1、§7. 2 正態總體均值與方差的假設檢驗一、簡介對于正態總體,其參數無非是兩個:均值(期望µ和方差,如果加上兩總體的參數比較,概括起來,對參數的假設一般只有如下四種情形:2(對µ,(對,(對221µµ,(對. 2221/檢驗的類別和方法:關于均值的檢驗 (方差未知檢驗法方差已知檢驗法t u 關于方差的檢驗(2兩個正態總體檢驗法一個正態總體檢驗法F 下面我們將分別予以討論。 二、正態總體均值µ 的檢驗(一 u 檢驗u 檢驗適應在方差已知的情況下,對均值的檢驗(一個總體或兩個總體。 1. 一個正態總體情形設總體,樣本來自總體X , 已知.

2、 ,(2µN X ,(21n X X X 21° 提出假設: H 0:; H 0µµ=1: 0µµ2° 取檢驗統計量: n X U µ0=,在H 0成立的條件下,(0,10N nX U µ=3° 給定顯著性水平 05.00(<,=u U P由21( =u .:,22u u x x n 2u 2u 4° U由樣本值計算的觀察值5°作判斷:若 H 0;否則,.0u ,則拒絕W u 0,若W u 0 則接受H . 0例 7.4 某工廠生產的銅絲的折斷力(單位:N 服從正態分布

3、N (µ, 82. 某日抽取10根銅絲, 若已認為該日生產的銅絲合格(=0.10?解 1° 假設: H 0:進行折斷力試驗, 測得結果如下:578, 572, 570, 568, 572, 570, 572, 596, 584, 570知µ=576, 問是否可以576=µ H 1:576µ 108576=X U2° 取檢驗統計量: (0,1108576N X U =在H 0成立的條件下,10.0=,10.005.0=u U P 3° 給定顯著性水平 由 查表可得臨界值 拒絕域:95.0(05.0=u .645.105.0=u

4、 .645.1:,(05.021=u u x x x W n4° 由樣本值計算0u 2.575=x U 的觀察值 這里 n =10, 算得 .,于是 .645.1316.01085762.5750<=u 50作判斷,因為W u 0 所以接受H ,即在顯著水平=0.10下,可認為該日生產的銅絲合格。0例 7.5 微波爐在爐門關閉時的輻射量是一個重要的質量指標,某廠該指標服從正態分布N (µ, 2. 長期以來1.0=,且均值都符合要求不超過0.12. 為檢查近期產品的質量,抽查了25臺,得其爐門關閉時輻射量的均值.1203.0=x 試問在=0.05 水平下該廠爐門關閉時輻

5、射量是否升高了?µ解 1° 假設: H 0:12.0µ 12.0> 此問題屬于單側假設檢驗問題. 已知1.0=, H 1: n =25.2° 取檢驗統計量: 251.0µ=X U(0,1251.0N X U µ=在H 0成立的條件下,05.0=,05.005.0=u U P 3° 給定顯著性水平 由 05.0=u 95.0( 查表可得臨界值 .645.105.0=u12.0µ若H 0成立,則 ,從而251.012.0251.0=X U X U µ05.005.0u U u U ,則若. 所以拒絕域:

6、4° 由樣本值計算U 的觀察值 這里 n =25, 05.005.0u U u U 事件事件05.005.005.0=u U P u U P.645.1:,(05.021=u u x x x W n1203.0=x .0u ,于是 645.1015.0251.012.01203.0251.012.00<=×=x u50作判斷,因為W u 0 所以接受H 0,即在顯著水平=0.05下,可認為當前生產的微波爐關門時的輻射量無明顯升高. 兩個總體檢驗適應的問題的一般提法如下:設為出自的樣本,Y Y Y 為出自µN 的樣本,2.兩個正態總體情形u .,(121n X

7、 X X ,(211µN .,(,(21,2221n 2221µµ=21µµ 已知,兩個總體的樣本之間獨立。1° 提出假設: H 0:; H 1:2° 取檢驗統計量: 222121(n n Y X U +=1,0(222121N n n Y X U +=在H 0成立的條件下,3° 給定顯著性水平 05.00(<,=2u U P,21(=u 查表可得臨界值 .2u由拒絕域:,;,(2y x x x W = ,221211u u y y n n 4° 由樣本值計算U 的觀察值u .:,05°,

8、W u 則接受H .作判斷:若 ,則拒絕W u 0H 0;否則,若00例 7.6 一卷煙,化驗尼古丁的含量是否相同,從A , B 中1 2426據經驗知,尼古丁含量服從正態分布,且A 種的方差為B 種的方差為8,取=0.05,問兩種差異?解 設兩種煙草的尼古丁平均含量分別為 1° 提出零假設: H 0:; H 1:2° 取檢驗統計量: 廠向化驗室送去A , B 兩種煙草各隨機抽取重量相同的五例進行化驗,測得尼古丁的含量(單位:毫克為:A :24 27 26 2B :27 28 23 31 5,21µµ和.煙草的尼古丁含量是否有21µµ

9、=21µµ 222121(n n Y X U +=1,0(2在H 0成立的條件下,22121N n n Y X U +=3° 給定顯著性水平 05.0=,05.0025.0=u U P 由 查表可得臨界值 拒絕域:975.0(025.0=u .96.1025.0=u .96.1:,;,(212121=u y y y x x x W n n 4° 由樣本值:27,4.24,521=y x n n 計算U 的觀察值.0u 612.15852+n 5274.24(221210=+=n y x u 5°作判斷:,因為W u 0 所以接受H 0,即在顯著

10、水平=0.05下,認為兩種煙草的尼古丁含量是無顯著差異.7.2中: 表7.2 統計假設方差已知時,對正態總體期望的假設檢驗小結于表對總體要求檢方法H 0H 1驗 統計量 拒絕域 時,對期望的檢驗,可以是單總體,也可是雙總體。當然對于雙總體,它們的樣本之間應該是獨立的。 1.設總體,樣本來自總體X ,未知. 1° 提出假設: H 0:; H 1:(二 t 檢驗t 檢驗用于當方差未知 一個正態總體情形,(2µN X ,(21n X X X 20µµ=0µµ nS X T n =µ 2° 取檢驗統計量在H 0成立的條件下

11、,=T 1(0n t nS X n µ3° 給定顯著性水平 05.00(<,=1(n t T P查表可得臨界值 .(2n t 拒絕域:,=t x W n 1.1(:,(221n t x x 22.0t 4° 由樣本值計算T 的觀察值5°作判斷:若 ,則拒絕W t 0H 0;否則,若W t 0 則接受H 0.例 7.7 設某次考試的考生成績服從正態分布,從中隨機地抽取36位考生的成績,算得平均成績為66.5分,修正的標準差為15分. 問:在顯著水平0.05下,是否可以認為這次考試全體考生的平均成績為70分?解 設該次考試的學生成績為X ,則,(2&#

12、181;N X 1° 提出假設: H 0: nS X T n =µ 70=µ70µ H 1由于未知,所以用t 檢驗法. :22° 取檢驗統計量1(0在H 0成立的條件下,=t T n nS X n µ 3° 給定顯著性水平 05.0=,=1(2n t T P由得臨界值 36=, 查表可.0301.235(025.=15,5.66,36=ns x n , n 1(02=t n t 拒絕域:.0301.2:,(21=t x x x W n4° 由樣本值計算T 的觀察值: 0301.24.136150=t ,因為W t

13、705.66< 5°作判斷:0 所以接受H 0,即在顯著水平=0.05下,可以認為這次考試全體考生的平均成績為總體情形對于兩個總體,一般地討論比較麻煩,通常考慮兩種特殊情況: 70分.2.兩個正態 (1=21(未知,這一情形問題的一般提法是:設為來自的樣本,為來的樣假設:2111o <>或或µµµ的顯著水平為,(121n X X X ,(21µN ,(221n Y Y Y ,(22µN 自0,0(0:本,兩個總體的樣本之間獨立,需檢驗H ;0H 2=µ21µµ=21µµ

14、;的檢驗。檢驗步驟:1° 提出假設: H 0:; H 1:2° 取檢驗統計2212222111(1(21n n S n S n T nn +=量: 在H 0成立的條件下,(=n t T 2(1(1(2121212122221121+n n n n n n n S n S n Y X nn3° 給定顯著性水平 05.00(<,=+2(212n n t T P查表可得臨界值 .2(21+n n t .2(:,;,(212121221+=n n t t y y y x x x W n n 拒絕域:4° 由樣本值計算T 的觀察值作判.0t 5°

15、斷:若 t 0H ;否則,0,若W t 0 則接受H .(221,未知,但,則可考慮所謂配對檢驗法。此時令n n n =21,則拒絕W =nS Z Z 21,1=ni ini i i i i Z Zn nZ n i Y X 121(1,2,1,由于當21µµ=時,且相互獨立,則,0(2221+N Z i 1(1(,0(2222122221+n S n n N Z 2nS Z 與獨立,故1(111(222122221=+=n t n S Zn S n nZT nn 且t 可作為0=µµH 。8羊毛在處理前后,各抽取樣本,側得含脂率如下(% 1 30 27

16、的檢驗統計量0:21例 7. 某種: 處理前 19 18 21 30 66 42 8 2 05.0=處理后 4162,8,102121=+=n n n n 自由度:已知.151372419820羊毛含脂率服從正態分布,問:處理后含脂率有無顯著變化(?解 1° 假設: H 0:; H 1:21µµ=21µµ212222111(1(21n n S n S n T nn +=2° 取檢驗統計量: 在H 0成立的條件下,16(2(2(1(1(1Y X +=05.0=,05.016(025.0=t T P 22121212222111t n n

17、 t n n n n n n S n S n T n n =+3° 給定顯著性水平 2.12.216(025.0=t查表可得臨界值 拒絕域:.12.2:,;,(212121=t y y y x x x W n n4° 由樣本值計算T 的觀察值 .0t 64.4975.13(181,1.2813.27(110175.13,3.278122110122121=i in i in ys xs y x ,1522.212(2120+=n n n x t1(1(211222211+n n n s n s n y nn,即可以認為處理后含脂率有顯著變化.表7.321 5°作判

18、斷:因為 ,所以拒絕W t 0H 0方差未知時,對正態總體期望的假設檢驗小結于表7.3中: 2F 2F(三檢驗和檢驗(test and test 2檢驗和F 檢驗都是對于方差的檢驗,前者用于一個正態總體的方差檢驗.,后者用于兩個正態總體的方差比的檢驗。檢驗為出自的樣本,要對參數進行檢驗,這里1.設,(21n X X X ,(2µN 2µ2往往是未知的。0:; H 1:2=202201° 提出假設: H 2° 選擇統計量:2= n S n n (在H 0成立下3° 給定顯著性水平 05.00(<1(1(2202,拒絕域為1(1(,(2122

19、22122=n n x x x W n : 如圖7-3所示。 圖7-3此時,.|(0=+=H W P2的觀察值 20224° 由樣本值計算. 25°作判斷:若 ,則拒絕W 0H 0;否則,若W 0 則接受H 2例 7.9 某廠生產的汽車蓄電池使用壽命服從正態分布,其說明書上寫明其標準差不超過0.9a ,現隨機抽取10只,得修正樣本標準差為1.2a ,試在005.0=水平下檢驗廠方說明書上所寫的標準差是否可信.; H 1:采用檢驗法,為單側檢驗.2° 選擇統計量:解1° 假設: H 0:29.029.0>21(22=n n 1222S n(在H 0成

20、立下3° 給定顯著性水平05.0=, 查表得 拒絕域為221=n W ,其中919.1699205.02=( 9(919.169(,2220229.091(=nnS S n (2=:x x x 2的觀察值 .204° 由樣本值計算919.169(169.02.1 922×,因為W 20 所以接受H 0,即認為在05.0=05.0220=<= 5°作判斷:水平下廠方說明書上所寫的標準差可信。設,1X X 出1n Y Y 為出自的樣本,且樣本之間獨立。考慮假設(H : ; : (四 F 檢驗,N 2,(222µN 1,2n X 為自,(211

21、µ的樣本,2Y 21=22 1H 2122 0(: ; H : 對此可采用統計量0H 2122 2>211222222121/S F /=S 進行檢驗,易知,對于(,在下,我們可取拒絕域為0H 1,1(21n n F F 1,1(1,1(2112122><=n n F F n n F F W 此時.0.例 7.10 假設其壽命服從正態分布,=|(0H W P 對于(,類似前面的討論,可取拒絕域為1,1(211>=n n F F W 此時|(H W P 現有兩箱燈泡,今從第一箱中抽取9只,算得壽命的樣本均值 ,1532=x 樣本均方差 ;43211=n s 從第

22、二箱中抽取18只,算得壽命的樣本均值 ,1532=x 樣本均方差; 作適當的檢驗,對38022=n s 05.0=,檢驗是否可以認為這兩箱燈泡壽命服從同一正態分布. F0.025 (18,9 = 3.69 t 0.025 (27 = 2.052 F0.025 (9,18 = 2.93 F0.025 (17,8 = 4.05 t 0.025 (25 = 2.06 F0.025 (8,17 = 3.061 解 設第一箱、第二箱燈泡壽命分別為 X, Y. X 與 Y 獨立， 2 2 X N ( 1 , 1 , Y N ( 2 , 2 (1 先作 F 檢驗 1° 假設: H0： 1 = 2

23、; 2 2 H1： 1 2 2 2 2 S 2 / 1 S 2 = 1 F (n1 1, n 2 2 = F (8,17 (在H0成立下 2° 取統計量： F = 1 2 S 22 / 2 S 22 3° 給定顯著性水平 = 0.05 ， 由 F0.025 (17,8 = 4.05 得 F0.975 (8,17 = 拒絕域為 W = ( x1 , , x n ; y1 , 1 1 1 = 0.247 F0.025 (17,8 4.05 , y n : F F0.975 (8,17 = 0.247 F F0.025 (8,17 = 3.061 ， 2 4° 由樣本值計算 F 的觀察值 f 0 1.32. 5° 作判斷： 因為 f 0 W，所以接受H0，即可認為 1 = 2 . 2 2 (2 再作 t 檢驗 1° 假設: H0： 1 = 2 ； H1： 1 2 2° 取檢驗統計量： T = (X Y 2 2 n1 S1n + n 2 S 2n 1 2 n1n 2 (n1 + n 2 2 n1 + n 2 在H0成立的條件下， T= (X Y 2 2 n1 S1n +