1、函數自身的對稱性探究定理1函數y = f (x)的圖像關于點 A (a ,b)對稱的充要條件是f (x) + f (2a - x) = 2b證明：(必要性)設點P(x ,y)是y = f (x)圖像上任一點，t點P( x ,y)關于點A (a ,b)的對稱點P'(2a x, 2b-y)也在 y = f (x)圖像上，二 2b - y = f (2a - x)即 y + f (2a - x)=2b 故 f (x) + f (2a - x) = 2b，必要性得證。(充分性)設點 P(x0,y0)是y = f (x)圖像上任一點，則 yO = f (xO)/ f (x) + f (2a -x

2、) =2b / f (xO) + f (2a - xO) =2b，即 2b-yO = f (2a -xO)。故點P' (2a-xO，2b-yO)也在y = f (x)圖像上，而點 P與點P'關于點A (a ,b)對稱，充分性得征。推論：函數y = f (x)的圖像關于原點 0對稱的充要條件是f (x) + f ( - x) = O定理2.函數y = f (x)的圖像關于直線x = a對稱的充要條件是f (a +x) = f (a -x)即 f (x) = f (2a -x)(證明留給讀者)推論：函數y = f (x)的圖像關于y軸對稱的充要條件是f (x) = f ( -x)定

3、理3.若函數y = f (x)圖像同時關于點 A (a ,c)和點B (b ,c)成中心對稱(ab，貝U y = f (x)是周期 函數，且2| a- b|是其一個周期。 若函數y = f (x)圖像同時關于直線 x = a和直線x = b成軸對稱(a工b，則y = f (x)是周期函數，且2| a-b|是其一個周期。 若函數y = f (x)圖像既關于點 A (a ,c)成中心對稱又關于直線 x =b成軸對稱(ab)，貝U y = f (x)是 周期函數，且4| a b|是其一個周期。的證明留給讀者，以下給出的證明：丁函數y = f (x)圖像既關于點 A (a ,c)成中心對稱，/ f (

4、x) + f (2a x) =2c，用 2b-x 代 x 得：又t函數y = f (x)圖像直線x =b成軸對稱, f (2b -x) = f (x)代入(* )得：f (x) = 2c - f 2(a - b) + x (* )，用 2 (a-b)- x 代 x 得f 2 (a - b)+ x = 2c - f 4(a - b) + x代入(* )得:f (x) = f 4(a - b) + x,故y = f (x)是周期函數，且 4| a b|是其一個周期。二、不同函數對稱性的探究定理4.函數y = f (x)與y = 2b -f (2a - x)的圖像關于點 A (a ,b)成中心對稱。

5、定理5.函數y = f (x)與y = f (2a - x)的圖像關于直線x = a成軸對稱。 函數y = f (x)與a-x = f (a - y)的圖像關于直線x +y = a成軸對稱。 函數y = f (x)與x-a = f (y + a)的圖像關于直線x - y = a成軸對稱。定理4與定理5中的證明留給讀者，現證定理5中的設點P(x0 ,y0)是y = f (x)圖像上任一點，則yO = f (x0)。記點P( x ,y)關于直線x- y = a的軸對稱點為 P'(x1， y1)，貝U x1 = a + yO , y1 = xO a，二 xO = a + y1 , y0= x

6、1 a 代入 yO = f (xO)之中得 x1 a = f (a + y1)點P' (x1， y1)在函數x- a = f (y + a)的圖像上。同理可證：函數x - a = f (y + a)的圖像上任一點關于直線 x-y = a的軸對稱點也在函數y = f (x)的圖像上。故定理5中的成立。推論：函數y = f (x)的圖像與x = f (y)的圖像關于直線x = y成軸對稱。三、三角函數圖像的對稱性列表函數對稱中心坐標對稱軸方程/ = sin x(k n , O )x = k n +n /2y = cos x(k n +n /2 ,O )x = k n/ = tan x(k

7、n /2 ,O )無注：上表中k Zy = tan x的所有對稱中心坐標應該是(k n/2 ,0 )而在岑申、王而冶主編的浙江教育出版社出版的21世紀高中數學精編第一冊(下)及陳兆鎮主編的廣西師大岀版社岀版的高一數學新教案(修訂版)中都認 為y = tan x的所有對稱中心坐標是(k n , 0,這明顯是錯的。四、函數對稱性應用舉例例1 :定義在R上的非常數函數滿足：f (10+x)為偶函數，且f (5 - x) = f (5+x),則f (x) 定是()(第 十二屆希望杯高二第二試題)(A)是偶函數，也是周期函數(B)是偶函數，但不是周期函數(C)是奇函數，也是周期函數(D)是奇函數，但不是

8、周期函數解: v f (10+x)為偶函數， f (10+x) = f (10 -x).f (x)有兩條對稱軸 x = 5與x =10，因此f (x)是以10為其一個周期的周期函數，x =0即y軸也是f (x)的對稱軸，因此f (x)還是一個偶函數。故選(A)例2 :設定義域為R的函數y = f (x)、y = g(x)都有反函數，并且f(x - 1)和g-1(x - 2)函數的圖像關于直 線 y = x 對稱，若 g(5) = 1999，那么 f(4)=()。(A) 1999;( B) 2000;( C) 2001;(D) 2002。解：vy = f(x -1)和y = g-1(x - 2)

9、函數的圖像關于直線y = x對稱，二y = g-1(x - 2)反函數是 y = f(x - 1)，而 y = g-1(x - 2)的反函數是:y = 2 + g(x), / f(x- 1) = 2 + g(x), / 有 f(5 - 1) = 2 + g(5)=2001故 f(4) = 2001,應選(C)例3.設f(x)是定義在R上的偶函數，且f(1+x)= f(1 -x),當1wxw0寸，f (x) = - x,則f (8.6 ) = (第八屆希望杯高二第一試題)解：v f(x)是定義在R上的偶函數 x = 0是y = f(x)對稱軸；又v f(1+x)= f(1 - x) x = 1也

10、是y = f(x)對稱軸。故y = f(x)是以2為周期的周期函數，f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f ( - 0.6 ) = 0.3例4.函數y = sin (2x + )的圖像的一條對稱軸的方程是()(92全國高考理)(A) x = -(B) x =-(C) x =(D) x =解：函數y = sin (2x + )的圖像的所有對稱軸的方程是2x + = k +x =-，顯然取k = 1時的對稱軸方程是x =- 故選(A)例5.設f(x)是定義在R上的奇函數，且f(x+2)= -f(x),當Owxwi時，f (x) = x，貝U f (7.5 )=()(A) 0.5 (B) - 0.5 (C) 1.5 (D) -1.5解：Ty = f (x)是定義在R上的奇函數，二點(0, 0)是其對稱中心；又T f (