1、絕密啟用前2017年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(天津卷)數(shù)學(理工類)本試卷分為第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分，共150分，考試用時120分鐘。第I卷1至2頁，第n卷3至5頁。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題考上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。答卷時，考生務必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。祝各位考生考試順利！注意事項：1 .每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。2 .本卷共8小題，每小題5分，共40分。參考公式:如果事件A, B互斥，那么如果事件A,

2、B相互獨立，那么P(AU B)=P(A)+P(B).P(AB尸P(A) P(B).棱柱的體積公式 V=Sh.其中S表布棱柱的底面面積, 43球的體積公式V R3.3其中R表示球的半徑.h表示棱柱的高.-、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的(1)設(shè)集合A1,2,6,B2,4,CxR|1x5,則(AUB)IC(A)2(B)1,2,4(C)1,2,4,6(D)xR|1x52xy0,x 0,(2)設(shè)變量x,y滿足約束條件x2y20,則目標函數(shù)zxy的最大值為y3,(A)(B) 1 (C) 3 (D) 32(A)(3)24,則輸出N的值為if1冗一 ”是“ sin12(A)充分而

3、不必要條件(B)必要而不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件2 X(5)已知雙曲線一2a2當 1(a 0,b 0)的左焦點為F ,離心率為 J2.若經(jīng)過F和bP(0,4)兩點的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為2222/ a、xyxy(A)1(B)1(44882222x yx y1 (D) 14884(6)已知奇函數(shù) f(x)在R上是增函數(shù),g(x)xf(x) .若 a g( log2 5.1) , b g(20.8),cg(3),則a,b,c的大小關(guān)系為(A) a b c(B) c b a(C)(D) b(7)設(shè)函數(shù) f(x) 2sin(其中.若吟)f(.)。,812

4、121_3 '24且f(x)的最小正周期大于(A)(B)(C)242x(8)已知函數(shù)f (x)xx 3,x2,x 1. x1,設(shè)a R ,若關(guān)于x的不等式f(x) |- a|在R上恒247 39 w,w47(A) -,2(B)成立，則a的取值范圍是(C)273,2(D)273,3916第II卷注意事項：1 .用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上。2 .本卷共12小題，共110分。二.填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.(9)已知aR,i為虛數(shù)單位，若土'為實數(shù),則a的值為2i(10)已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為18,則這個球的體積

5、為.(11)在極坐標系中，直線4cos()10與圓2sin的公共點的個數(shù)為6a4b1(12)若a,bR,ab0,則a竺一1的最小值為.abuuiruur(13)在zABC中，/A60,AB3,AC2.若BD2DC,uuuruuruuruuruuurAEACAB(R),且ADAE4,則的值為.(14)用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有個.(用數(shù)字作答)三.解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.(本小題滿分13分)3在4ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知ab,a5

6、,c6,sinB-.5(i)求b和sinA的值；(n)求sin(2A)的值.416.(本小題滿分13分)從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口，設(shè)各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的111概率分別為1,-,1.234(I)設(shè)X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望；(n)若有2輛車獨立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個紅燈的概率.(17)(本小題滿分13分)如圖，在三棱錐P-ABC中，PAL底面ABC,BAC90.點D,E,N分別為棱PA,PC,BC的中點，M是線段AD的中點，F(xiàn)A=AC=4,AB=2.(I)求證：MN/平面BDE;(n)求二面角C-EM-N的

7、正弦值；(m)已知點H在PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為,求線段AH的長.18.(本小題滿分13分)已知an為等差數(shù)列，前n項和為Sn(nN),bn是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0,b2b312,b3a42a1，與11b4.(I)求an和bn的通項公式；(n)求數(shù)列a2nb2n1的前n項和(nN).(19)(本小題滿分14分)設(shè)橢圓xr41(ab0)的左焦點為F,右頂點為A,離心率為。.已知A是拋物線a2b222一r-rr,r,八，r一,1y2px(p0)的焦點，F(xiàn)到拋物線的準線l的距離為-.2(I)求橢圓的方程和拋物線的方程；(II)設(shè)l上兩點P,Q關(guān)于x軸對稱，直線AP與橢圓

8、相交于點B(B異于點A),直線BQAP的方程.與x軸相交于點D.若4APD的面積為叵,求直線2(20)(本小題滿分14分)設(shè)aZ,已知定義在R上的函數(shù)f(x)2x43x33x26xa在區(qū)間(1,2)內(nèi)有一個零點xo,g(x)為f(x)的導函數(shù).(I)求g(x)的單調(diào)區(qū)間；(n)設(shè)m1,Xo)U(Xo,2,函數(shù)h(x)g(x)(m%)f(m),求證：h(m)h(x0)0；(m)求證：存在大于0的常數(shù)A,使得對于任意的正整數(shù)p,q,且衛(wèi)1,x0)U(x0,2,滿q足|p qXo |1Aq7.。1 Q 11323.424 12X0123P11111424424X的分布列為天津理數(shù)答案1-4BDCA

9、5-8BCAA9.-2 ;10.眨211.2;12.4 ;13.;1114.108015. (I)解：在 ABC中，因為a b,故由3 _ 4 , 一，一一、sin B -,可得cosB 一.由已知及余弦te理，有b22accosB 13,所以 b.13 .由正弦定理sin Abasin B,得sin A -一3/1313所以，b的值為“13,sin A的值為33.13(n)解：由(i)及32.13.a c，得 cos A ,所以 sin 2A 2sin Acos A1312132 .cos 2 A 1 2sin A5兀5 .故 sin(2A )134 C A冗C A 花sin 2Acos c

10、os2Asin 一7.22616. ( I)解：隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3.P(X0)(1P(X1)P(X2)(1P(X3)2)(1(13)工)1231 13)(11 1(1)4411二) (1 o)421 1(1)2 3(1111)(1) (1 ；)4231 a 1、1(1 一)344112424所以,隨機變量隨機變量X的數(shù)學期望E(X)01111424(n)解:設(shè) Y表示第一輛車遇到紅燈的個數(shù),Z表示第二輛車遇到紅燈的個數(shù)，則所求P(Y1)P(Y 0,Z 1) P(Y 1,Z0) P(Y 0)P(Z 1) P(Y1)P(Z 0)11111 1124244 481.11所以,這

11、2輛車共遇到1個紅燈的概率為1148.考查用空(17)本小題主要考查直線與平面平行、二面角、異面直線所成的角等基礎(chǔ)知識間向量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力.滿分13分.uuu uuur如圖，以A為原點，分別以 AB , AC,uurAP方向為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系.依題意可得A (0, 0, 0), B (2,0,0), C (0, 40), P (00, 4), D (0, 0, 2)E (0, 2, 2),M (0, 0, 1), N (10).(I)證明:uur DE =(0,2,uur0), DB = (20,2 ).設(shè) n (x

12、, y, z),為平面BDE的法向量,uur DE uur DB2y2x02z0 .不妨設(shè)zuuuu1 ,可得 n (1,0,1).又 MN = (12,1),可得uuuuMNn0.因為MN 平面BDE,所以MN平面 BDE.(n)解：易知n1 (1,0,0)為平面CEM的一個法向量.設(shè)n2 (x, y, z)為平面EMN的法向量,ujunn2 EM0JJJJ則2 jjjj ,因為 EM (0,n2 MN0umu2, 1), MN (1,2, 1),所以2y z 0x 2y z。.不妨設(shè)丫 1,可得 n ( 4,1, 2).因止匕有 cos n1 ,n2n1 n24105sin n，n2| n

13、1 |n21. 2121所以，二面角C EM N的正弦值為X10521(ID)解：依題意，設(shè)AH=h(0 h 4),貝U H (0, 0, h),進而可得uujjjNH(1, 2,h),ujuBE(2,2,2).由已知，得 |cosujun uuuuuju uur | NH BE | NH , BE | -atjifl-ttu- |NH |BE|2h 2|h2 5 2.3包,整理得212-8,110h21h80,解得h一，或h-.52所以，線段AH的長為8或口.5218.【解析】(I)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,等比數(shù)列bn的公比為q.由已知b2b312,得b(qq2)12,而匕2,所以q2q6

14、0.又因為q0,解得q2.所以，bn2n.由b3a42a1,可得3da18.由S11=11b4,可得a15d16,聯(lián)立，解得a11,d3,由此可得an3n2.所以，數(shù)列an的通項公式為an3n2,數(shù)列bn的通項公式為b2n.(II)解：設(shè)數(shù)列a2nb2n1的前n項和為Tn,由a2n6n2,b2n124n1,有a2nb2n1(3n1)4n,故Tn24542843L(3n1)4n,4Tn242543844L(3n4)4n(3n1)4n1上述兩式相減，得3Tn24342343L34n(3n1)4n112 (1 4n)1 4(3n 2) 44(3n1)4n1n18.得Tn4n13所以，數(shù)列a2nb2n

15、i19.( I )解：設(shè)F的坐標為的前n項和為3n-2 3一c(c,0).依題意， a4n 11一,1c,解信a1, c,22所以，橢圓的方程為 x2 ”31,拋物線的方程為2y 4x.(n)解：設(shè)直線 AP的方程為my 1(m0),與直線l的方程x 1聯(lián)立，可得點P( 1,-),m故 Q( 1,2).將 xmmy 1 與 x24y2皿 一 心口-1聯(lián)立，消去x,整理得 3_22(3m4)y6my 0 ,解得萼.由點B異于點A,可得點 3m 4B( 3m2 43m2 46m 、，-2).由 Q(3m2 41,2),可得直線BQ的方程為(-6m-)(3m 4 mx 1)(23m3m2 4i)(y

16、)0 ,令y 0,解得x2 3m22 3m2D(2-,0).所以 |AD | 1 -23m 23m 26m23m2 2，人,，一，、 6 二”.又因為4APD的面積為，故22 £高畀整理得3m22761m| 2 0,解得 |m|血所以m 3所以，直線AP的方程為3x、6y 30 ,或 3x 76y 30.20. ( I)解：由 f (x) 2x43x3 3x26x a ,可得 g(x)f (x)8x3 9x2進而可得g (x) 24x2 18x6 .令 g (x) 0 ,解得 x 1 ,當x變化時，g(x),g(x)的變化情況如下表:x(,1)1(1T1(;,)g(x)+-+g(x)

17、11所以，g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，1),(-,)，單調(diào)遞減區(qū)間是(1,).44(n)證明：由h(x)g(x)(mx0)f(m),得h(m)g(m)(mx0)f(m),h(xo)g(xo)(mxo)f(m).令函數(shù)H(x)g(x)(xxo)f(x),則H(x)g(x)(xx°).由(I)知，當x1,2時，g(x)0,故當x1,xo)時，H1(x)0,H(x)單調(diào)遞減；當x(xo,2時，H1(x)0,H(x)單調(diào)遞增.因此，當x1,xo)U(x0,2時，H1(x)H1(xo)f(xo)0,可得H1(m)0,即h(m)0.令函數(shù)Hz(x)g(xO)(xx0)f(x),則Hz(x)g(x

18、0)g(x).由(I)知，g(x)在1,2上單調(diào)遞增，故當x1,%)時，H2(x)0,Hz(x)單調(diào)遞增；當x(x0,2時,H2(x)0,H2(x)單調(diào)遞減.因此，當x1,x0)U(x0,2時，G(x)Hz(x。)0,可得H2(m)0,即h(x0)0.所以，h(m)h(x0)0.(Ill)證明：對于任意的正整數(shù)p,q,且E1,x0)U(x0,2,q令m,函數(shù)h(x)g(x)(m%)f(m).q由(II)知，當m1,x0)時，h(x)在區(qū)間(m,x°)內(nèi)有零點;當m(x0,2時,h(x)在區(qū)間(xO,m)內(nèi)有零點.所以h(x)在(1,2)內(nèi)至少有一個零點，不妨設(shè)為x1,則h(x1)g(x1)(px0)f(p)0.qq