1、高考數(shù)學總復習專題講解36數(shù)歹IJ求和考點要求1.掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式2掌握特殊的非等差、等比數(shù)列的幾種常見 的求和方法.必蓄知識埴充口1.公式法等差數(shù)列的前n項和公式:Sn 二n (ai + an)n (n 1):na1 +2d ；等比數(shù)列的前n項和公式:na1, q=1,Sn= a1 anq a1 (1qn)2.幾種數(shù)列求和的常用方法(1)分組求和法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時 可用分組求和法，分別求和而后相加減.(2)裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消(注意消項規(guī)彳t),從而求得前n項和.裂項時常用

2、的三種變形：O 1=1_ 1 ."n (n+ 1) n n+ 1? .(2n-1) (2n+1)2 2n-1 2n+1 ?1 j= -Jn+ 1 Jn.Vn +、n+ 1(3)錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構成的, 那么求這個數(shù)列的前n項和即可用錯位相減法求解.(4)倒序相加法：如果一個數(shù)列an與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法求解.(5)并項求和法：一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和.形如an=(1)nf(n) 類型，可采用兩項合并求解.例如，Sn=1002 99

3、2 + 982 972+ +2212= (100+ 99)+(98 + 97)+- + (2+1)=5 050.匚學情自測驗收D一、思考辨析(正確的打“，”，錯誤的打"x”)1 1 11已知等差數(shù)列an的公差為d,則有2()(2)當n)2時，春=3 土 一舄()(3)求Sn=a+2a2 + 3a3+-+ na"之和時只要把上式等號兩邊同時乘以 a即可根據(jù)錯位相減法求 得.()(4)利用倒序相加法可求得 sin21 ° +sin22° +sin23° + sin288° + sin289° =445()答案，(3)x ，二、教

4、材改編11 .數(shù)列an的前n項和為若an=,則Ss等于()，Jn (n+1)'，5 11A. 1 B.-C.-D.6 630111B an = ,n (n+ 1)n n+ 1.'S5=ai+ 32+ + 35= 11 1 11 55十5-3十一聲目2,若數(shù)列an的通項公式為an = 2n + 2n-1,則數(shù)列an的前n項和為()A. 2n+n2-1B. 2n+1+n2-1C. 2n+1+n2-2D. 2n+n-2C Sn = 31 + 32 + 33+ , , + an= (21 + 2X 1- 1)+ (22+ 2X2- 1)+(23 +2X3-1)+- +(2n + 2n-

5、 1)= (2+22+ - + 2n)+2(1 + 22 (1-2n) n (n+1)+ 3+ +0)-0=+2X-n1-22= 2(2n-1)+n2+n-n=2n+1 + n2-2.3 . Sn = 5+5+§+ >等于(2“一 n1A.2n-n+ 1C. onB.D.2田22n+1-n+22n得 2Sn =，+ 檢+-2n- + n7, (2i r 1_1111 n一得,2Sn=/+ 呼+修+外-ny,11 n21-2 n2n+1-n-2=1 -尹'.$=2n.124.數(shù)列an的前n項和為Sn,已知 &=12 +3 4+ ( 1)廠1 n,則Si7 =9 S

6、i7=12 + 34+56+15 16+ 17= 1 + (2+3)+( 4+5) + ( 6+7)+ + ( 14 + 15)+ (16+17)=1 + 1 + 1 + 1 = 9.考點1分組轉化法求和法分組轉化法求和的常見類型若an=bn±Cn,且bn, Cn為等差或等比數(shù)列，則可采用分組求和法求 an的前n項和.bn, n為奇數(shù)，通項公式為an=的數(shù)列，其中數(shù)列bn, cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列,可采用Cn, n為偶數(shù)分組求和法求和.提醒：注意在含有字母的數(shù)列中對字母的分類討論.2 , 一他典例 已知數(shù)列an的前n項和Sn=n_2, n N*.求數(shù)列an的通項公式；設bn= 2a

7、n+ ( 1)nan,求數(shù)列bn的前2n項和.解(1)當 n2 時，an=& Sn1n2+n(n-1) 2+ (n1)二n.當 n= 1 時，a1 = S1 = 1 滿足 an = n,故數(shù)列an的通項公式為an= n.(2)由(1)知 an=n,故 bn = 2n+(1)nn.記數(shù)列bn的前2n項和為T2n,則T2n=(21 + 22+22n)+(1 + 23+4+ 2n).記 A= 21 + 22+ + 22n, B= 1 + 2 3 + 4+2n,2 (1-22n)Q 則 A= 22n+ 1-2,1-2B=(1 + 2)+( 3 + 4)+ (2n1)+2n = n.故數(shù)列bn的

8、前 2n 項和 T2n=A+B = 22n+1 + n 2.母題探究 在本例中，若條件不變求數(shù)列bn的前n項和Tn.解由本例(1)知 bn = 2n+(1)nn.當n為偶數(shù)時，.92-2n + 1 n . nTn= (21 + 22+ - +2n) + -1+ 2-3 + 4-(n-1)+n=-2-+- = 2n+1+72-2;當 n 為奇數(shù)時，Tn=(21+2n+1 + 2-2, n為偶數(shù), 所以Tn52n+1 2-2, n為奇數(shù).型評 常用并項求和法解答形如(一1)nan的數(shù)列求和問題，注意當n奇偶性不定時， 數(shù)和偶數(shù)兩種情況分別求解.對n為奇數(shù)、偶數(shù)討論數(shù)列求和時，一般先求n為偶數(shù)時前

9、為奇數(shù)可用Tn= Tn-1+ bn(n>2)或Tn=Tn+1 bn+1最好.IS典霞 已知等差數(shù)列an的前n項和為8,且a1=1, S3+8=S5.(1)求數(shù)列an的通項公式；令bn= ( 1)n 1an,求數(shù)列bn的前2n項和T2n.解(1)設等差數(shù)列an的公差為d,由 Ss+S4=S5 可得 a1 + a2+a3 = a5,即 3a2 = a5, . 3(1 + d)=1+4d,解得 d = 2.+ + 2n)+ 1+2 3+4 (n 2)+(n1) n=2n+1n 1,-2 + -2-n = 2n+1要對n分奇n項和Tn.n. an=1 + (n1)x2 = 2n1.由(1)可得

10、bn=(1廠1 (2n1).T2n=1 3+57+ + (2n-3)-(2n-1) = (-2)Xn=-2n.考點2裂項相消法求和； 1者向1 形如an= n(n+k)(k為非零常數(shù))型1_1 1，*n (n+k) =kn n+k.提醒:求和抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項.黝典例(2019廈門一模)已知數(shù)列an是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列bn滿足b1 = 6, b1 + b2+b323bn+ + =nan + 1.(1)求an, bn的通項公式;1(2)求數(shù)列anbn的刖n項和.解(1)數(shù)列an是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列bn滿足 b1 = 6, b1 +

11、b2+bU +bn= an+1.所以當n=1時，a2=b1 = 6,故 an = 6+2(n 2) = 2n + 2,b2 , b3 , bn百由于 b1 +萬 + "3+"n = an+1, db2 b3bn 1當n>2時，= an,23n 1得：bn=所以bn=2n.6所以bn =2n(n=1)(n>2)(2)當 n=1 時,S1a1b14X6 24.當n2時,anbn2n (2n + 2)1111,11 , 11則& = 24+ 4 2一3+ 3 4+ n+1 ，111_ _±_= 24+4 2 n+1，2n- 1二 : 一，12 (n+

12、1)2n 1當n= 1時滿足上式，故Sn=12 (n+1)聯(lián)評 本例第(1)問在求bn的通項公式時靈活運用了數(shù)列前 n項和與項的關系，注意通項公式11 1是否包含n=1的情況；第(2)問在求解中運用了裂項法，即若an是等差數(shù)列，則=d ananan+1 dan+1備選例題12(2019唐山五校聯(lián)考)已知數(shù)列an潴足：- + - + ai a2求數(shù)列an的通項公式；、門an4111設bn=l0g3n，求證+正+.+際.解5=8(321) = 3，當n2時，因為n 12 n 12 n1/ a1 + a2+- + an- 3+ an_1= 8(32n- 1)-8(32n-21)= 32n-1,當n=

13、 1時， = 32n也成立, an，所以 an= 2n 1.32n - 1-anbn = log3n = (2n- 1),-_an+2n(3 3-81), nC N .2 020 1.2nn+ 1設等差數(shù)列an的首項為a1,公差為d,a1 +2d = 3,依題意有4a1 + 6d=10,解得d=1,n (n+1)1所以Sn-211 1因此31加=2(15+ 2一11 、 2n計+n；) = -73 n n+1 n+1*1*12形如；n+ k+ n(k為非零常數(shù))型an= -1T =4n+k+4nk(n).E!典惻已知函數(shù)f(x) = xa的圖象過點(4, 2),令an=f (n+1) +f (

14、n),記數(shù)列an的前11111因 為=5(-),bnbn+1(2n-1) (2n+1)2 2n-1 2n+1111所以證+由十十嬴；1-1,11., / 11 、 1 1 (2017全國卷H)等差數(shù)列an的前n項和為Sn, a3 = 3, S4=10,則三1 n= 21-3+3-5+.+(，-2nT； )=2 1 2n+1=M.n項和為Sn,則S2 019=()A.C.2 01812 020 1B.D.2 019 12 020+ 1由 f(4)=2 得 4a=2,.一1解得 a = 2,則 f(x)=VX. an=- if (n+1) +f (n)>/n+ 1+Vn:n+1 n,S 01

15、9= a1 + a2+ a3 + + a2 019=(V2-V1) + (V3-V2) + (V4-V3)+ +(72020-(2 019) =型評運用分母有理化對分式njn-F 1 -hyfn正確變形并發(fā)現(xiàn)其前后項之間的抵消關系是求解本題的關鍵.111網(wǎng)h孤 求和 S=r + rr+"- + -T=1=()1+43 V3 + 54119+ 小21A. 5 B. 4 C. 10 D. 91-J3 J3-5119- >/121 1-11A S=+=5,故選 A.1-33- 5119121-2考向3 形如bn= （a" ；*+ k） 9為等比數(shù)列an的公比）型(q 1 )

16、 an11bn = /一 一、;rr-=(an+k)(an+1+k) an+k an+1+k業(yè)典例（2019鄭州模擬）已知數(shù)列an的前n項和為Sn,且a2 = 8, &=*-n-1.求數(shù)列an的通項公式；2X3n .一 一一（2）求數(shù)列-：一的刖n項和Tn. anan+1an+ 1解（1）a2=8, Sn=-2-n-1,一 a2- a1 = S= 2 2 = 2,、“一-an+1,an當 n2 時，an=& Sn 1= 2 n1 2 口，即 an+1 = 3an+2,又 a2=8=3a1 + 2,. an+1 3an+ 2, n 6 N ,.an+1+1 = 3(an+1),數(shù)

17、列an+1是等比數(shù)列，且首項為 a1+1 = 3,公比為 3,an+1=3X3n1 = 3n,an=3n1.2X3n_2X3n 11(2) anan+1 (3n-1)(3n + 1-1) -3n-13n+1-1.2X3nanan+ 1的前n項和1111:);式一:3n+11 2 3n+11評 本例第（1）問在求解通項公式時運用了構造法,形如an+1=入n+ 的數(shù)列遞推關系求通項Tn= 3-132-1 + 32- 1 33- 1 + +(3n_11公式都可以采用此法；第（2）問運用了裂項相消法求和.麴螳 已知an是等比數(shù)列，且11a2 2，a5 16,an+1若山=(an+1) (an+1+1)

18、,則數(shù)列bn的前n項和為（）A.2n-12 (2n+1)2n1B. 2n+ 1C.12n+ 12n1D, 2n+23.一3a5 = a2 q , qa1二1,- an =bn 二12n 11 n2+12n+1_11 n+1.由1 + b2+ b3+ + bn=二1 21.11 1+ 1 32+12+111_1n+7nT_11 n+12n1故選A.形如2型n+ 1an= 2 / c、n (n+2)n+ 1an= 0 .n2 (n + 2)一 11_2 = 4 n2(n+2) 2 .他典例 正項數(shù)列an的前n項和Sn滿足：Sn(n2+n1)Sn (n2+n) = 0. (1)求數(shù)列 an的通項公式

19、an ;(2)令 bn =1 2 2,數(shù)列bn的前n項和為Tn,證明：對于任意的nCN*,都有Tn<64. (n 十 2) an64解(1)由 Sn-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0,得8 (n2+n)(Sn+1) = 0.由于an是正項數(shù)列，所以8>0, Sn= n2+n.于是a = S1 = 2,當n>2時，an = SnS1 = n2+n (n 1)2 (n 1) = 2n.綜上，數(shù)列an的通項公式為an=2n.(2)證明：由于an = 2n,n+ 1n+ 1bn ,、22=2 /、2 =(n + 2) 2a2 4n2 (n + 2) 2田一(nL 2.1 一 1

20、 . 11 . 11 .Tn=161 -32+22-42 + 32 - 52+" +(n-1) 2(n+1) 21111+ 孑一廠岳1+22(n+1) 2(n+2)一1 - 152<16 1 + 22 =64.,求和；第二步，利用作評(1)與不等式相結合考查裂項相消法求和問題應分兩步：第一步 差法、放縮法、單調性等證明不等式.(2)放縮法常見的放縮技巧有:11111 l?< k2_1 =2 k-Ck+ 1 .11111-2<.k k+1 kk-1 k 2C/n4 一5)<左<2(5 /n1).15M 已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn,滿足S4=2a41,

21、 S3 = 2a31.(1)求an的通項公式;111_記bn= log2(an an+1),數(shù)列bn的刖n項和為Tn,求證：五+不<2.解(1)設an的公比為 q,由 與一S3=a4得 2a42a3=a4, , a4一一.所以二=2,所以q = 2. a3又因為S3=2a31,所以 ai + 2ai + 4ai = 8ai 1,所以 ai=1.所以 an=2n1.(2)證明：由(i)知 bn=log2(anan+i) = log2(2n,x2n)=2ni,所以Tn =i+ (2n-i)n= n2,i , i , i i , i , i所以Ti + T2+Tn=7+22+ +孑i . i

22、. i<i + iX2+2X3+'"+ (n-i) ni i十一二n- i ni= 2=< 2.考點3錯位相減法求和I矗fi法錯位相減法求和的具體步驟步驟i 一寫出Sn= Ci + C2+ Cn.步驟2一等式兩邊同乘等比數(shù)列的公比 q,即q& = qci + qc2+ qcn.步驟3一兩式錯位相減轉化成等比數(shù)列求和.步驟4一兩邊同除以iq,求出&.同時注意對q是否為i進行討論.忸典例(20i9莆田模擬)設數(shù)列an的前n項和為Sn,且ai=i, an+i = 2Sn+i,數(shù)列bn滿足ai = bi,點 P(bn, bn+i)在直線 x y+2 = 0

23、 上，nC N .(i)求數(shù)列 an , bn的通項公式；(2)設Cn=bn,求數(shù)列cn的前n項和Tn.解(i)由 an+i = 2Sn+i 可得 an=2Sn-i + i(n>2),兩式相減得 an+i an = 2an,即 an+i = 3an(n> 2).又 a2 = 2Si + i=3,所以 a2=3ai.故an是首項為1,公比為3的等比數(shù)列.所以 an=3n1.由點 P(bn, bn+1),在直線 xy+ 2= 0 上，所以 bn+1 bn=2.則數(shù)列bn是首項為1,公差為2的等差數(shù)列.則 bn=1 + (n1) 2 = 2n 1.(2)因為 cn=an2n-13n113

24、5 2n 1所以 Tn= 30 + 31+32+ + 3n_1 .則1Tn= +332n-3 2n-1十n3r +n-，322 22 2n 1兩式相減得： 3Tn= 1 +3+32+ 3n_1 - -3n-.1 2n 1 n+1所以 Tn=3nn_7=3n"7.2 3n2 2 3n13n1心評 本例巧妙地將數(shù)列an及其前n項和為8,數(shù)列與函數(shù)的關系等知識融合在一起,難度 適中.求解的關鍵是將所給條件合理轉化，并運用錯位相減法求和.麴焦霞(2019煙臺一模)已知等差數(shù)列an的公差是1,且a1, a3, a9成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項公式； an(2)求數(shù)列2函的前n項和Tn.解

25、(1)因為an是公差為1的等差數(shù)列，且a1，a3, a9成等比數(shù)列，所以ai=a1a9, 即(a1+2)2 = a(a1 + 8),解得 a1=1.所以 an=a1+(n1)d = n.111 21 31n(2)Tn = 1x2 +2x 2 +3x2 +，+nX2 52Tn=1x 22+2X 23+(n1)x 2 n+nx 2n+1,兩式相減得11112 131 n 1 n+12Tn= 2 + 2 + 2 +2 nx 2,11 n+ 1所以萬元，由于該項建設對旅游業(yè)的促進作用，預計今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加.(1)設n年內(本年度為第一年)總投入為an萬元，旅游業(yè)總收入為bn萬元，寫出a

26、n, bn的表達式;(2)至少經(jīng)過幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入?解 第1年投入為800萬元,， 1第2年投入為800 X 15Tn=2-2,-nx 2 n+1 ; 1一$-.2I220n1 一21 2 2+n所以 Tn=2 - 2n2019全國卷I理科21題將數(shù)列與概率知識巧妙的融合在一起，在考查概率知識的同時，突出考查學生借用數(shù)列的遞推關系將實際問題轉化為數(shù)學問題的能力.數(shù)列作為特殊的函數(shù)，在實際問題中 有著廣泛的應用，如增長率，銀行信貸，濃度匹配，養(yǎng)老保險，圓鋼堆壘等問題，這就要求考生除熟 練運用數(shù)列的有關概念外，還要善于觀察題設的特征，聯(lián)想有關數(shù)學知識和方法，迅速確定解題的方 向，

27、以提高解題的速度.類型J直接借助等差(等比)數(shù)列的知識建立等量關系【例11 從社會效益和經(jīng)濟效益出發(fā)，某地投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè),11第n年投入為800X 1-5n-1 一萬兀，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬兀，以后每年投入將比上年減少5,本年度當?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為4004 n=4 000x 1- 5 ,所以，n年內的總投入為:1 an=800+800X 1-5+-1 n 1 + 80OX 1-5第1年旅游業(yè)收入為400萬元,1 一一第2年旅游業(yè)收入為400 X 1 + 4萬兀，1 n 1第n年旅游業(yè)收入400 X 1 + 4 萬元.所以，n年內的旅游業(yè)總收入為一 一 .1

28、 一 .1 n-1bn=400+400X 1+4 + -+400X 1+彳=1 600X 4 n- 1 .(2)設至少經(jīng)過n年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入，由此bnan>0,化簡得 5X(5)n+2X(5)n-7>0,即 1 600X n 2即-<-,由此得n5. 5.至少經(jīng)過5年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入.評析本題以函數(shù)思想為指導，以數(shù)列知識為工具，涉及函數(shù)建模、數(shù)列求和、不等式的解法 等知識點，正確審題、深刻挖掘數(shù)量關系，建立數(shù)量模型是本題的靈魂，(2)問中指數(shù)不等式采用了 換元法，是解不等式常用的技巧.【素養(yǎng)提升練習】公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲備金 a1，以后每

29、年交納的數(shù)目均比上一年增加d(d>0),歷年所交納的儲備金數(shù)目a1，a2,，是一個公差為d的等差數(shù)列.與此同時，國家 給予優(yōu)惠的計息政策，不僅采用固定利率，而且計算復利.如果固定年利率為r(r>0),那么，在第n年末，第一年所交納的儲備金就變?yōu)?a1(1 + r)nT,第二年所交納的儲備金就變?yōu)閍2(1 +r)n 2,以 Tn表示到第n年末所累計的儲備金總額.求證：Tn=An+Bn,其中An是一個等比數(shù)列，Bn是一個等差數(shù)列.解T1 = a1,對n2反復使用上述關系式，得 n-1 4000X 1 4 n >0, 45令乂= 5 n,代入上式得：5x2-7x+ 2>0.2

30、解得x<5，或x>1(舍去).Tn=Tn-1(1 + r)+an2 .= Tn-2(1 + r) + an-1(1 + r) + an= ai(1 +r)n-1 + a2(1 + r)n-2+ + an1(1 + r) + an,在式兩端同乘1 + r,得(1 + r)Tn = a1(1 + r)n + a2(1 + r)n-1+ + an-1(1 + r)2+ an(1 + r),，得drTn = a1(1 + r)n + d(1 + r) 1+(1 + r) 2+ -+(1 + r)-an*(1 + r)n- 1-r + a1(1 + r)n an.ar + dd ar + d

31、即 Tn = p(1 + r)n-rn-r2 一.ar+dar + d d如果記 An= r2(1 + r)n, Bn= - r2 n,ar+ d則Tn = An+Bn,其中An是以一(1 + r)為首項，以1 + r(r>0)為公比的等比數(shù)列；Bn是以一a”+d dd _ 八12- ?首項，一d為公差的等差數(shù)列.類嬰借助數(shù)列的遞推關系建立等量關系【例2】大學生自主創(chuàng)業(yè)已成為當代潮流.某大學大三學生夏某今年一月初向銀行貸款兩萬元作開店資金，全部用作批發(fā)某種商品.銀行貸款的年利率為6%,約定一年后一次還清貸款.已知更某每月月底獲得的利潤是該月月初投入資金的15%,每月月底需要交納個人所得稅

32、為該月所獲利潤的20%,當月房租等其他開支1 500元，余款作為資金全部投入批發(fā)該商品再經(jīng)營，如此繼續(xù)，假定每 月月底該商品能全部賣出.(1)設夏某第n個月月底余an元，第n+1個月月底余an+1元，寫出a1的值并建立an+1與an的遞 推關系；(2)預計年底夏某還清銀行貸款后的純收入.(參考數(shù)據(jù)：1.12113.48, 1.12123.90, 0.1211=7.43X 10 11, 0.12128.92X 10 12)解 依題意，a1 = 20 000(1+ 15%)-20 000X 15%X20%-1 500= 20 900(元)，an+1 = an(1 + 15%) an x 15% x 20%- 1 500= 1.12an1500(nC N*, 1<n< 11).令an+i+仁1.12(an+，則an+i=1.12an+0.12 小對比(1)中的遞推公式，得入=-12 500.則 an 12 500= (20 900 12 500)1.121,即 an = 8 400X