1、平行四邊形性質和判定綜合習題（2014.7.25）一解答題1. （2011?資陽）如圖，已知四邊形 ABCD為平行四邊形，AE丄BD于E, CF丄BD于F.（1）求證：BE=DF ;（2）若 M、N分別為邊AD、BC上的點，且 DM=BN，試判斷四邊形 MENF的形狀（不必說明理由）2. （2011?昭通）如圖所示，？AECF的對角線相交于點 求證：四邊形 ABCD是平行四邊形.O, DB經過點O,分別與 AE, CF交于B, D.3. （2011?徐州）如圖，在四邊形 ABCD中，AB=CD , BF=DE , AE丄BD , CF丄BD，垂足分別為 E, F.（1）求證： ABE CDF

2、;（2）若AC與BD交于點 O,求證：AO=CO .4. （2011?銅仁地區）已知：如圖，在 ABC中，/ BAC=90 ° DE、DF是厶ABC的中位線，連接EF、AD .求證：EF=AD .BD.FC二A5. （2011?瀘州）如圖，已知 D是厶ABC的邊AB上一點，CE / AB , DE交AC于點O,且OA=OC，猜想線段 CD與線段 AE的大小關系和位置關系，并加以證明.6. （2010?恩施州）如圖，已知， ?ABCD中，AE=CF , M、N分別是 DE、BF的中點. 求證：四邊形 MFNE是平行四邊形.7. （2009?永州）如圖，平行四邊形 ABCD , E、F兩

3、點在對角線 BD上，且BE=DF，連接AE , EC, CF, FA. 求證：四邊形 AECF是平行四邊形.22 / 20& （2009?來賓）在？ABCD中，分別以AD、BC為邊向內作等邊 ADE和等邊 BCF，連接BE、DF .求證：四邊形 BEDF 是平行四邊形.AB9. （2006?黃岡）如圖所示， DB / AC，且DB=AC , E是AC的中點，求證：BC=DE .210. （2006?巴中）已知：如圖，在梯形 ABCD中，AD / BC, AD=24cm , BC=30cm，點P自點A向D以1cm/s的速度運 動，至U D點即停止.點 Q自點C向B以2cm/s的速度運動，

4、到 B點即停止，直線 PQ截梯形為兩個四邊形.問當P, Q同時出發，幾秒后其中一個四邊形為平行四邊形？11. （2002?三明）如圖：已知 D、E、F分別是 ABC各邊的中點, 求證：AE與DF互相平分.12.已知：如圖，在 ？ABCD中，對角線 AC交BD于點O,四邊形 AODE是平行四邊形.求證：四邊形ABOE、四邊形DCOE都是平行四邊形.13.如圖，已知四邊形 ABCD中，點E, F, G, H分別是AB、CD、AC、BD的中點，并且點 E、F、G、H有在同一條直 線上.求證：EF和GH互相平分.14 .如圖：?ABCD 中，MN / AC，試說明 MQ=NP .15.已知：如圖所示，

5、平行四邊形ABCD的對角線AC , BD相交于點O, EF經過點0并且分別和AB , CD相交于點E,F,點G, H分別為0A , 0C的中點.求證：四邊形 EHFG是平行四邊形.16.如圖，已知在？ABCD中，E、F是對角線 BD上的兩點，BE=DF，點G、H分別在BA和DC的延長線上，且 AG=CH , 連接 GE、EH、HF、FG.(1) 求證：四邊形 GEHF是平行四邊形；(2) 若點G、H分別在線段BA和DC上，其余條件不變，則(1)中的結論是否成立？(不用說明理由)17.如圖，在厶ABC中，D是AC的中點，E是線段BC延長線一點，過點A作BE的平行線與線段 ED的延長線交于點 F,

6、 連接AE、CF .(1) 求證：AF=CE ;(2)如果AC=EF，且/ ACB=135 °試判斷四邊形 AFCE是什么樣的四邊形，并證明你的結論.18.如圖平行四邊形 ABCD中，/ ABC=60。，點E、F分別在 CD、BC的延長線上，AE / BD , EF丄BF ,垂足為點 F, DF=2(1)求證：D是EC中點；(2 )求FC的長.19. (2010?廈門)如圖，已知 ABC是等邊三角形，點 D、F分別在線段 BC、AB上，/ EFB=60 ° DC=EF .(1)求證：四邊形 EFCD是平行四邊形；(2 )若 BF=EF，求證：AE=AD .20. (2010

7、?濱州)如圖，四邊形 ABCD , E、F、G、H分別是 AB、BC、CD、DA的中點.(1) 請判斷四邊形 EFGH的形狀？并說明為什么；(2) 若使四邊形EFGH為正方形，那么四邊形 ABCD的對角線應具有怎樣的性質？21 . (2008?佛山)如圖， ACD、 ABE、 BCF均為直線BC同側的等邊三角形.(1 )當AB朋C時，證明：四邊形 ADFE為平行四邊形；(2)當AB=AC時，順次連接 A、D、F、E四點所構成的圖形有哪幾類？直接寫出構成圖形的類型和相應的條件.22.如圖，以 ABC的三邊為邊，在 BC的同側分別作三個等邊三角形即 ABD、 BCE、 ACF，那么，四邊形 AFE

8、D是否為平行四邊形？如果是，請證明之，如果不是，請說明理由.23. （ 2007?黑龍江）在厶ABC中，AB=AC，點P為厶ABC所在平面內一點， 過點P分別作PE/ AC交AB于點E, PF/ AB 交BC于點D，交AC于點F.若點P在BC邊上（如圖1）,此時PD=0，可得結論：PD+PE+PF=AB .請直接應用上述信息解決下列問題：當點P分別在 ABC內（如圖2） , ABC外（如圖3）時，上述結論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，PD,PE, PF與AB之間又有怎樣的數量關系，請寫出你的猜想，不需要證24. （2006?大連）如圖1, P為Rt ABC所在平面內任意一點（不在直線

9、AC上），/ ACB=90 ° M為AB邊中點.操作:以PA、PC為鄰邊作平行四邊形 PADC ,連續PM并延長到點E,使ME=PM，連接DE .探究：（1）請猜想與線段 DE有關的三個結論；（2）請你利用圖2,圖3選擇不同位置的點 P按上述方法操作；（3）經歷（2）之后，如果你認為你寫的結論是正確的，請加以證明；如果你認為你寫的結論是錯誤的，請用圖2或圖3加以說明；（注意：錯誤的結論，只要你用反例給予說明也得分）（4） 若將Rt ABC”改為 任意 ABC”，其他條件不變，利用圖 4操作，并寫出與線段 DE有關的結論（直接寫答案）.平行四邊形性質和判定綜合習題(2014.7.25)

10、答案一.解答題(共30小題)1. (2011?資陽)如圖，已知四邊形 ABCD為平行四邊形，AE丄BD于E, CF丄BD于F.(1) 求證：BE=DF ;(2) 若 M、N分別為邊AD、BC上的點，且 DM=BN，試判斷四邊形 MENF的形狀(不必說明理由)考點：平行四邊形的判定與性質；全等三角形的判定與性質。分析：(1)根據平行四邊形的性質和已知條件證明 ABECDF即可得到BE=DF ;(2)根據平行四邊形的判定方法：有一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形判定四邊形MENF的形狀.解答：(1)四邊形 ABCD是平行四邊形, AB=CD , AB / CD ,/ ABD= / CDB ,/

11、 AE 丄 BD 于 E, CF丄 BD 于 F,/ AEB= / CFD=90 ° ABE CDF (A . A . S.), BE=DF ;(2) 四邊形MENF是平行四邊形.證明：有(1)可知：BE=DF, 四邊形ABCD為平行四邊行, AD / BC,/ MDB=MBD , DM=BN , DNF BNE , NE=MF，/ MFD= / NEB ,/ MFE= / NEF , MF / NE ,四邊形MENF是平行四邊形.點評：本題考查了平行四邊形的性質以及平行四邊形的判定和全等三角形的判定以及全等三角形的性質.2. (2011?昭通)如圖所示，？AECF的對角線相交于點

12、O, DB經過點O ,分別與AE , CF交于B , D . 求證：四邊形 ABCD是平行四邊形.考點：平行四邊形的判定與性質；全等三角形的判定與性質。專題：證明題。分析：平行四邊形的對角線互相平分，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形. 解答：證明：四邊形 AECF是平行四邊形 OE=OF , OA=OC , AE / CF,/ DFO= / BEO，/ FDO= / EBO, FDO EBO , OD=OB ,/ OA=OC ,四邊形ABCD是平行四邊形.點評：本題考查平行四邊形的性質定理和判定定理，以及全等三角形的判定和性質.3. (2011?徐州)如圖，在四邊形 ABCD中，AB=CD

13、, BF=DE , AE丄BD , CF丄BD，垂足分別為 E, F.(1) 求證： ABE CDF ;(2) 若AC與BD交于點 O,求證：AO=CO .考點：平行四邊形的判定與性質；全等三角形的判定與性質。專題：證明題。分析：(1 )由BF=DE，可得BE=CF，由AE丄BD , CF丄BD，可得/ AEB= / CFD=90 °又由AB=CD，在直角三角形中利 用HL即可證得： ABECDF ;(2 )由厶ABE CDF，即可得/ ABE= / CDF，根據內錯角相等，兩直線平行，即可得AB / CD，又由AB=CD，根據有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即即可證得四邊

14、形ABCD是平行四邊形，則可得 AO=CO .解答：證明：(1)v BF=DE , BF - EF=DE - EF,即 BE=DE ,/ AE 丄 BD , CF丄 BD , / AEB= / CFD=90 °/ AB=CD , Rt ABE 也 RtA CDF (HL );(2) ABE CDF , / ABE= / CDF , AB / CD ,/ AB=CD ,四邊形ABCD是平行四邊形， AO=CO .點評：此題考查了全等三角形的判定與性質與平行四邊形的判定與性質.此題難度不大，解題的關鍵是要注意數形結合思 想的應用.4. (2011?銅仁地區)已知：如圖，在 ABC中，/

15、BAC=90 ° DE、DF是厶ABC的中位線，連接EF、AD .求證：EF=AD . BD.FEA考點：平行四邊形的判定與性質；三角形中位線定理。 專題：證明題。分析：由DE、DF是厶ABC的中位線，根據三角形中位線的性質，即可求得四邊形AEDF是平行四邊形，又/ BAC=90 °則可證得平行四邊形 AEDF是矩形，根據矩形的對角線相等即可得EF=AD .解答：證明：T DE , DF是厶ABC的中位線， DE / AB , DF / AC ,四邊形AEDF是平行四邊形，又/ BAC=90 °平行四邊形 AEDF是矩形， EF=AD .點評：此題考查了三角形中位

16、線的性質，平行四邊形的判定與矩形的判定與性質此題綜合性較強，但難度不大，解題的 關鍵是注意數形結合思想的應用.5. （2011?瀘州）如圖，已知 D是厶ABC的邊AB上一點，CE / AB , DE交AC于點0,且0A=0C，猜想線段 CD與線段 AE的大小關系和位置關系，并加以證明.考點：平行四邊形的判定與性質。專題：探究型。分析：根據CE/ AB , DE交AC于點0,且0A=0C，求證 AD0ECO，然后求證四邊形 ADCE是平行四邊形，即可得出結論.解答：解：猜想線段 CD與線段AE的大小關系和位置關系是：平行且相等.證明： CE/ AB ,/ DA0= / EC0,/ 0A=0C ,

17、 AD0 EC0, AD=CE ,四邊形ADCE是平行四邊形， CD丄AE.點評：此題主要考查了平行四邊形的判定與性質等知識點的理解和掌握，解答此題的關鍵是求證 AD0EC0，然后可得證四邊形ADCE是平行四邊形，即可得出結論.6. （2010?恩施州）如圖，已知， ?ABCD中，AE=CF , M、N分別是 DE、BF的中點.求證：四邊形 MFNE是平行四邊形.考點：平行四邊形的判定與性質；全等三角形的判定與性質。專題：證明題。分析：平行四邊形的判定方法有多種，選擇哪一種解答應先分析題目中給的哪一方面的條件多些，本題所給的條件為N分別是DE、BF的中點，根據條件在圖形中的位置，可選擇利用一組

18、對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形”來解決.解答：證明：由平行四邊形可知，AD=CB，/ DAE= / FCB ,又 AE=CF , DAE BCF, DE=BF，/ AED= / CFB又 M、N分別是 DE、BF的中點， ME=NF又由 AB / DC，得/ AED= / EDC/ EDC= / BFC , ME / NF四邊形MFNE為平行四邊形.點評：平行四邊形的判定方法共有五種，應用時要認真領會它們之間的聯系與區別，同時要根據條件合理、靈活地選擇方 法.7. （2009?永州）如圖，平行四邊形 ABCD , E、F兩點在對角線 BD上，且BE=DF，連接AE , EC, CF, FA

19、. 求證：四邊形 AECF是平行四邊形.考點：平行四邊形的判定與性質。專題：證明題。分析：根據兩條對角線相互平分的四邊形是平行四邊形即可證明四邊形AECF是平行四邊形.解答：證明：連接AC交BD于點O,四邊形ABCD為平行四邊形， OA=OC , OB=OD ./ BE=DF , OE=OF .四邊形AECF為平行四邊形.點評：平行四邊形的判定方法共有五種，應用時要認真領會它們之間的聯系與區別，同時要根據條件合理、靈活地選擇方 法.& （2009?來賓）在？ABCD中，分別以AD、BC為邊向內作等邊 ADE和等邊 BCF，連接BE、DF .求證：四邊形 BEDF 是平行四邊形.A$考點

20、：平行四邊形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質。專題：證明題。分析：由題意先證/ DAE= / BCF=60 °再由SAS證厶DCF BAE，繼而題目得證. 解答：證明：四邊形 ABCD是平行四邊形， CD=AB , AD=CB，/ DAB= / BCD .又 ADE和厶CBF都是等邊三角形， DE=BF , AE=CF ./ DAE= / BCF=60 °/ DCF= / BCD -Z BCF ,/ BAE= Z DAB -Z DAE , Z DCF= Z BAE . DCF BAE （ SAS）. DF=BE .四邊形BEDF是平行四邊形.點評：本題

21、考查了平行四邊形的判定與性質，熟練掌握性質定理和判定定理是解題的關鍵.平行四邊形的五種判定方法與 平行四邊形的性質相呼應，每種方法都對應著一種性質，在應用時應注意它們的區別與聯系.9. （2006?黃岡）如圖所示， DB / AC，且DB=AC , E是AC的中點，求證：BC=DE .考點：平行四邊形的判定與性質。專題：證明題。分析：可根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形DBCE是平行四邊形，即可證明BC=DE .解答：證明：T E是AC的中點， EC=AC ,2又 DB= AC ,2 DB=EC .又 DB / EC,四邊形DBCE是平行四邊形. BC=DE .點評：本題考查

22、了平行四邊形的判定與性質，熟練掌握性質定理和判定定理是解題的關鍵平行四邊形的五種判定方法與 平行四邊形的性質相呼應，每種方法都對應著一種性質，在應用時應注意它們的區別與聯系.10. （2006?巴中）已知：如圖，在梯形 ABCD中，AD / BC, AD=24cm , BC=30cm，點P自點A向D以1cm/s的速度運 動，至U D點即停止.點 Q自點C向B以2cm/s的速度運動，到 B點即停止，直線 PQ截梯形為兩個四邊形.問當P, Q同時出發，幾秒后其中一個四邊形為平行四邊形？考點：平行四邊形的判定與性質；梯形。專題：動點型。分析：若四邊形PDCQ或四邊形APQB是平行四邊形，那么 QD=

23、CQ或AP=BQ，根據這個結論列出方程就可以求出時間.解答：解：設P, Q同時出發t秒后四邊形PDCQ或四邊形APQB是平行四邊形，根據已知得到 AP=t, PD=24 - t, CQ=2t, BQ=30 - 2t.（1 ）若四邊形PDCQ是平行四邊形，則 PD=CQ , 24 - t=2t t=8 8秒后四邊形PDCQ是平行四邊形；（2）若四邊形 APQB是平行四邊形，則 AP=BQ , t=30 - 2t t=10 10秒后四邊形 APQB是平行四邊形點評：此題主要考查了平行四邊形的性質與判定，不過用運動的觀點結合梯形的知識出題學生不是很適應.11. （2002?三明）如圖：已知 D、E、

24、F分別是 ABC各邊的中點, 求證：AE與DF互相平分.考點：平行四邊形的判定與性質；三角形中位線定理。專題：證明題。分析：要證AE與DF互相平分，根據平行四邊形的判定，就必須先四邊形ADEF為平行四邊形.解答：證明：T D、E、F分別是 ABC各邊的中點，根據中位線定理知：DE / AC , DE=AF ,EF / AB , EF=AD ,四邊形ADEF為平行四邊形.故AE與DF互相平分.點評：本題考查了平行四邊形的判定與性質，熟練掌握性質定理和判定定理是解題的關鍵三角形的中位線的性質定理, 為證明線段相等和平行提供了依據.12.已知：如圖，在 ？ABCD中，對角線 AC交BD于點0,四邊形

25、 AODE是平行四邊形.求證：四邊形ABOE、四邊形DC0E都是平行四邊形.考點：平行四邊形的判定與性質。專題：證明題。分析：因為?ABCD , 0B=0D，又A0DE是平行四邊形，AE=OD，所以AE=OB，又AE / 0D，根據平行四邊形的判定, 可推出四邊形 AB0E是平行四邊形同理，也可推出四邊形DC0E是平行四邊形.解答：證明：T ?ABCD中，對角線 AC交BD于點0, 0B=0D ,又四邊形 A0DE是平行四邊形， AE / 0D 且 AE=0D , AE / 0B 且 AE=0B ,四邊形AB0E是平行四邊形，同理可證，四邊形 DC0E也是平行四邊形. 點評：此題要求掌握平行四

26、邊形的判定定理：有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.13.如圖，已知四邊形 ABCD中，點E, F, G, H分別是AB、CD、AC、BD的中點，并且點 E、F、G、H有在同一條直 線上.求證：EF和GH互相平分.考點：平行四邊形的判定與性質。專題：證明題。分析：要證明EF和GH互相平分，只需構造一個平行四邊形，運用平行四邊形的性質：平行四邊形的對角線互相平分即可 證明.解答：證明：連接 EG、GF、FH、HE，點E、F、G、H分別是AB、CD、AC、BD的中點.HF= 1BC心 ABC 中, EG= BC " DBC 中, EG=HF.同理EH=GF .四邊形EGFH為平行四

27、邊形.點評：本題考查的是綜合運用平行四邊形的性質和判定定理熟練掌握性質定理和判定定理是解題的關鍵平行四邊形的 五種判定方法與平行四邊形的性質相呼應，每種方法都對應著一種性質，在應用時應注意它們的區別與聯系.14 .如圖：？ABCD 中，MN / AC，試說明 MQ=NP .專題：證明題。分析：先證AMQC為平行四邊形，得 AC=MQ，再證APNC為平行四邊形，得 AC=NP，進而求解. 解答：證明：四邊形 ABCD是平行四邊形， AM / QC , AP / NC .又 MN / AC ,四邊形AMQC為平行四邊形，四邊形 APNC為平行四邊形. AC=MQ AC=NP . MQ=NP .點評

28、：本題考查的知識點為：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.15.已知：如圖所示，平行四邊形ABCD的對角線AC , BD相交于點O, EF經過點0并且分別和AB , CD相交于點E,F,點G, H分別為0A , 0C的中點.求證：四邊形 EHFG是平行四邊形.考點：專題：平行四邊形的判定與性質；全等三角形的判定與性質。 證明題。分析：要證四邊形 EHFG是平行四邊形，需證 0G=0H , 0E=0F，可分別由四邊形 ABCD是平行四邊形和 0EB0FD得出.解答：證明：如答圖所示，點0為平行四邊形 ABCD對角線AC , BD的交點, 0A=0C , 0B=0D . G, H分別為0A ,

29、0C的中點， 0G=0A, 0H=0C,2 2 0G=0H . 又 AB / CD ,/ 1= / 2.在厶OEB和厶OFD中，/ 仁/ 2, OB=OD，/ 3= / 4, OEB OFD , OE=OF.四邊形EHFG為平行四邊形.點評：此題主要考查平行四邊形的判定：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.16.如圖，已知在？ABCD中，E、F是對角線 BD上的兩點，BE=DF，點G、H分別在BA和DC的延長線上，且 AG=CH , 連接 GE、EH、HF、FG.(1) 求證：四邊形 GEHF是平行四邊形；(2) 若點G、H分別在線段BA和DC上，其余條件不變，則(1)中的結論是否成立？(不用

30、說明理由)考點：平行四邊形的判定與性質；全等三角形的判定與性質。專題：證明題；探究型。分析：(1 )先由平行四邊形的性質，得AB=CD , AB / CD，根據兩直線平行內錯角相等得/GBE= / HDF .再由SAS可證 GBE HDF，禾U用全等的性質，證明/ GEF= / HFE，從而得GE / HF，又GE=HF，運用一組對邊平行且相等的四邊形 是平行四邊形得證.(2)仍成立可仿照(1 )的證明方法進行證明.解答：(1)證明：四邊形 ABCD是平行四邊形， AB=CD , AB / CD，/ GBE= / HDF .又 AG=CH , BG=DH .又 BE=DFGBE HDF . G

31、E=HF，/ GEB= / HFD，/ GEF= / HFE , GE / HF，四邊形 GEHF是平行四邊形.(2)解：仍成立.(證法同上)點評：本題考查的知識點為：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.17.如圖，在厶ABC中，D是AC的中點，E是線段BC延長線一點，過點A作BE的平行線與線段 ED的延長線交于點 F , 連接AE、CF .(1) 求證：AF=CE ;(2) 如果AC=EF，且/ ACB=135 °試判斷四邊形 AFCE是什么樣的四邊形，并證明你的結論.考點：平行四邊形的判定與性質；正方形的判定。 專題：證明題。分析：(1 )由AF / EC,根據平行線的性質得

32、到/ DFA= / DEC ,/ DAF= / DCE，而DA=DC，易證得 DAF DCE，得 到結論；(2)由AF / EC，AF=CE，根據平行四邊形的判定得到四邊形AFCE是平行四邊形，再根據對角線相等即AC=EF，可判斷平行四邊形 AFCE是矩形，則/ FCE= / CFA=90 °通過/ ACB=135 °可得到/ FCA=135 °- 90°45 °則易判斷矩形 AFCE是正方形.解答：(1)證明：T AF / EC,/ DFA= / DEC，/ DAF= / DCE,/ D是AC的中點， DA=DC , DAF DCE , AF

33、=CE ;(2)解：四邊形 AFCE是正方形.理由如下：/ AF / EC, AF=CE ,四邊形AFCE是平行四邊形，又 AC=EF ,平行四邊形 AFCE是矩形， / FCE= / CFA=90 °而/ ACB=135 ° / FCA=135 ° - 90°=45 ° ° / FAC=45 ° ° FC=FA ,矩形AFCE是正方形.點評：本題考查了平行四邊形的判定與性質：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形也考查了矩形、正方形的判定 方法.18.如圖平行四邊形 ABCD中，/ ABC=60。，點E、F分別在

34、 CD、BC的延長線上，AE / BD , EF丄BF ,垂足為點 F, DF=2(1)求證：D是EC中點；(2 )求FC的長.考點：平行四邊形的判定與性質。分析：(1)根據平行四邊形的對邊平行可以得到AB / CD，又AE / BD，可以證明四邊形 ABDE是平行四邊形，所以AB=DE ,故D是EC的中點；(2)連接EF，則 EFC是直角三角形，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可以得到 CDF是等腰三角形，再利用/ ABC=60。推得/ DCF=60 °所以 CDF是等邊三角形，FC=DF , FC的長度即可求出.解答：(1)證明：在平行四邊形 ABCD中，AB / CD，

35、且 AB=CD ,又 AE / BD ,四邊形ABDE是平行四邊形， AB=DE , CD=DE,即D是EC的中點；(2)解：連接 EF,v EF丄 BF, EFC是直角三角形，又 D是EC的中點， DF=CD=DE=2 ,在平行四邊形 ABCD中，AB / CD,/ ABC=60 °/ ECF= / ABC=60 ° CDF是等邊三角形， FC=DF=2 .故答案為：2.點評：本題主要考查了平行四邊形的性質與判定，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及等邊三角形的判定，熟練 掌握性質定理并靈活運用是解題的關鍵，(2)中連接EF構造出直角三角形比較重要.19. (2010

36、?廈門)如圖，已知 ABC是等邊三角形，點 D、F分別在線段 BC、AB上，/ EFB=60 ° DC=EF .(1)求證：四邊形 EFCD是平行四邊形；(2 )若 BF=EF，求證：AE=AD .全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質。證明題。(1 )由厶ABC是等邊三角形得到/ B=60 °而/ EFB=60 °由此可以證明 EF / DC ,而DC=EF，然后即可證明四邊專題：分析：形EFCD是平行四邊形；(2)如圖，連接 BE,由BF=EF，/ EFB=60。可以推出 EFB是等邊三角形，然后得到 EB=EF，/ EBF=60 °而DC=EF

37、, 由此得到EB=DC，又 ABC是等邊三角形，所以得到/ ACB=60 ° AB=AC，然后即可證明 AEB ADC，禾U用全等三角形的性質就證明AE=AD .解答：證明：(1)v ABC是等邊三角形,/ ABC=60 °/ EFB=60 °/ ABC= / EFB , EF / DC (內錯角相等，兩直線平行)，/ DC=EF ,四邊形EFCD是平行四邊形；(2)連接BE/ BF=EF，/ EFB=60 ° EFB是等邊三角形， EB=EF , / EBF=60 °/ DC=EF , EB=DC , ABC是等邊三角形， / ACB=60

38、° ° AB=AC , / EBF= / ACB , AEB ADC , AE=AD .點評：此題把等邊三角形和平行四邊形結合在一起，首先利用等邊三角形的性質證明平行四邊形，然后利用等邊三角形的 性質證明全等三角形，最后利用全等三角形的性質解決問題.20. (2010?濱州)如圖，四邊形 ABCD , E、F、G、H分別是 AB、BC、CD、DA的中點.(1) 請判斷四邊形 EFGH的形狀？并說明為什么；(2) 若使四邊形EFGH為正方形，那么四邊形 ABCD的對角線應具有怎樣的性質？考點：平行四邊形的判定；三角形中位線定理；正方形的性質。專題：證明題。分析：(1)連接AC

39、,禾U用中位線定理即可證明四邊形EFGH是平行四邊形；ABCD的對角線應該(2)由于四邊形EFGH為正方形，那么它的鄰邊互相垂直且相等，根據中位線定理可以推出四邊形 互相垂直且相等.解答：解：(1)如圖，四邊形 EFGH是平行四邊形.連接AC ,/ E、F分別是 AB、BC的中點， EF / AC , EF= AC2同理 HG / AC , : t.'2 EF / HG, EF=HG EFGH是平行四邊形；(2)四邊形ABCD的對角線垂直且相等.假若四邊形EFGH為正方形，它的每一組鄰邊互相垂直且相等，根據中位線定理得到四邊形ABCD的對角線應該互相垂直且相等.點評：此題主要考查了三角

40、形的中位線定理，及平行四邊形的判定，正方形的性質等知識.21 . (2008?佛山)如圖， ACD、 ABE、 BCF均為直線BC同側的等邊三角形. (1 )當AB朋C時，證明：四邊形 ADFE為平行四邊形；(2)當AB=AC時，順次連接 A、D、F、E四點所構成的圖形有哪幾類？直接寫出構成圖形的類型和相應的條件.BC考點：平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質。專題：證明題。分析：(1)要證明ADEF是平行四邊形，可通過證明EF=AD ,DF=AE來實現，AD=AC ,AE=AB，那么只要證明 ABC DFC 以及 FEB CAB即可.AD=DC , CF=CB，又因為/

41、 FCB= / ACD=60 °那么都減去一個/ ACE后可得出/ BCA= / FCD , 那么就構成了 SAS, ABC DFC，就能求出 AE=DF，同理可通過證明 FEB CAB得出EF=AD .(2)可按/ BAC得度數的不同來分情況討論，如果/BAC=60 ° / EAD+ / BAC+ / DAC=180 °因此，A與F重合A、D、F、E四點所構成的圖形為一條線段.當/BAC書0°時，由(1) AE=AB=AC=AD ，因此A、D、F、E四點所構成的圖形是菱形.解答：(1)證明： ABE、 BCF為等邊三角形， AB=BE=AE , BC=

42、CF=FB，/ ABE= / CBF=60 °/ CBA= / FBE. ABC EBF . EF=AC .又 ADC為等邊三角形， CD=AD=AC . EF=AD .同理可得AE=DF .四邊形AEFD是平行四邊形.(2 )解：構成的圖形有兩類，一類是菱形，一類是線段.當圖形為菱形時，/ BAC書0° (或A與F不重合、 ABC不為正三角形)當圖形為線段時，/ BAC=60。(或A與F重合、 ABC為正三角形).點評：本題的關鍵是通過三角形的全等來得出線段的相等，要先確定所要證得線段所在的三角形，然后看證明三角形全等 的條件是否充足，缺少條件的要根據已知先求出了.22

43、.如圖，以 ABC的三邊為邊，在 BC的同側分別作三個等邊三角形即 ABD、 BCE、 ACF，那么，四邊形 AFED 是否為平行四邊形？如果是，請證明之，如果不是，請說明理由.考點：平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質。專題：探究型。分析：由等邊三角形的性質易得 BED BCA , CBACEF,從而得到 DE=FC=AF , AD=BC=EF，再由兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形得到四邊形AFED是平行四邊形.解答：解：四邊形 AFED是平行四邊形.證明如下：在厶BED與厶BCA中，BE=BC , BD=BA (均為同一等邊三角形的邊)/ DBE= / ABC=60。

44、-/ EBA BED BCA ( SAS) DE=AC又 AC=AF DE=AF在CBA 與CEF 中，CB=CE , CA=CF/ ACB= / FCE=60 °Z ACE CBA CEF （ SAS） BA=EF又 BA=DA , DA=EF故四邊形AFED為平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）點評：本題考查了平行四邊形的判定，在應用判定定理判定平行四邊形時，應仔細觀察題目所給的條件，仔細選擇適合于 題目的判定方法進行解答，避免混用判定方法.23. （ 2007?黑龍江）在厶ABC中，AB=AC，點PABC所在平面內一點， 過點P分別作PE/ AC交AB于點E, PF/ AB交BC于點D，交AC于點F.若點P在BC邊上（如圖1）,此時PD=0，可得結論：PD+PE+PF=AB .請直接