1、1 / 8講義：特殊平行四邊形學生： _ 學科： 八年級數學教師: _ 日期： _一、作業檢查。檢查學生的作業，及時指點。二、課前熱身：要求學生復述上節課的主要知識。三、內容講解：知識梳理一、 矩形的性質與判定1. 定義有一個角是直角的 _ 是矩形.2. 性質(1) 矩形的四個角都是_ .(2) 矩形的對角線_.矩形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，它有兩條對稱軸；它的對稱中心是_.3. 判定(1)_ 有三個角是的四邊形是矩形.對角線_ 的平行四邊形是矩形.二、 菱形的性質與判定1. 定義一組鄰邊相等的 _ 叫做菱形.2. 性質(1) 菱形的四條邊都_.(2) 菱形的對角線 _，并且每一條對角

2、線平分一組對角.3. 判定(1) 對角線互相垂直的 _ 是菱形.(2) 四條邊都相等的 _是菱形.三、 正方形的性質與判定1. 定義一組鄰邊相等的 _ 叫做正方形.2. 性質 具有菱形和矩形的一切性質。(1) 正方形的四條邊都 _ ，四個角都是 _ .(2) 正方形的對角線 _，且互相 _ ;每條對角線平分一組對角.(3) 正方形是軸對稱圖形，兩條對角線所在直線，以及過每一組對邊中點的直線都是它的對稱軸；正方形是 中心對稱圖形，對角線的交點是它的對稱中心.3. 判定(1) 一組鄰邊相等并且有一個角是直角的 _是正方形.(2) 一組鄰邊相等的_是正方形.(3) 對角線互相垂直的_ 是正方形.(4

3、) 有一個角是直角的 _ 是正方形.(5) 對角線相等的_是正方形.考點一矩形的性質與判定1. 定義：有一個內角是直角的平行四邊形是矩形.2. 性質：(1)矩形的四個角都是直 矩形的對角線相等.矩形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，它有兩條對稱軸；它的對稱中心是對角線的交點.2 / 83. 判定：定義3 / 8(1)有三個角是直角的四邊形是矩形.(2)對角線相等的平行四邊形是矩形.考點二菱形的性質與判定1 定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.2. 性質：(1) 菱形的四條邊都相 _(2) 菱形的對角線互相垂直且平分，并且每一條對角線平分一組對角.3. 判定： 定義(1)對角線互相垂直的平行

4、四邊形是菱形.(2)四條邊都相等的四邊形是菱形.考點三正方形的性質與判定1. 定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形.2. 性質：具有菱形和矩形的一切性質。(1) 正方形的四條邊都相等，四個角都是直角_(2) 正方形的對角線相等，且互相垂直平分；每條對角線平分一組對角.(3) 正方形是軸對稱圖形，兩條對角線所在直線，以及過每一組對邊中點的直線都是它的對稱軸；正方形是 中心對稱圖形，對角線的交點是它的對稱中心.3. 判定：(1) 一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形是正方形.一組鄰邊相等的矩形是正方 形. 定義對角線互相垂直的矩形是正方形.(4) 有一個角是直角的菱形是正方形.(5)對角線相等

5、的菱形是正方形.課前熱身：1.如圖所示，已知YABCD，下列條件:AC= BD，AB = AD，/ 1 =72，AB 丄 BC 中，能說明 Y ABCD 是矩形的有_(填寫序號).2.如圖，在 菱形ABCD 中，AB = 15，7ADC = 120 貝 U B，D 兩點之間的距離為().( ).D .等腰三角形求證：BE = CF.A. 15B 吟3 4C. 7.5D. 15 34 / 8例題講解：一、矩形的性質與判定（1）求證：DA 丄 AE;試判斷 AB 與 DE 是否相等，并證明你的結論.分析：第題利用鄰補角的角平分線互相垂直易證；第 題中，AB 與 DE 是四邊形 ADBE 的對角線，

6、可 考慮利用矩形的判定證四邊形ADBE 是矩形即可.解：證明：/ AD, AE 分別平分/ BAC, / BAF ,1 1/BAD=-ZBAC, /BAEBAF.2 2/ZBAC+ ZBAF=180,1 1ZBAD +ZBAE = 2（ZBAC +ZBAF） = 2x180 = 90,即ZDAE = 90. DA 丄 AE.（2）AB= DE.理由是：/ AB = AC , AD 平分ZBAC , AD 丄 BC . / ADB = 90/BE 丄 AE , / AEB = 90/ZDAE = 90 四邊形 ADBE 是矩形. AB= DE .方法總結：矩形的定義既可以作為性質，也可以作為判定

7、矩形的性質是求證線段或角相等時常用的知識 點證明一個四邊形是矩形的方法：（1）先證明它是平行四邊形，再證明它有一個角是直角；（2 ） 先證明它是平行四邊形，再證明它的對角線相等；證明有三個內角為 90 .【例 2】如圖，在厶 ABC 中，點 O 是 AC 邊上（端點除外）的一個動點，過點 O 作直線 MN II BC.設 MN 交ZBCA的平分線于點 E,交ZBCA 的外角平分線于點 F，連接 AE, AF.那么當點 O 運動到何處時，四邊形 AECF 是矩形？并證明你的結論.分析：判定一個四邊形是矩形， 可以先判定四邊形是平行四邊形，再找一個內角是直角或說明對角線相等.解：當點 O 運動到

8、AC 的中點（或 OA = OC）時，四邊形 AECF 是矩形.證明：/ CE 平分ZBCA ,./1 =Z2.又/MN /BC，/1= Z3,=Z2, EO=CO.同理，FO = CO,EO= FO.【例1】如圖， ABC 中，AB= AC,BE 丄AE.c5 / 8又 OA = OC ,四邊形 AECF 是平行四邊形.又/1= Z2, Z4=Z5,/+ /5=Z2+/4.又 v/1+ Z5+/2+Z4=180, 2 + Z4= 90 即/ECF = 90.四邊形 AECF 是矩形.觸類旁通：如圖，將矩形紙片 ABCD 沿對角線 BD 折疊，點 C 落在點 E 處，BE 交 AD 于點 F,

9、連接 AE.求證：(1)BF = DF ;(2)AEBD.證明：(1)在矩形 ABCD 中，AD /BC, AD = BC ,2 = 22.2 = 23, 2 = 23,.BF=DF.(2) TAD = BC= BE, BF = DF ,AF = EF,/zAEB= 2EAF./zAFE= 2BFD, 21= 23,/zAEB =23,.AE /BD.二、菱形的性質與判定【例 2 如圖，AD / EF，點 B, C 在 AD 上，21 =22, BF = BC .(1) 求證：四邊形 BCEF 是菱形；若 AB = BC= CD，求證： ACFBDE.證明：(1) / AD / FE ,2FE

10、B =22. 21= 22, 2FEB= 21.二 BF=EF./ BF = BC , BC = EF.6 / 8四邊形 BCEF 是平行四邊形.又/ BF = BC, YBCEF 是菱形.(2) / EF = BC, AB = BC= CD , AD / FE.7 / 8四邊形 ABEF，四邊形 CDEF 均為平行四邊形. AF = BE , FC = ED .又 AC= 2BC = BD,ACFBDE(SSS).方法總結：菱形的定義既可作為性質， 也可作為判定.(2)首先證明是平行四邊形，然后證明有一組鄰邊相等；BC 的延長線于點 E.(1) 求 ABDE 的周長；(2) 點 P 為線段

11、BC 上的點，連接【例 3】如上右圖，矩形 ABCD 的對角線相交于點 O, DE / AC, CE / BD.(1) 求證：四邊形 0CED 是菱形；(2) 若/ ACB= 30 菱形 0CED 的面積為 8 雨，求 AC 的長.分析：先證明四邊形 0CED 是平行四邊形，然后證明它的一組鄰邊相等；(2)因為 D0C 是等邊三角形, 根據菱形的面積計算公式可以求菱形的邊長，從而求出AC 的長.解：(1)證明：TDE /0C, CE /0D，四邊形 0CED 是平行四邊形.四邊形 ABCD 是矩形， A0= 0C = B0 = 0D.四邊形 0CED 是菱形.vZACB=30ZDC0=90 -

12、30=601過 D 作 DF 丄 0C 于 F,貝 U CF = 20C ,設 CF = x,貝 U 0C= 2x, AC= 4x.亠亠DF在 RtADFC 中，tan 60 =C,DF = FC tan 60 = 3x.由已知菱形 OCED 的面積為 8 .3 得 OC DF = 8 ,3，即 2x 3x= 8 3解得 x= 2./AC = 4X2= 8.觸類旁通：如圖，在一 ABCD 中，對角線 AC, BD 相交于點 0,過點 0 作直線 EF 丄 BD，分別交 AD , BC 于點 E 和點 F,求證：四邊形 BEDF 是菱形.4r證明一個四邊形是菱形的一般方法是:(3)對角線互相垂直

13、平分；(1)四邊相等;(4)對角線垂直的平行四邊形.觸類旁通：如圖，在菱形 ABCD 中，對角線 AC與 BD 相交于點 0, AB=5 ,AC=6.過 D 點作 DE /AC 交P0 并延長交 AD 于點 Q,求證：BP=DQ.E又0D= 0C , 0CD8 / 8三、正方形的性質與判定【例4】如圖，在正 方形 ABCD 中,E, F, G, H 分別為邊 AB, BC, CD, DA 上的點,HA = EB = FC9 / 8=GD，連接 EG, FH，交點為 O.分析：根據題目的條件可先證 AEH , BFE , CGF , DHG 四個三角形全等，證得四邊形EFGH 的四邊相等，然后由

14、全等再證一個角是直角.解：四邊形 EFGH 是正方形.證明： 四邊形 ABCD 是正方形，./A =/B =/C =/D = 90 AB = BC = CD = DA.HA = EB = FC = GD ,AE= BF = CG= DH.AEHBFECGFDHG.EF = FG = GH = HE. 四邊形 EFGH 是菱形. 由厶 DHGAEH，知/ DHG =ZAEH./AEH+ ZAHE=90, ZDHG+ ZAHE=90 .ZGHE=90.菱形 EFGH 是正方形.1方法總結：證明一個四邊形是正方形可從以下幾個方面考慮：（1） “平行四邊形” + “一組鄰邊相等” + “一個角為直角”

15、；（2） “矩形” + “一組鄰邊相等”；（3） “矩形” + “對角線互相垂直”；“菱形” + “一個角 為直角” ；（5） “菱形” + “對角線相等”.中考回放：1. （2012 山東濱州）若菱形的周長為 8 cm ,高為 1 cm ,則菱形兩鄰角的度數比為（）.A. 3 ： 1 B. 4: 1C. 5： 1 D. 6 : 12. （2012 江蘇泰州）下列四個命題：一組對邊平行且一組對角相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形；順次連接矩形四邊中點得到的四邊形是菱形；正五邊形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形.其中真命題.共有（）.A . 1 個 B . 2 個 C.

16、 3 個 D . 4 個3. （2011 江蘇南京）如圖，菱形 ABCD 的邊長是 2 cm , E 是 AB 的中點，且 DE 丄 AB,則菱形 ABCD 的面積 為cm2.ABCD 中，對角線 AC, BD 交于點 O,下列說法錯誤的是（將正方形 ABCD 沿線段 EG， HF 剪開， 再把得到 方形 ABCD的邊長為 3 cm, HA = EB = FC = GD = 1 cm,的四個四邊形按圖的方式拼接成一個四邊形若正則圖中陰影部分的面積為 _cm2.4. （2012 四川成都）如上右圖，在菱形如圖，連接 EF , FG , GH , HE，試判斷四邊形 EFGH 的形狀，并證明你的結

17、論; 10 / 8A . AB II DCB. AC= BDC.AC 丄BDD . OA = OC11 / 85. （2012 江蘇蘇州）如圖，矩形 ABCD 的對角線 AC, BD 相交于點 O, CE/ BD , DE II AC.若 AC= 4，則四邊形 CODE 的周長是（）6. （2012 貴州銅仁）以邊長為 2 的正方形的中心 O 為端點，引兩條相互垂直的射線，分別與正方形的邊交 于 A, B兩點，則線段 AB 的最小值是 _ .7. （2012 山東臨沂）如圖，點 A, F, C, D 在同一直線上， 點 B 和點 E 分別在直線 AD 的兩側，且 AB= DE ,/A=ZD,A

18、F=DC.求證：四邊形 BCEF 是平行四邊形；（2）若/ ABC= 90 AB = 4, BC= 3,當四、課堂小結要求學生復述本節課重點內容。五、作業布置1.下列說法不正確的是（）.A 一組鄰邊相等的矩形是正方形 C.對角線互相垂直的矩形是正方形2.如圖，四邊形 ABCD 為矩形紙片，把紙片 ABCD 折疊，使點 B 恰好落在 CD 邊的中點 E 處，折痕為 AF. 若 CD = 6,則 AF 等于（）.A . 4 3B. 3.3C. 4 2D. 83._如上右圖，四邊形 ABCD 是正方形，延長 AB 到 E,使 AE = AC,則/ BCE 的度數是 _ .4.我們把依次連C. 8AF 為何值時，四邊形 BCEF 是菱形?B .對角線相等的菱形是正方形D .有一個角是直角的平行四邊形是正方形C12 / 8接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫做中點四邊形.若一個四邊形ABCD 的中點四邊形是一個矩形，則四邊形ABCD 可以是_.（寫出一個你認為正確的結論即可）5._如圖，點 P 是邊長為 1 的菱形 ABCD 對角線 AC 上一個動點，點 M , N 分別是 AB, BC邊上