1、2017初高中數學銜接教材現有初高中數學教材存在以下“脫節”：1、絕對值型方程和不等式，初中沒有講，高中沒有專門的內容卻在使用；2、立方和與差的公式在初中已經刪去不講，而高中還在使用；3、因式分解中，初中主要是限于二次項系數為1的二次三項式的分解，對系數不為1的涉及不多，而且對三次或高次多項式的分解幾乎不作要求；高中教材中許多化簡求值都要用到它，如解方程、不等式等；4、二次根式中對分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中數學中函數、不等式常用的解題技巧；5初中教材對二次函數的要求較低，學生處于了解水平。而高中則是貫穿整個數學教材的始終的重要內容；配方、作簡圖、求值域（取值范圍）、

2、解二次不等式、判斷單調區間、求最大最小值、研究閉區間上的函數最值等等是高中數學所必須掌握的基本題型和常用方法；6、二次函數、二次不等式與二次方程之間的聯系，根與系數的關系（韋達定理）初中不作要求，此類題目僅限于簡單的常規運算，和難度不大的應用題，而在高中數學中，它們的相互轉化屢屢頻繁，且教材沒有專門講授，因此也脫節；7、圖像的對稱、平移變換初中只作簡單介紹，而在高中講授函數時，則作為必備的基本知識要領；8、含有參數的函數、方程、不等式初中只是定量介紹了解，高中則作為重點，并無專題內容在教材中出現，是高考必須考的綜合題型之一；9、幾何中很多概念（如三角形的五心：重心、內心、外心、垂心、旁心）和定

3、理（平行線等分線段定理、平行線分線段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已經刪除，大都沒有去學習；10、圓中四點共圓的性質和判定初中沒有學習。高中則在使用。另外，象配方法、換元法、待定系數法、雙十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化，甚至老師根本沒有去延伸發掘，不利于高中數學的學習。新的課程改革，難免會導致很多知識的脫節和漏洞。本書當然也沒有詳盡列舉出來。我們會不斷的研究新課程及其體系。將不遺余力地找到新的初高中數學教材體系中存在的不足，加以補充和完善。目錄第一章數與式1.1 數與式的運算1.1.1 絕對值1.1.2 乘法公式1.1.3 二次根式1.1.4 分式1.2 分解因式第二章二次

4、方程與二次不等式2.1 一元二次方程2.1.1 根的判別式2.1.2 根與系數的關系2.2 二次函數2.2.1 二次函數y=ax2+bx+c的圖像和性質2.2.2 二次函數的三種表達方式2.2.3 二次函數的應用2.3 方程與不等式2.3.1 二元二次方程組的解法第三章相似形、三角形、圓3.1 相似形3.1.1 平行線分線段成比例定理3.1.2 相似三角形形的性質與判定3.2 三角形3.2.1 三角形的五心3.2.2 解三角形：鈍角三角函數、正弦定理和余弦定理及其應用3.3 圓3.3.1 直線與圓、圓與圓的位置關系：圓冪定理3.3.2 點的軌跡3.3.3 四點共圓的性質與判定3.3.4 直線和

5、圓的方程（選學）1.1 數與式的運算1.1.1. 絕對值絕對值的代數意義：正數的絕對值是它的本身，負數的絕對值是它的相反數，零的絕對值仍是零.即a,a0,|a|=0,a=0,-a,a4.解法:由x-1=0,得x=1;由x-3=0,得x=3;若x4,即一2x+44,解得x0,又x1,x0;若1Wx4,即14,不存在滿足條件的x;若x之3,不等式可變為(x-1)+(x-3)4,即2x44,解得x4.又x5x4.綜上所述，原不等式的解為x4.解法二：如圖1.11,|x-1表示x軸上坐標為x的點P到坐標為1的點A之間的距離2的點B之間的距離|PB|,即|PB|=|x |PA|,即|PA|=|x1|;|

6、x3|表示x軸上點P到坐標為|x-3|_4的幾何意義即為|FA|+|PB|4.由AB|=2,可知點P在點C（坐標為0）的左側、或點P在點D（坐標為4）的右側.x4.練習1 .填空：(1)若x=5,則x=;若x=4,則x=(2)如果a+b=5,且a=T,則b=;若1一c=2,則c=2 .選擇題：下列敘述正確的是(A)若 a = b,則 a=b(C)若 ab,則 a 5).(B)若ab,則ab(D)若a=b,則a=b乘法公式(1)平方差公式(a +b)(a -b) = a2 -b2 ;(2)完全平方公式(a b)2 = a2 2 a b+ 2b我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式:(1)立方和公

7、式2233(a + b) (a - a b b) = a+;b(2)立方差公式(a - b) (a + ab 2b)= 3a-;3b(3)三數和平方公式(a + b + d =a +b +C 2( a b+ bb;)ac(4)兩數和立方公式(5)兩數差立方公式(a + bf = 4 +33b+3 a2b+;3b (a - bf = J -3 a b+3 a2b -. b對上面列出的五個公式，有興趣的同學可以自己去證明. 例 1 計算：(x+1)(x1)(x2x+1)(x2+x+1).解法一：原式二(x2 1)(x2+1)2 -x2=(x2 -1)(x4 x2 1)6=x -1 .解法二：原式=

8、(x +1)(x2 -x +1)(x -1)(x2 + x +1) 33=(x 1)(x -1) x6 1 =x - 1 .例2 已知 a+b+c = 4, ab + bc + ac = 4,求 a2+b2+c2 的值.解：a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - 2(ab + bc + ac) = 8 .練 習1 .填空：1 2 1 . 21 .1 、(1) -a -b =(b+a)()；9423、2 一 2(2) (4m +) =16m +4m+()；_2222(3 ) (a+2b-c) =a +4b +c +().2 .選擇題：1(1)若x2 +mx +k是一個完全平方

9、式，則 k等于221212(A) m2(B) -m2(C) -m2(2)不論a, b為何實數，a2+b2-2a-4b+8的值(A)總是正數(B)總是負數12(D) m2( )(C)可以是零(D)可以是正數也可以是負數一般地，形如va(a0)的代數式叫做二次根式.根號下含有字母、且不能夠開得盡方的式子稱為 無理式.例如 3a + Ja2 +b +2b , Ja2 +b2等是無理式，而 V2x2+2x + 1 ,2我們在初中已經學習過了下列一些乘法公式:1 .分母（子）有理化把分母（子）中的根號化去，叫做分母（子）有理化.為了進行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念.兩個含有二次根式的代數式

10、相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數式互為有理化因式，例如并與，34與后,F+旗與翼,2君3應與2/+3&,等等.一般地，a與，aC+b/?與a五一b,a7X+b與aVX-b互為有理化因式.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號的過程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號的過程在二次根式的化簡與運算過程中，二次根式的乘法可參照多項式乘法進行，運算中要運用公式石聲=7ab（a之0,b之0）；而對于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然后通過分母有理化進行運算；二次根式的加減法與多項式的加減法類似，應在化簡的基礎上去括號

11、與合并同類二次根式.2 .二次根式va2的意義r2包a至0,7a=a=4-a,a：0.例1將下列式子化為最簡二次根式:(1) 712b;(2)V02b(a0);解：(1)52b=2病；(2) Va2b=a|Vb=aVb(a0)；(3)，4x6y=2x3|77=-2x/y(x0).例2計算：石士(3-Q).解法J-(3,-33-3-3_3(3.3)一(3-.3)(3,3)3.339-3二3（、31）.6,31-.2解法二：73+（3134冶=下卒一3-；3.3（3-1）(3) ,4x6y(x11,12-11痂773用-Co=彳工呵)聽1=10)11.11,10.1110又712+51布不而,.-

12、12_J12但:.優+4m+2點2272-褥.64例4化簡：(用十點)2004.(褥-無)2005.解：(、,3、,2)200463一.2)2005=(4+72)200473-72)2004,(曲-柩=(百+倉,(73-拘I2004.電近):12004(*-72)=石-0.一一例5化簡：(1)J94/5;(2)Jx2+2-2(0x/5+22=J(2V5)2=2娓=娓2.(2)原式=J(x1)2=x,Yxx一11-0Hx/150 =什 5,x 1 一 x1, x 1 x-1右 x =，則-=-+-J=2 x 1 x-1 x 1 - x -12.選擇題:等式=班工成立的條件是x-2 x-2(A)

13、x=23 .若 b 二4 .比較大小:a 12-V3.(B) x 02-,求a + b的值.(C)(D) 0x21.分式的意義A形如JA的式子，若B1.1.4 .分式.AA . .一B中含有字母，且 B=0,則稱二為分式.當MWO時，分式C具有下列性質:上述性質被稱為分式的基本性質.2,繁分式a像，c d個這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.np舉*=公+工，求常數A,B的值.x（x2）xx2解:公xB A(x 2) Bx (A B)x 2A 5x 4x(x 2)x(x 2)x(x 2)(D(2)(3).A B=5,2A =4,解得A = 2 ,B(1)(2)證明:試證:計算:證明:

14、.1解：由11n(n 1)1（其中n是正整數）；十12 2 3+111 +9 10對任意大于1的正整數n,1 (n 1) -nn n 1 n(n 1)111n(n 1) n(1)可知HI2 3n(n 1)有七六（其中n是正整數）成立.11119 10(匚)(2一3) M (9110)又nZ且n是正整數，n(n 1)1n(n 1)11 一一10=(1.3)+(1.1)+,)|(:+(11、一Q 一定為正數，11, 2c2 5ac+ 2a2 = 0,求 e的值.a解：在2c25ac+2a2=0兩邊同除以a2,得22e2-5e+2=0,.(2e-1)(e-2)=0,1.人，、一.e=23；(2)x+

15、3+|x-26.332 .已知x+y=1,求x+y+3xy的值.3 .填空：(1) (2+的18(2-點)19=；(2)若J(1a)2+J(1+a)2=2,則a的取值范圍是(3)111111.2,2；3.3.4.4；55.61,b=-,則31 .填空：(1) a=L2-23a-ab3a25ab-2b222(2)若x2+xy2y2=0,則x+3xy：y=xy2.已知：x=1,y=1,求fR廣的值.23x-yxyC組1.選擇題：(1)若,，-a-b-2ab-.-b-a,貝U(A)ab(B)而(C)ab0(C)-yj-a()(D)ba0()(D)-Va 2112.解方程 2(x +) -3(x +

16、-) -1=0.9 11xx1113.計算：HI1324354.試證：對任意的正整數n,有+川+n(n1)(n2)14.1.2因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法，另外還應了解求根法及待定系數法.1 .十字相乘法例1分解因式：(1) X23x+2;(2)x2+4x12;2 2(3) x(a+b)xy+aby;(4)xy1+xy.解：(1)如圖1.11,將二次項x2分解成圖中的兩個x的積，再將常數項2分解成一1與一2的乘積，而圖中的對角線上的兩個數乘積的和為一3x,就是x23x+2中的一次項，所以，有2一x2-3x+2=(x1)(x-2).圖 1. 1 3說

17、明：今后在分解與本例類似的二次三項式時，可以直接將圖1.11中的兩個x用1來表示(如圖1.12所示).(2)由圖1.13,得x2+4x12=(x2)(x+6).(3)由圖1.14,得22圖 1. 1-5x_(a+b)xy+aby=(x-ay)(x-by)(4) xy-1+xy=xy+(xy)1=(x1)(y+1)(如圖1.15所示).課堂練習一、填空題:1、把下列各式分解因式：(1) x2+5x-6=。(2) x2-5x+6=。2(3) x+5x+6=。(4) x2-5x-6=。(5) x2-(a+1x+a=。(6) x211x+18=。(7) 6x27x2=o(8) 4m2-12m+9。(9

18、) 5+7x-6x2=。(10) 12x2+xy-6y2=2、x2-4x:x3x3、若x2+ax+b=(x+2(x-4)則a=,b=。二、選擇題：(每小題四個答案中只有一個是正確的).2_2_2_2-1、在多項式(1)x+7x+6(2)x+4x+3(3)x+6x+8(4)x+7x+102(5)x+15x+44中，有相同因式的是()A、只有(1)(2)B、只有(3)(4)C、只有(3)(5)D、(1)和(2);(3)和(4);(3)和(5)2、分解因式a2+8ab33b2得()A、(a+11Xa3)B、(a+11bXa3b)C、(a11bXa-3b)D、(a11bXa+3b)3、(a+b2+8(

19、a+b)20分解因式得()A、(a+b+10)(a+b2)B、(a+b+5a+b4)C、(a+b+2Ja+b-10)D、(a+b+4Xa+b5)4、若多項式x23x+a可分解為(x5j(xb),則a、b的值是()A、a=10,b=2B、a=10,b=2C、a=10,b=2D、a=10,b=225、若x+mx_10=(x+ax+b其中a、b為整數，則m的值為()A、3或9B、3C、9D、3或土9三、把下列各式分解因式23_2一一一21、6(2pqf11(q2P)+32、a5ab+6ab4、b4 -2b2 -823、2y-4y-62.提取公因式法例2分解因式：(1) a2(b-5)+a(5-b)(

20、2)x3+9+3x2+3x解：(1).a2(b-5)+a(5-b)=a(b-5)(a-1)(2) x393x23x=(x33x2)(3x9)=x2(x3)3(x3)=(x+3)(x2+3).或3_2_3_2_3_3_3x3+9+3x2+3x=(x3+3x2+3x+1)+8=(x+1)3+8=(x+1)3+23_2_2_2_=(x+1)+2(x+1)(x+1)M2+2=(x+3)(x+3)課堂練習：一、填空題：1、多項式6x2y2xy2+4xyz中各項的公因式是。2、m(x-y)+n(y-x)=(x-y)。3、m(x-y2+n(yxf=(xy2。4、m(x-yz)+n(y+zx)=(xyz)。5

21、、m(x-y-z)-x+y+z=(x-y-z)。6、-13ab2x6-39a3b2x5分解因式得。7.計算99299=二、判斷題：(正確的打上，錯誤的打上“x”)1、2a2b-4ab2=2ab(a-b)()2、am+bm+m=m(a+b)()3、-3x3+6x2-15x=-3x(x2+2x-5)()4、xn+xn,=xn(x+1)()3:公式法例3分解因式：(1)-a4+16(2)(3x+2yf-(x-yf解：-a416=42-(a2)2-(4a2)(4-a2)=(4a2)(2a)(2-a)(2)(3x+2y2(xy2=(3x+2y+xy)(3x+2yx+y)=(4x+y)(2x+3y)課堂練

22、習222.23.3一、a-2ab+b,ab,ab的公因式是二、判斷題：(正確的打上，錯誤的打上“x”)1、4x2-0.01=i-x1-(0.12=J2x+0.1i!l-x-0.1i!()93.J30.于是當b24ac0時，方程的右端是一個正數，因此，原方程有兩個不相等的實數根_-bJb2-4acx122a(2)當b24ac=0時，方程的右端為零，因此，原方程有兩個等的實數根bXi=X2=；2a(3)當b24acv0時，方程的右端是一個負數，而方程的左邊(x+2)2一定大于或等于零，因2a此，原方程沒有實數根.由此可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(a用)的根的情況可以由b24ac來判定，我

23、們把b24ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(aR)的根的判別式，通常用符號“來表示.綜上所述，對于一元二次方程ax2+bx+c=0(aR),有(1) 當A0時，方程有兩個不相等的實數根_ -b Jb2 - 4ac12 2a b(2)當A=0時，方程有兩個相等的頭數根Xi=X2=；2a(3)當AV0時，方程沒有實數根.例1判定下列關于x的方程的根的情況(其中a為常數)，如果方程有實數根，寫出方程的實數根.(1) x23x+3=0;(2)x2-ax-1=0;(3) x2ax+(a1)=0;(4)x22x+a=0.解：(1)A=324MX3=3v0,，方程沒有實數根.(2)該方程的根的判別式

24、A=a2-4X1-1)=a2+40,所以方程一定有兩個不等的實數根aa24a-a24為2x22,(3)由于該方程的根的判別式為=a24X1X(a1)=a24a+4=(a-2)2,所以，當a=2時，A=0,所以方程有兩個相等的實數根x1=x2=1；當aw2時，A0,所以方程有兩個不相等的實數根x1=1,x2=a-1.(3)由于該方程的根的判別式為A=224X1Xa=4-4a=4(1a),所以當A0,即4(1-a)0,即a1時，方程沒有實數根.說明：在第3,4小題中，方程的根的判別式的符號隨著a的取值的變化而變化，于是，在解題過程中，需要對a的取值情況進行討論，這一方法叫做分類討論.分類討論這一思

25、想方法是高中數學中一個非常重要的方法，在今后的解題中會經常地運用這一方法來解決問題.2.1.2根與系數的關系(韋達定理)若一元二次方程ax2+bx+c=0(a加)有兩個實數根-b - vb2 -4ac-b - . b2 -4ac2a2a則有-bfb2-4ac-b-.b2-4ac-2bbx1+x2=+=一2a2a2aa-bb2-4ac-b-b2-4acb2-(b24ac)4accvv=x1x2222a2a4a4aa所以，一元二次方程的根與系數之間存在下列關系：這一關系也被稱為如果ax2+bx+c=0(aR)的兩根分別是x1,x2,那么x1+x2=,x1x2=.aa韋達定理.特別地，對于二次項系數

26、為1的一元二次方程x2+px+q=0,若x1，x2是其兩根，由韋達定理可知x1+x2=p,x1x2=q,即p=一(x1+x2),q=x1x2,所以，方程x2+px+q=0可化為x2(Xi+X2)x+X1X2=0,由于Xi,X2是一元二次方程x2+px+q=0的兩根，所以，Xi,X2也是一兀二次方程X2(Xi+X2)x+XiX2=0.因此有以兩個數Xi,X2為根的一元二次方程(二次項系數為1)是2X(Xi+X2)X+XiX2=0.2例2已知萬程5x+kx-6=0的一個根是2,求它的另一個根及k的值.分析：由于已知了方程的一個根，可以直接將這一根代入，求出k的值，再由方程解出另一個根.但由于我們學

27、習了韋達定理，又可以利用韋達定理來解題，即由于已知了方程的一個根及方程的二次項系數和常數項，于是可以利用兩根之積求出方程的另一個根，再由兩根之和求出k的值.解法一：2是方程的一個根，5X22+kX2-6=0,k=7.所以，方程就為5x2-7x-6=0,解得xi=2,X2=-3.5一、一3所以，方程的另一個根為一3,k的值為一7.5解法二：設方程的另一個根為xi,則2xi=-,xi=-3.55由(3)+2=-k,得k=7.55一、一3所以，方程的另一個根為一3,k的值為一7.5例3已知關于x的方程x2+2(m2)x+m2+4=0有兩個實數根，并且這兩個實數根的平方和比兩個根的積大21,求m的值.

28、分析：本題可以利用韋達定理，由實數根的平方和比兩個根的積大21得到關于m的方程，從而解得m的值.但在解題中需要特別注意的是，由于所給的方程有兩個實數根，因此，其根的判別式應大于零.解：設Xi,X2是方程的兩根，由韋達定理，得xi+X2=2(m2),XiX2=m2+4.1.Xi2+X22XiX2=2i,.(xi+X2)23XiX2=2i,即-2(m-2)2-3(m2+4)=2i,化簡，得m2-i6m-i7=0,解得m=i,或m=i7.當m=i時，方程為x2+6x+5=0,A0,滿足題意；當m=i7時，方程為x2+30x+293=0,A=302-4XiX293(-5)2-3(-3)=-空說明:次方

29、程的 兩根之差的絕對值8是一個重要的量，今后我們經常會遇到求這一個量的問題,為了解題簡便，我們可以探討出其一般規律:設Xi和X2分別是二次方程X1 =-b -4b2 -4ac | Xi - X2| =2a一 b 0.a4,17，a-.，a的取值范圍是a4.(A) m4(C) mv1,且mw。(D)m1,且mw。442 .填空：11(1)若方程x23x1=0的兩根分別是Xi和X2,則,+=.X1x2(2)方程mx2+x2m=0(mwQ的根的情況是.(3)以一3和1為根的一元二次方程是.3 .已知Ja2+8a+16+|b-1|=0,當k取何值時，方程kx2+ax+b=0有兩個不相等的實數根?4,已

30、知方程x2-3x-1=0的兩根為x1和x2,求(x一3)(x23)的值.習題2.1A組1 .選擇題：(1)已知關于x的方程x2+kx2=0的一個根是1,則它的另一個根是()(A)-3(B)3(C)-2(D)2(2)下列四個說法：方程x2+2x7=0的兩根之和為一2,兩根之積為一7;方程x22x+7=0的兩根之和為一2,兩根之積為7;方程3x27=0的兩根之和為0,兩根之積為_7；3方程3x2+2x=0的兩根之和為一2,兩根之積為0.其中正確說法的個數是()(A)1個(B)2個(C)3個(D)4個(3)關于x的一元二次方程ax25x+a2+a=0的一個根是0,則a的值是()(A) 0(B) 1(

31、C) 1(D) 0,或一12 .填空：(1)方程kx2+4x1=0的兩根之和為一2,則k=.(2)方程2x2x4=0的兩根為a,&則，+伊=.(3)已知關于x的方程x2ax3a=0的一個根是一2,則它的另一個根是.(4)方程2x2+2x1=0的兩根為x1和x2,則|x1一x2|=.3 .試判定當m取何值時，關于x的一元二次方程m2x2-(2m+1)x+1=0有兩個不相等的實數根？有兩個相等的實數根？沒有實數根？4 .求一個一元二次方程，使它的兩根分別是方程x2-7x-1=0各根的相反數.1 .選擇題：若關于x的方程x2+(k2-1)x+k+1=0的兩根互為相反數，則k的值為()(A)1,或一1

32、(B)1(C)-1(D)02 .填空：(1)若m,n是方程x2+2005x1=0的兩個實數根，則m2n+mn2mn的值等于.(2)如果a,b是方程x2+x1=0的兩個實數根，那么代數式a3+a2b+ab2+b3的值是3 .已知關于x的方程x2-kx-2=0.(1)求證：方程有兩個不相等的實數根；(2)設方程的兩根為x1和x2,如果2(x1+x2)x1x2,求實數k的取值范圍.4 .一元二次方程ax2+bx+c=0(aw。的兩根為2和x2.求：(1)|x1一x2|和x12；(2)x13+x23.5.關于x的方程x2+4x+m=0的兩根為x1，x?滿足|x1一xz|=2,求實數m的值.C組1.選擇

33、題：(1)已知一個直角三角形的兩條直角邊長恰好是方程2x28x+7=0的兩根，則這個直角三角形的斜邊長等于()(A)百(B)3(C)6(D)9(2)若Xi,X2是方程2x24x+1=0的兩個根，則總+至的值為X2Xi3(A) 6(B)4(C)3(D)-a+ 3的取值范圍為 )2(3)如果關于x的方程x22(1m)x+m2=0有兩實數根a,3,則(A)(B) 3(C)31(D)0W12(4)已知a,b,c是AABC的三邊長，那么方程cx2+(a+b)x+c=0的根的情況是()4(A)沒有實數根(B)有兩個不相等的實數根(C)有兩個相等的實數根(D)有兩個異號實數根2,填空：若方程x28x+m=0

34、的兩根為x1，x2,且3x1+2x2=18,則m=.3,已知x1，x2是關于x的一元二次方程4kx24kx+k+1=0的兩個實數根.3.(1)否存在頭數k,使(2x1一x2)(x12x2)=成立.？右存在，求出k的值；右不存在，說明理由;2(2)求使上+包2的值為整數的實數k的整數值；(3)若k=2,九=二，試求兒的值.x2Xx22,，一、，一2一m4 .已知關于x的方程x-(m-2)x-=0.4(1)求證：無論m取什么實數時，這個方程總有兩個相異實數根；(2)若這個方程的兩個實數根x1，x2滿足必|=|刈|+2,求m的值及相應的x1，x2.5 .若關于x的方程x2+x+a=0的一個大于1、零

35、一根小于1,求實數a的取值范圍.2.2二次函數2.2.1二次函數y=ax2+bx+c的圖象和性質情境設置：可先讓學生通過具體實例探索二次函數的圖象，如作圖222(1)y=x(2)y=-x(3)y=x2x-3問題1函數y=ax2與y=x2的圖象之間存在怎樣的關系？為了研究這一問題，我們可以先畫出y=2x2,y=1x2,y=2x2的圖象，通過這些函數圖象與函數y2=x2的圖象之間的關系，推導出函數y=ax2與y=x2的圖象之間所存在的關系.先畫出函數y=x2,y=2x2的圖象.先列表：x-3-2-101232x94101492x2188202818從表中不難看出，要得到2x2的值，只要把相應的x2

36、的值擴大兩倍就可以了.再描點、連線，就分別得到了函數y=x2,y=2x2的圖象(如圖2-1所示)，從圖2-1我們可以得到這兩個函數圖象之間的關系：函數y=2x2的圖象可以由函數y=x2的圖象各點的縱坐標變為原來的兩倍得到.同學們也可以用類似于上面的方法畫出函數y=1x2,y=2x2的圖象，并研究這兩個函數圖象與函2數y=x2的圖象之間的關系.通過上面的研究，我們可以得到以下結論：二次函數y=ax2(a卻)的圖象可以由y=x2的圖象各點的縱坐標變為原來的a倍得到.在二次函數y=ax2(aR)中，二次項系數a決定了圖象的開口方向和在同一個坐標系中的開口的大小.問題2函數y=a(x +h)2+卜與y

37、= ax2的圖象之間存在怎樣的關系？同樣地，我們可以利用幾個特殊的函數圖象之間的關系來研究它們之間的關系.同學們可以作出函數 y=2(x + 1)2+1與y= 2x2的圖象(如圖2 2所示)，從函數的同學我們不難發現， 只要把函數y=2x2的圖象向左平移一個單位，再向上平移一個單位，就可以得到 函數y=2(x+ 1)2+1的圖象.這兩個函數圖象之間具有形狀相同，位置不同”的特點.類似地，還可以通過畫函數y=-3x2, y=- 3(x-1)2+ 1的圖象，研究它們圖象之間的相互關系.通過上面的研究，我們可以得到以下結論：二次函數y= a(x+h)2+k(aR)中，a決定了二次函數圖象的開口大小及

38、方向；h決定了二次函數圖象的左右平移，而且h正左移，h負右移”；k決定了二次函數圖象的上下平移，而且k正上移，k負下移由上面的結論，我們可以得到研究二次函數y=ax2+ bx+ c(a利的圖象的方法：yiry = 2(x+ 1)2 + 12y= 2(x+ 1)2y= 2x由于 y= ax2+ bx+ c= a(x2+ B x )+ c=a(x2+ bx +b2b2a/ b b2 -4ac= a(x+)+,2a 4a圖 2.2-2所以，y= ax2+ bx+ c(a4)的圖象可以看作是將函數 是，二次函數 y= ax2+ bx+ c(a%)具有下列性質：y=ax2的圖象作左右平移、上下平移得到的

39、，于b 4ac - b2(1)當a0時，函數y= ax2+bx+ c圖象開口向上；頂點坐標為 (,),對稱軸為直線 x2a 4ab .；當xv2a包時，y隨著x的增大而減小；當 x-2 時，y隨著x的增大而增大；當 x= b 2a2a2a時，函數取最小值4ac -by=4a(2)當av 0時，函數y= ax2+ bx+ c圖象開口向下；頂點坐標為b 4ac -b2(，)，對稱軸為2a 4a直線x=-；當xv 時,by隨著x的增大而增大；當 x 時,2ay隨著x的增大而減小；當函數取最大值y=4ac - b24a上述二次函數的性質可以分別通過圖2.23和圖2.24直觀地表示出來.因此，在今后解決

40、二次函數問題時，可以借助于函數圖像、利用數形結合的思想方法來解決問題.圖 2.2-3例1求二次函數y=-3x2-6x+1圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標、最大值(或最小值)，并指出當x取何值時，y隨x的增大而增大(或減小)？并畫出該函數的圖象.解：,.y=-3x2-6x+1=-3(x+1)2+4,，函數圖象的開口向下；對稱軸是直線x=1;頂點坐標為(一1,4);當x=1時，函數y取最大值y=4；當xv1時，y隨著x的增大而增大；當x1時，y隨著x的增大而減小；采用描點法畫圖，選頂點A(-1,4),與x軸交于點B(捷二3,0)和C(_2內+3與丫軸的33交點為D(0,1),過這五點畫出圖象(如圖25所示).說明：從這個例題可以看出，根據配方后得到的性質畫函數的圖象，可以直接選出關鍵點，減少了選點的盲目性，使畫圖更簡便、圖象更精確.函數y=ax2+bx+c圖象作圖要領：(1) 確定開口方向：由二次項系數a決定b(2) 確定對稱軸：對稱軸萬程為x=2a(3) 確定圖象與x軸的交點情況，若0則與x軸有兩個交點，可由方程x2+bx+c=0求出若=0則與x軸有一個交點，可由方程x2+bx+c=0求出若0則與x軸有無交點。(4) 確定圖象與y軸的交點情況，令x=0得出y=c,所以交點坐標為(0,c)(5) 由以上各要素出草圖。練習：