(gòu)成的兩個(gè)三角形全等因此，只要連結(jié)OA、OB或AC、BC即可證明：如圖，連結(jié)OA、OB，則OA=OB在R

7、tOAM和RtOBM中 RtOAMRtOBM AM=BM 點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于CD對(duì)稱 O關(guān)于直徑CD對(duì)稱 當(dāng)圓沿著直線CD對(duì)折時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，與重合，與重合 ， 進(jìn)一步，我們還可以得到結(jié)論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧2、課堂練習(xí)1如圖4，AB為O直徑，E是中點(diǎn)，OE交BC于點(diǎn)D，BD=3，AB=10，則AC=_ (4) (5)2P為O內(nèi)一點(diǎn)，OP=3cm，O半徑為5cm，則經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為_(kāi)；最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為_(kāi)3如圖5，OE、OF分別為O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么_（只需寫(xiě)一個(gè)正確的結(jié)論）（二）1、我們可以得到下面的定理：在同圓或等圓中，相等的圓心

8、角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等 同樣，還可以得到： 在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦也相等 在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弧也相等我們可以總結(jié)歸納出圓周角定理： 在同圓或等圓中，同弧等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半 進(jìn)一步，我們還可以得到下面的推導(dǎo)：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)。2、課堂練習(xí)1如圖，在O中，C、D是直徑AB上兩點(diǎn)，且AC=BD，MCAB，NDAB，M、N在O上 （1）求證：=；（2）若C、D分別為OA、OB中點(diǎn)，則成立嗎？2如圖

9、，以ABCD的頂點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作圓，分別交BC、AD于E、F，若D=50°，求的度數(shù)和的度數(shù) 3如圖，AOB=90°，C、D是AB三等分點(diǎn)，AB分別交OC、OD于點(diǎn)E、F，求證：AE=BF=CD4如圖，已知ABC內(nèi)接于O，A、B、C的對(duì)邊分別設(shè)為a，b，c，O半徑為R，求證：=2R 分析：要證明=2R，只要證明=2R，=2R，=2R，即sinA=，sinB=，sinC=，因此，十分明顯要在直角三角形中進(jìn)行 證明：連接CO并延長(zhǎng)交O于D，連接DB CD是直徑 DBC=90° 又A=D 在RtDBC中，sinD=，即2R= 同理可證：=2R，=2R =2R（三

10、）1點(diǎn)和圓的位置關(guān)系：設(shè)O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離為d，則 2不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓3三角形外接圓和三角形外心的概念4. 點(diǎn)P在圓外d>r，如圖（a）所示； 點(diǎn)P在圓上d=r，如圖（b）所示； 點(diǎn)P在圓內(nèi)d<r，如圖（c）所示5、我們有切線的性質(zhì)定理: 圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑我們可以得到切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角課堂練習(xí) 1如圖，P為O外一點(diǎn)，PA切O于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)P的任一直線交O于B、C，連結(jié)AB、AC，連PO交O于D、E （1）求證：PAB=

11、C（2）如果PA2=PD·PE，那么當(dāng)PA=2，PD=1時(shí)，求O的半徑 2設(shè)a、b、c分別為ABC中A、B、C的對(duì)邊，面積為S，則內(nèi)切圓半徑r=， 其中P=（a+b+c）；（2）RtABC中，C=90°，則r=（a+b-c）（四）我們把一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)多邊形的中心 外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑 正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角 中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距課堂練習(xí)1如圖1所示，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于O，則ADB的度數(shù)是（ ）A60° B45° C30° D225° (1) (2) (3) 2圓內(nèi)接正五邊形ABCDE中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)P，則APB的度數(shù)是（ ） A36° B60° C72° D108° 3若半徑為5cm的一段弧長(zhǎng)等于半徑為2cm的圓的周長(zhǎng)，則這段弧所對(duì)的圓心角為（ ） A18° B36° C72° D144°（五）扇形和弧長(zhǎng)1重點(diǎn)：n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)L=，扇形面積S扇=及其它們的應(yīng)用 2難點(diǎn)：兩個(gè)公式的應(yīng)用3關(guān)鍵：由圓的周長(zhǎng)和面積遷移到弧長(zhǎng)和扇形面積