1、中考數(shù)學(xué)中有關(guān)二次函數(shù)題型淺談數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)合肥市第二十中學(xué) 朱小龍摘要：有關(guān)二次函數(shù)的數(shù)學(xué)試題在歷年中考考題中頻繁出現(xiàn)，受到學(xué)生和老師的普遍關(guān)注二次函數(shù)相關(guān)問題滲透了函數(shù)方程、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合和分類討論等眾多數(shù)學(xué)思想這篇文章先就2010年中考題的兩道試題做探討，在此基礎(chǔ)上，討論運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決二次函數(shù)相關(guān)問題.同時(shí)，就教學(xué)中怎樣開展數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)提出一些實(shí)施意見關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想方法 二次函數(shù) 中考考題 引言：數(shù)學(xué)思想，是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識(shí)之中，經(jīng)過思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果.數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)事實(shí)與理論經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認(rèn)識(shí)；基本數(shù)學(xué)思想則是體現(xiàn)或應(yīng)該體

2、現(xiàn)于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的具有奠基性、總結(jié)性和最廣泛的數(shù)學(xué)思想，它們含有傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想的精華和現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的基本特征，并且是歷史地發(fā)展著的.通過數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)的能力才會(huì)有一個(gè)大幅度的提高.掌握數(shù)學(xué)思想，就是掌握數(shù)學(xué)的精髓，從而提升解題能力，切實(shí)提高學(xué)習(xí)成績.1、 2010年安徽中考兩道二次函數(shù)試題 1.1 （2010年安徽中考試題第7題）若二次函數(shù)配方后為則、的值分別為 （ ）（4分）A）0，5 B）0，1 C）4，5 D）4，1本題主要考察二次函數(shù)的解析式類型的相互轉(zhuǎn)化，答案選D解法有以下兩種：解法一：根據(jù)二次函數(shù)對稱軸為，這里，又頂點(diǎn)式對稱軸為，所以 即， 則解法二：頂點(diǎn)式中完全平方式展開后，即

3、為一般式 所以 解得 1.2 （2010年安徽中考試題第22題）春節(jié)期間某水庫養(yǎng)殖場為適應(yīng)市場需求，連續(xù)用20天時(shí)間，采用每天降低水位以減少捕撈成本的方法，對水庫中某種鮮魚進(jìn)行捕撈、銷售.九（1）班數(shù)學(xué)建模興趣小組根據(jù)調(diào)查，整理出第天（且為整數(shù)）的捕撈與銷售的相關(guān)信息如下：鮮魚銷售單價(jià)（元/kg）20單位捕撈成本（元/kg）捕撈量（kg）（1） 在此期間該養(yǎng)殖場每天的捕撈量與前一天捕撈量相比是如何變化的？（2） 假定該養(yǎng)殖場每天捕撈和銷售的鮮魚沒有損失，且能在當(dāng)天全部售出，求第天的收入（元）與（天）之間的函數(shù)關(guān)系式；（當(dāng)天收入=日銷售額日捕撈成本）（3） 是說明（2）中的函數(shù)隨的變化情況，并指

4、出第幾天取得最大值，最大值是多少？分析：這道題結(jié)合了一次函數(shù)，二次函數(shù)一起來考的，從簡單的一次函數(shù)的性質(zhì)因變量隨自變量的變化而變化的情況，到根據(jù)題意列出二次函數(shù)，考察二次函數(shù)相關(guān)性質(zhì)，解題難度是循序漸進(jìn)（這里運(yùn)用了函數(shù)方程、整體思想和分類討論思想等）.（1）解：該養(yǎng)殖場每天的捕撈量與前天捕撈量相比每天減少了10kg (2分)（2）解：由題意，得 (7分)（3）解：， (9分)又且為整數(shù)，當(dāng)時(shí)，隨的的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨的的增大而減小；當(dāng)時(shí)即在第10天，取得最大值，最大值為14450元. (12分)2 運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)思想方法解決二次函數(shù)相關(guān)問題 2.1（2009年安徽中考試題第23題）已知某種水果

5、的批發(fā)單價(jià)與批發(fā)量的函數(shù)關(guān)系如圖（1）所示（1）請說明圖中、兩段函數(shù)圖象的實(shí)際意義金額w（元）O批發(fā)量m（kg）300200100204060O6240日最高銷量（kg）80零售價(jià)（元）第23題圖（2）48（6，80）（7，40）O60204批發(fā)單價(jià)（元）5批發(fā)量（kg）第23題圖（1） （2）寫出批發(fā)該種水果的資金金額w（元）與批發(fā)量m（kg）之間的函數(shù)關(guān)系式；在下圖的坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)圖象；指出金額在什么范圍內(nèi)，以同樣的資金可以批發(fā)到較多數(shù)量的該種水果（3）經(jīng)調(diào)查，某經(jīng)銷商銷售該種水果的日最高銷量與零售價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系如圖（2）所示，該經(jīng)銷商擬每日售出60kg以上該種水果，且當(dāng)日零售價(jià)不變

6、，請你幫助該經(jīng)銷商設(shè)計(jì)進(jìn)貨和銷售的方案，使得當(dāng)日獲得的利潤最大分析：數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想解決一次函數(shù)二次函數(shù)綜合應(yīng)用題（1）解：圖表示批發(fā)量不少于20kg且不多于60kg的該種水果，可按5元/kg批發(fā)；3分圖表示批發(fā)量高于60kg的該種水果，可按4元/kg批發(fā)金額w（元）O批發(fā)量m（kg）3002001002040602403分（2）解：由題意得：，函數(shù)圖象如圖所示 7分由圖可知資金金額滿足240w300時(shí)，以同樣的資金可批發(fā)到較多數(shù)量的該種水果8分（3）解法一：設(shè)當(dāng)日零售價(jià)為x元，由圖可得日最高銷量當(dāng)m60時(shí)，x6.5由題意，銷售利潤為12分當(dāng)x6時(shí)，此時(shí)m80即經(jīng)銷商應(yīng)批發(fā)80kg該

7、種水果，日零售價(jià)定為6元/kg，當(dāng)日可獲得最大利潤160元14分解法二：設(shè)日最高銷售量為xkg（x60）則由圖日零售價(jià)p滿足：，于是銷售利潤12分當(dāng)x80時(shí)，此時(shí)p6即經(jīng)銷商應(yīng)批發(fā)80kg該種水果，日零售價(jià)定為6元/kg，當(dāng)日可獲得最大利潤160元14分2.2（2009年安徽中考試題第21題）雜技團(tuán)進(jìn)行雜技表演，演員從蹺蹺板右端處彈跳到人梯頂端椅子處，其身體（看成一點(diǎn)）的路線是拋物線的一部分，如圖（1）求演員彈跳離地面的最大高度；（2）已知人梯高米，在一次表演中，人梯到起跳點(diǎn)的水平距離是4米，問這次表演是否成功？請說明理由x（米）y（米）BCO第21題圖分析：這一題函數(shù)性質(zhì)的簡單應(yīng)用，主要考察

8、函數(shù)解析式的變換和數(shù)形結(jié)和思想解答略3、開展數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)的一些實(shí)施意見3.1 根據(jù)新課程教學(xué)目標(biāo)，對教材進(jìn)行教學(xué)思想方法的教學(xué)研究通過對教材詳細(xì)完整的分析，理清和把握教材的體系和脈絡(luò)，統(tǒng)攬教材全局.然后，建立各類概念、知識(shí)點(diǎn)或知識(shí)單元之間的界面關(guān)系，歸納和揭示其特殊性質(zhì)和內(nèi)在的一般規(guī)律.如二次函數(shù)這一章，函數(shù)的概念回顧、二次函數(shù)概念、二次函數(shù)圖像及性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方程以及二次函數(shù)的應(yīng)用.這是學(xué)習(xí)這一章知識(shí)的重點(diǎn)，只要我們學(xué)會(huì)了這些知識(shí)和方法方法，按知識(shí)方法思想的順序提煉數(shù)學(xué)思想方法，就能運(yùn)用它們?nèi)ソ鉀Q千變?nèi)f化的問題.又如：結(jié)合初中代數(shù)的消元、配方、換元方法，以及分類、變換、歸納和

9、數(shù)形結(jié)合等方法性思想，進(jìn)一步確定數(shù)學(xué)知識(shí)與其思想方法之間的結(jié)合點(diǎn)，建立一整套豐富的教學(xué)范例或模型，最終形成一個(gè)活動(dòng)的知識(shí)與思想互聯(lián)網(wǎng)絡(luò).3.2 根據(jù)知識(shí)內(nèi)容，將數(shù)學(xué)思想方法滲透到教學(xué)各個(gè)環(huán)節(jié)中 通過教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)、創(chuàng)設(shè)情境、程序演化、歸納總結(jié)等關(guān)鍵環(huán)節(jié)，在知識(shí)的生成和運(yùn)用過程中貫徹?cái)?shù)學(xué)思想方法，形成數(shù)學(xué)知識(shí)、方法和思想的一體化.在教學(xué)情境設(shè)計(jì)中要充分利用數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)原型作為反映數(shù)學(xué)思想方法的基礎(chǔ).數(shù)學(xué)思想方法是對數(shù)學(xué)問題通過數(shù)學(xué)建模建立純數(shù)學(xué)模型，它源于現(xiàn)實(shí)原型又高于現(xiàn)實(shí)原型，與此同時(shí)，借助現(xiàn)實(shí)原型使數(shù)學(xué)思想方法得以生動(dòng)地表現(xiàn)，有利于對其深人理解和把握.例如：函數(shù)與方程思想體現(xiàn)了函數(shù)、方程、不等式

10、間的相互轉(zhuǎn)化；分類討論的思想方法始終貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)中，體現(xiàn)了局部與整體的相互轉(zhuǎn)化，在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生對所討論的對象進(jìn)行合理分類（分類時(shí)要做到不重復(fù)、不遺漏、標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、分層不越級），然后逐類討論（即對各類問題詳細(xì)討論、逐步解決），最后歸納總結(jié).教師要幫助學(xué)生掌握好分類的方法原則，形成分類思想. 3.3通過習(xí)題課教學(xué)，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法在解決實(shí)際問題時(shí)，要充分運(yùn)用圖解分析法、親身體驗(yàn)法和直觀分析法等方法分析題意進(jìn)行數(shù)學(xué)建模.習(xí)題課教學(xué)通過選擇具有典型性、啟發(fā)性、創(chuàng)造性和審美性的例題和習(xí)題進(jìn)行.首先，在解題和反思活動(dòng)中，從具體數(shù)學(xué)問題中總結(jié)歸納解題方法，并提煉和抽象成數(shù)學(xué)思想；其次，在解題過程

11、中，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)思想方法對發(fā)現(xiàn)解題途徑的定向、聯(lián)想和轉(zhuǎn)化功能，舉一反三，觸類旁通，以數(shù)學(xué)思想觀點(diǎn)為指導(dǎo)，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法分析問題、解決問題.最后，要引導(dǎo)學(xué)生把握知識(shí)的整體結(jié)構(gòu)，形成合理的數(shù)學(xué)模型，通過綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，融會(huì)貫通各知識(shí)點(diǎn)和單元，建立一個(gè)以實(shí)例和習(xí)題（確實(shí)能夠鍛煉和培養(yǎng)學(xué)生思維的教學(xué)事件）為中心的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，縱向加深知識(shí)層次，橫向聯(lián)系以發(fā)展思維能力，形成全局性的數(shù)學(xué)思想方法.圖中D為數(shù)學(xué)事件（典型的實(shí)例和習(xí)題）3.4 引導(dǎo)學(xué)生“想著學(xué)數(shù)學(xué)” 全國著名數(shù)學(xué)特級教師俞正強(qiáng)說過這樣一句話， 學(xué)生“記著學(xué)數(shù)學(xué)”與“想著學(xué)數(shù)學(xué)”結(jié)合起來才有學(xué)習(xí)興趣. “想著學(xué)數(shù)學(xué)”就是數(shù)學(xué)思想的形成和發(fā)展過程.學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，運(yùn)用數(shù)學(xué)思維解決問題過程中，教師要把思維空間讓給學(xué)生，