1、第二章 第10講(時間：45分鐘分值：100分)一、選擇題1. 2013·鞍山模考若曲線yx2axb在點(0，b)處的切線方程是xy10，則()A. a1，b1B. a1，b1C. a1，b1D. a1，b1答案：A解析：y2xa，曲線yx2axb在(0，b)處的切線方程斜率為a，切線方程為ybax，即axyb0.a1，b1.2. 2013·新鄉質檢設曲線y在點(3,2)處的切線與直線axy10垂直，則a()A. 2B. C. D. 2答案：D解析：y，點(3,2)處切線斜率k，切線與直線axy10垂直，a2.3. 在函數yx39x的圖象上，滿足在該點處的切線的傾斜角小于，

2、且橫、縱坐標都為整數的點的個數是()A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A解析：依題意得，y3x29，令0<y3x29<1得3<x2<，顯然滿足該不等式的整數x不存在，因此在函數yx39x的圖象上，滿足在該點處的切線的傾斜角小于，且橫、縱坐標都為整數的點的個數是0，選A.4. 2013·青島質檢已知函數f(x)xsin(x)，則f()()A. B. 0C. 1D. 答案：A解析：f(x)xsin(x)xcosx，f(x)cosxxsinx，f()cossin，故選A.5. 2013·海淀模擬已知定義域為R的函數f(x)滿足：f(4)3，且對任意xR

3、總有f(x)<3，則不等式f(x)<3x15的解集為()A. (，4)B. (，4)C. (，4)(4，)D. (4，)答案：D解析：令g(x)f(x)3x15，則g(x)f(x)3<0，所以g(x)在R上是減函數，又因為g(4)f(4)3×4150，所以f(x)<3x15的解集為(4，)6. 2013·長春模擬若點P是曲線yx2lnx上任意一點，則點P到直線yx2的最小距離為()A1B.C.D.答案：B解析：過點P作yx2的平行直線，且與曲線yx2lnx相切，設P(x0，xlnx0)，則ky|xx02x0，2x01，x01或x0(舍去)P(1,1)

4、，d.二、填空題7. 2013·洛陽統考曲線yx2ex2x1在點P(0,1)處的切線與x軸交點的橫坐標為_答案：解析：y2xexx2ex2.曲線在點P(0,1)處的切線的斜率為2.切線方程為y2x1.切線與x軸交點的橫坐標為.8. 2013·廣東四校聯考已知函數yf(x)在點(2，f(2)處的切線為y2x1，則函數g(x)x2f(x)在點(2，g(2)處的切線方程為_答案：6xy50解析：因為yf(x)在點(2，f(2)處的切線為y2x1，所以f(2)2，f(2)3.由g(x)x2f(x)得g(x)2xf(x)，所以g(2)22f(2)7，即點(2，g(2)為(2,7)，g

5、(2)4f(2)6，所以g(x)x2f(x)在點(2，g(2)處的切線方程為y76(x2)，即6xy50.9. 2012·遼寧高考已知P，Q為拋物線x22y上兩點，點P，Q的橫坐標分別為4，2，過P，Q分別作拋物線的切線，兩切線交于點A，則點A的縱坐標為_答案：4解析：由已知可設P(4，y1)，Q(2，y2)，點P，Q在拋物線x22y上，P(4,8)，Q(2,2)又拋物線可化為yx2，yx，過點P的切線斜率為y|x44.過點P的切線為：y84(x4)，即y4x8.又過點Q的切線斜率為y|x22，過點Q的切線為y22(x2)，即y2x2.聯立得x1，y4，點A的縱坐標為4.三、解答題1

6、0. 2013·東城模擬已知函數f(x)x3x16.(1)求曲線yf(x)在點(2，6)處的切線的方程；(2)如果曲線yf(x)的某一切線與直線yx3垂直，求切點坐標與切線的方程解：(1)可判定點(2，6)在曲線yf(x)上f(x)(x3x16)3x21，在點(2，6)處的切線的斜率為kf(2)13.切線的方程為y13(x2)(6)，即y13x32.(2)切線與直線y3垂直，切線的斜率k4.設切點的坐標為(x0，y0)，則f(x0)3x14，x0±1，或切線方程為y4(x1)14或y4(x1)18.即y4x18或y4x14.11. 2012·安徽高考設定義在(0，

7、)上的函數f(x)axb(a>0)(1)求f(x)的最小值；(2)若曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線方程為yx，求a，b的值解：(1)(方法一)由題設和均值不等式可知，f(x)axb2b.其中等號成立當且僅當ax1.即當x時，f(x)取最小值為2b.(方法二)f(x)的導數f(x)a.當x>時，f(x)>0，f(x)在上遞增；當0<x<時，f(x)<0，f(x)在上遞減所以當x時，f(x)取最小值為2b.(2)f(x)a.由題設知，f(1)a，解得a2或a(不合題意，舍去)將a2代入f(1)ab，解得b1，所以a2，b1.12. 2013·蘇州十校聯考設函數f(x)ax，曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程為7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)證明：曲線yf(x)上任一點處的切線與直線x0和直線yx所圍成的三角形面積為定值，并求此定值解：(1)方程7x4y120可化為yx3，當x2時，y.又f(x)a，故解得故f(x)x.(2)證明：設P(x0，y0)為曲線上任一點，由f(x)1知，曲線在點P(x0，y0)處的切線方程為yy0(1)(xx0)，即y(x0)(1)(xx0)令x0得，y，從而得切線與直線x0交點坐標為(0，