1、專題25導數的應用【標題01】沒有理解“ f (x0) 0是x x0是極值點的必要非充分條件” 322【刁題01】f x x ax bx a在x 1處有極小值10,則a b 2f 3 2ab 0【經典錯解】由題得 f (x) 3x 2ax b,所以2.f(1) 1 a b a2 10所以a 3 b 3或a 4 b 11 ,所以a b 0或a b 7.2f (1) 3 2a b 0【詳細正解】由題得 f (x) 3x 2ax b,所以9.所以a 3 b 3或f(1) 1 a b a2 10a 4 b 11.當a 3 b 3時，f(x) 3x2 6x 3 3(x 1)2 0 ,所以函數f (x)是

2、增函數，與題意不相符，所以舍去.經檢驗，a 4 b11時，滿足題意.所以a b 7.1深度剖析】in經典錯解錯在沒有理解“r(不)=。是工二%是極值點的必要非充分條件(力八)=0不能=工=娓極值點,所以尸飛=0是# = &是極值點的非充分條件寧工二%是極值點=0,所以罡/二/是極值點的必要條件.產是是極值點的必要非充分條件”，所以出現雙值時，要注意檢蛤.【習題01針對訓練】已知函數 f(x) x(x m)3在x 2處取得極小值，則常數 m的值為()A. 2 B .8 C .2或8 D ,以上答案都不對【標題02】求函數的單調性時忽略了函數的定義域的研究ln x一【習題02已知函數f(x

3、) 1 ,試判斷函數f(x)的單調性. x 11nx . . 一【經典錯解】由已知得 f (x) n-.令f (x) 0 ,得|x e| x因為當x e時，f (x) 0 ；當x e時，f (x) 0 .所以函數f(x)在(，e)上單調遞增，在e,)上單調遞減.【詳細正解】)函數f(x)的定義域是(0,).由已知f (x) L暑.令f (x) 0 ,得x e .因為當 x0 x e時，f (x) 0；當x e時，f (x) 0 .所以函數f(x)在(0,e上單調遞增，在e,)上單調遞減.【深度剖析】經典錯睥錯在求函數的單調性時忽略了函數的定義域的研究”2)對于函數問題的研究， 無論是具體函數，

4、還是抽象函數,無論是簡單曾數.還是復雜困數，必須遵循“函數問題，定義域優先” 的原則一 6利用導數來求函數的增(瀛)區間，一般先求函數的定義域普，再求導尸(力，再解不等式/<x)>(<),得不等式解集團再把Q和E求交得到函數的增(減)區間.【習題02針對訓練】已知函數 f(x) alnx x 1,a R.求f(x)的單調區間.【標題03】導函數及其單調性的關系理解不到位1 32【習題03】設函數f(x) -x ax 5x 6在區間1.3上是單調減函數，則實數a的取值范圍是()3A. 底B., 3 C ., 3D. V5,<52 _ 一 一一一. 2_【經典錯解】根據題息

5、 f (x) x 2ax 5 0在區間1,3上恒成立，所以f (x) x 2ax 5的最大值小于零，因為函數開口向上，故最大值在區間端點處取得，所以,f10,，解得a 3,所以選擇C.f302x 2ax 5的最大值一-一 2【詳細正解】根據題意f (x) x 2ax 5 0在區間1,3上恒成立，所以f (x)小于或等于零，因為函數開口向上，故最大值在區間端點處取得，所以,f10,，解得a 3,所以f30選才i B .【深度剖析】(1)經典錯解錯在導函數及其單調性的關系理解不到位.(2)函數單調遞減時，相應的導數值應該小于或等于零(等于零的點為有限個孤立點)，不能寫成導數小于零.錯解漏掉了等號.

6、【習題03針對訓練】已知函數 f (x) ln x 2a,a R .x(1)若函數f(x)在2,)上是增函數，求實數 a的取值范圍；(2)若函數f (x)在1,e上的最小值為3,求實數a的值.【標題04解題不規范沒有嚴格按照教材的要求求函數的極值3【習題04】設函數f (x) x 12x 5,x R.(1)求f(x)的單調區間和極值;(2)若關于x的方程f(x) a有3個不同實根，求實數 a的取值范圍.【經典錯解】(1)Qf'(x) 3x2 12 3(x 2)( x 2)令f'(x)。得：xi2, x2 2 所以f(x)的增區間是(，2)和(2,)，減區間是(2,2)；當x 2

7、時，f(x)取得極大值，極大值 f( 2) 21；當x 2時，f(x)取得極小值，極小值 f(2)11.(2)由(1)得，作出函數 f(x)的草圖如圖所示：數形結合得實數a的取值范圍是(11,21).,.、 一 一2【詳細正解】(1) Q f '(x) 3x2 12 3(x 2)(x 2)令 f'(x) 0 得：x12, x2 2當x變化時，f'(x), f (x)的變化情況如下表:x(,2)2(2,2)2(2,)f'(x)00f(x)增極大減極小增所以f(x)的增區間是(，2)和(2,),減區間是(2,2)；2時，f(x)取得極大值，極大值 f( 2) 21;

8、2時，f (x)取得極小值，極小值 f(2)11.(2)由(1)得，作出函數 f(x)的草圖如圖所示：所以，實數 a的取值范圍是(11,21).1深度剖析 經度錯解錯在解題不規沒有嚴格按照教材的要求求翻I的極值.根據教材的要求P求 陶的極值，一定要列表理由有兩個，T®/®)=。懸11數/冷在工二出有極值的必要沆分柒曲 所以/(不)=0時：不一定罡圖教的極值點，需要檢驗不二罡列表后，某點#=不左右兩邊的單調性 就會一目了然，就能準確也判斷出工=9是不是函數的極值點.行)平時的學習和考試,一定要嚴格按照教 材的要求解獨，包括格式，盡量減少非智力性錯誤扣分一這樣也能保證我們少扣分

9、，少扣分，就是多得分一 【習題04針對訓練】已知函數 f(x) lnx a (a R).x(1)若曲線y f (x)在點(1, f(1)處的切線與直線x y 1 0平行，求a的值；(2)在(1)條件下，求函數 f(x)的單調區間和極值；(3)當a 1,且x 1時，證明：f(x) 1.【標題05】對于函數的圖像分析不透徹推理不嚴謹碰巧做對了32.【習題05已知函數f(x) ln(x -) ,g(x) ln x.1(1)求函數f(x)的單倜區間；(2)如果關于x的萬程g(x) -x m有實數根，求實數 m的取值集合；2(3)是否存在正數k ,使得關于x的方程f(x) kg(x)有兩個不相等的實數根

10、？如果存在，求k滿足的條件；如果不存在，說明理由.3 【經典錯解】(1)函數f(x)的定義域是(3,0)(0,).2對f (x)求導得f (x)3 由 f (x) 0,得一23因此(3, 1)和(3, 2，、1(2)因為 g(x) x123/x -2(x1)(x23x (x 2)3)3,由 f (x)是函數f(x)的增區間;m in0,彳# 1 x 0或0 x 3.1,0)和(0,3)是函數f(x)的減區間.in x1x.2一 一，1所以實數m的取值氾圍就是函數(x) in x -x的值域2,一i11對(x)求導得 (x) 1 1x 2令(x) 0,得x 2,并且當x 2時，(x) 0;當0

11、x 2時，(x) 0當x 2時（x）取得最大值，且(x)max(2) In2 1.因此函數（x） In x（3）結論：這樣的正數1x的值域是2k不存在（,In 2 1即實數m的取值范圍是（卜面采用.反證法來證明：假設存在正數,ln 2f （x）kg（x）有兩個不相等的實數根Xi和X2,則1使得關于x的方程f(X1)kg(X1)f(X2) kg(x2)I /3、In( X1-)22個一k In x1, d根據對數函數定義域知又由（1）可知，當X3 f(X1)=In(x1 2)再由k>0,可得g（X1）-3、In(x2 -)2X12 k In x2.X2Xi和X2都是正數.0 時，f(x)m

12、in f(3)3 一 ，、.，0, f(x2) = In(x2X1In % 0,g(X2)由于X1x2,所以不妨設X1X2 ,由和可得-3、In(x1 2)In x1X1In(X2利用比例性質得3 In(x1 2)ln(31)Inx2 01)X2In x2Inx1 X1In(x2In x132)X2Xi0,1, x21.2 Inx2X2In x23In(1)即風In x1X1由于Inx是區間（1,ln(12x2In x2)- -2.(*)）上的恒正增函數，且1 X1X2,In x1In x21.一 32又In（1）是區間（1,）上的恒正減函數，且2x x1X1X2.In(12bX1In(1 會

13、X21.32In(1 )一 .In x12x1x11n X2 In(1 j.) 2x23In(1 2x1In x1Xi32In(1 )一 2x?x2In x2*)式矛盾.因此滿足條件的X2正數k不存在.【詳細正解】(1)同上，、1(2)因為 g(x) xInIn x1一x.2所以實數m的取值范圍就是函數(x) In x1x的值域.2對(x)求導得(x)令(x) 0,得x 2,并且當x 2時,(x)0；當0x 2時，(x)當x 2時(x)取得最大值，且(x)max(2)In 21.又當x無限趨近于0時，Inx無限趨近于無限趨近于0,進而有 (x),ln 2 1即實數m的11 ,-一In x x無

14、限趨近于8.因此函數(x) In x x的值域是22取值范圍是(，In2 1(3)同上.t深度剖析】經典錯解錯在對于困數的圖像分析不透徹，推理不嚴謹，碰巧做對了一(2)令獷(用一口得并且當X、2力獷(力當時妣冷取得最大值，且次H)9 =*2)=hi2-L這里J并沒有冊究函數的最小值或函數向下時函數值的變化越勢.如果函 射向下雙今=如尤不是無限趨近于s,而是趨近某一個常數叫即函數的圖像是六吊”在中間， 那么這個答案就會出問題.所以在研究圖數的圖像和性質時，要養成嚴謹9睜的好習慣,慣性思維聯想到, 闔有最大值，那么最小值情況是怎么樣的呢？【習題05針對訓練】已知函數 f (x) ex,g(x) I

15、n(x m).直線I:y kx b經過點P( 1,0)且與曲線 y f(x)相切.(1)求切線I的方程；(2)若關于x的不等式kx b g(x)恒成立，求實數 m的最大值.1(3)設F(x) f(x) g(x),若函數F(x)有唯一的零點x0,求證-1 x0一 .2【標題06】求函數的極值時忽略了函數的定義域【習題06已知函數f(x) 2x2 alnx.(1)若a 4,求函數f(x)的極小值；3(2)設函數g(x)-x2 1 a x,試問：在定義域內是否存在三個不同的自變量x(i 1,2,3)使得2f X g K的值相等，若存在，請求出 a的范圍，若不存在，請說明理由？【經典錯解】(1)由已知

16、得f (x) 4x 4 4x一D,令f (x) 0 x1或x 1x x則當1 x 1時f(x) 0, f (x)在(1,1)上是減函數，當x 1時或x 1時f(x) 0, f (x)在(，1), (1,)上是增函數，故函數f(x)的極小值為f(1) 2 .(2)若存在，設 f xg xm(i 1,2,3),則對于某一實數 m方程f(x) g(x) m 0在(0,)上有三個不等的實根，設 F(x) f(x) g(x) m 2x2 alnx 3x2 (1 a)x m ,2則函數f (x) g(x) m 0的圖象與x軸有三個不同交點，即F (x) 4x 3x 1 a -a)x-a在(0,)有兩個不同

17、的零點.xx顯然F (x) x一(1 a)x a (x 1)(x a)在(0,)上至多只有一個零點.xx則函數F(x) f (x) g(x) m的圖象與x軸至多有兩個不同交點，則這樣的S不存在.【詳細正解】(1)定義域為(0,),由已知得f (x) 4x 4 4x一9, x x則當0 x 1時f(x) 0, f (x)在(0,1)上是減函數，當x 1時f(x) 0, f(x)在(1,)上是增函數，故函數f(x)的極小值為f(1) 2 .(2)若存在，設 f x g x m(i 1,2,3),則對于某一實數 m方程f(x) g(x) m 0在(0,)上有三個不等的實根,(1 a)x m,3 9設

18、 F (x) f(x) g(x) m 2x a In x - x 2則函數F (x) f (x) g(x) m的圖象與x軸有三個不同交點，即F(x) 4x a 3x 1 a -一(1 a" a在(0,)有兩個不同的零點.xx2舁袋匚 x (1 a)x a (x 1)(x a) 0、顯然F (x) 在(0,)上至多只有一個零點.xx則函數F(x) f (x) g(x) m的圖象與x軸至多有兩個不同交點，則這樣的常不存在.深度剖析】11)經曲錯解錯在求函數的極值時忽略了函數的定義域一(2)曬數的極值的一般步舞二先求 定義域D,再求導廣再解方程/q=。(注意和口求交集"最后列表確

19、定極值.錯解前面沒有考查 困數的定義城，后面也沒有?巴方程的解和定義域求交,要把不在函域定義域內的值舍去.對于治城問題 的研究，無論是具體函數，還是抽象函數，無論是簡單困數，還是復雜困數.必須遵循“函麴問題，定義 域優先”的原則，并且不育疣形式;必須在解題中應用.【習題06針對訓練】設f(x) a(x 5)2 6ln x,其中a R,曲線y f (x)在點(1, f (1)處的切線與y軸相交于點(0,6).(1)確定a的值；(2)求函數f (x)的單調區間與極值.【標題07審題錯誤把單調函數理解為單調增函數【習題07已知a 0,且函數f(x) (x2(L) 14(1 a) 8a 0或 2 解得

20、：a .故f(x)在1,1上不可能為單倜函數.g(1) 0.【詳細正解】f (x) ex(x2 2ax) ex(2x 2a) exx2 2(1 a)x 2af (x)在1,1上是單調函數. 2ax)ex在1,1上是單調函數，求 a的取值范圍.【經典錯解】f (x) ex(x2 2ax) ex(2x 2a) exx2 2(1 a)x 2a又f(x)在1,1上是單調函數，f (x) 0在1,1上恒成立.即exx2 2(1 a)x 2a 0在1,1上2(1 a) 1恒成立. ex 0, g(x) x2 2(1 a)x 2a 0在1,1上恒成立.即2 或g( 1) 0(1)若f(x)在1,1上是單調遞

21、增函數.則f (x) 0在1,1上恒成立，即exx22(1 a)x 2a 0 在1,1上恒成立.20. g(x) x 2(1 a)x 2a0在1,1上恒成立，則有a 11g( 1) 02_4(1 a) 8aa 1 1g(1) 0解得，a(2)若f(x)在1,1上是單調遞減函數，則f (x) 0在1,1上恒成立. exx2 2(1a)x 2a 0在1,1上恒成立.ex0 . h(x) x22(1 a)x 2a 0 在1,1上恒成立.則有h( 1) 01 0 a 3 .，當a 3,)時，f(x)在1,1上是單調函數.h(1) 03 4a 044,【深度剖析】經她錯解錯在畝題錯俁把單調函數理解為單調

22、增函數.(2)錯解認為/冷為里調理覽冷就只育的單調增函里,其實/(可還有可葡為單調被困射，因此應令/，)手口或尸(X)wo在L-L1上恒成立.【習題07針對訓練】已知函數 f(x) (x2 a)ex .(1)若函數f(x)在R上不是單調函數，求實數 a的取值范圍;(2)當a 1時，討論函數ng(x) f (x) 4xex x(x 1)的零點個數.【標題08】對“任意”和“存在”問題的區別沒有理解到位【習題08已知函數f (x) ax ln x ( a R)(1)求f(x)的單調區間；2(2)設g(x) x 2x 2 ,若對任意X (0,),均存在x2 0,1,使得f(x) g(x2),求實數a

23、的取值范圍.1【經典錯解】(1) f (x) a - (x 0) x當a 0時，由于x (0,),f (x) 0,所以函數f(x)的單調增區間為(0,),當a 0時，令f (x) 0 ,得xa當x變化時，f (x)與f(x)變化情況如下表:x1 (0,-) a1 a1(一,)af (x)0f(x)單調遞增極大值單調遞減所以函數f(x)的單調增區間為(0, 1),函數f(x)的單調減區間為(1,) aa 由已知,轉化為f(x)max g(x)min接下來，求函數f (x)max和g( x)m(.【詳細正解】(1)同上.(2)由已知，轉化為 f(x)max g(x)max 因為 g(x) x2 2

24、x 2 (x 1)2 1, x 0,1,所以 g(x)max=2由(n)知，當a 0時，f(x)在(0,)上單調遞增，值域為 R,故不符合題意.(或者舉出反例：存在 f(e3) ae3 3 2 ,故不符合題意.)當a 0時，f (x)在(0, 1)上單調遞增，在(1,)上單調遞減， aa故f(x)的極大值即為最大值，f( 1)1 ln( 1)1 ln( a),aa11所以21 ln( a),解得a-1 .3e【深度剖析】(i.)經曲錯解錯在對“任意叼r存在”問題的區引段有理解到位從而得到或由小., 實際上應該是/”4期力皿.若對任意的巧E時.存在使得/缶) 翅迎h等價于，(工)3虱力g ；若時

25、任意的三 WM二任意&EM使得“%”飆三人等價于/(幻皿鼠工皿!若存在x M ,存在x2N,使得f(x1)g(x2),等價于f(x) ming( x)max ；若存在 M,任意x?N,使得f (xi) g(x2),等價于f (x)ming(x)min .對于這4個關于“任意”和“存在”的命題，大家要理解透徹，不要死記硬背.【習題08針對訓練】已知函數 f (x) ex 2x , g (x) x2 m (m R)(1)對于函數y f(x)中的任意實數x,在y g(x)上總存在實數x0,使得g(x0)f(x)成立，求實數m的取值范圍;(2)設函數h(x) af (x) g(x),當a在區間

26、1,2內變化時,(1)求函數y h (x) x 0,ln 2的取值范圍；【標題09】對命題f (x)(2)若函數y h(x) x 0,3有零點，求實數 m的最大值.g(x)恒成立錯誤理解為f (x)ming (x)max【習題 09已知 f(x) xlnx, g(x) x2 ax 3.(1)求函數f (x)在t,t 1 (t 0)上的最小值;(2)對一切x (0,),2 f (x) g(x)恒成立，求實數a的取值范圍;一 . 一 12(3)證明：對一切x (0,)，都有lnx '二成立.e ex【經典錯解】(1) f (x) ln x 1.f (x) 0, f(x)單調遞增.1一 ；

27、w ef ( x) min f(t) tint .1“1(0, -), f (x) 0,f(x)單調遞減，當 x (一,e1rt - t 1,即 0 t e1 ,，一時，f (x)eef (1) mine1 ,t t 1,即t -時，f(x)在t,t 1上單調遞增, e所以f(x)min1,0 t et ln t,t 一 e(2)對一切x(0,),2 f (x) g(x)恒成立，等價于x (0,),2f(x)ming(x)max接下來求2 f (x) min , g (x)max ,再解答.1 x 2(3)問題等價于證明 xln x f (x (0,), e e. 一, 11由(1)可知f(x

28、) x In x(x (0,)的取小工值是 一，當且僅當x -時取到 eex21 x設 m(x) 一(x (0,),則 m(x) x-,易知e ee，、，、1， ，一 、一，12 一m(x)max m(1) i,當且僅當x 1時取到，從而對一切 x (0,),都有lnx -x-成立. ee ex【詳細正解】(1)f (x) ln x 11,，工、，1(0, -), f (x) 0, f(x)單調遞減,當 x (一,e1rr1t - t 1,即 0 t 時，f (x) eeef (1) mine),f(x) 0, f(x)單調遞增所以1 ,t t 1,即t 一時，f(x)在t,t 1上單調遞增,

29、 ef(x)minf(t) tint.f(x)min1,0 t et ln t,t(2) 2xln x設 h(x) 2ln xc i3ax 3,則 a 2ln x x -(x 3)(x 1)2x3,x 一(x 0),則 h (x) x),h(x) 0,h(x)單調遞增, x (0,1),h(x) 0,h(x)單調遞減， x (1,所以 h(x)minh(1) 4,對一切 x (0,),2 f (x) g(x)恒成立，所以 a h(x)mm4(3)同上.深度剖析】經曲錯解錯在對常題f83g恒成立錯誤理解為/由之一恒成立，由于不等式兩邊國數的自變量都力所以它表示兩個也數取相同的自變量的值時,/(力

30、)鼠制 恒成立,并不能代表了30之雙磯般轉化成/(冷一氟冷之0恒成立即了3-盛丸皿之。.也可以 像上面的解答一樣分離參數.3)如果是2點巧L由于兩邊的自變量不同，所以等價T以力a師以解答類似的恒成立問題時j要注意觀察兩邊函數的自變量的形式j再等價轉化命題.1 C【習題09針對訓練】已知函數 f (x) - x2 alnx, g(x) (a 1)x .2(1)若直線y g(x)恰好為曲線y f(x)的切線時，求實數 a的值；一1(2)當x - , e時(其中無理數e 2.71828 ), f(x) g(x)恒成立，試確定實數 a的取值范圍.e【標題10】函數在區間(-1,1 )上為減函數和減區間

31、為(-1,1)沒有區分清楚【習題10已知函數f(x) x3 ax 1的單調減區間為(1,1),求a的取值范圍【經典錯解】f (x) 3x2 a由題得3x2 a 0在(-1,0上恒成立所以a 3x2在(-1,。上恒成立a 3 所以a的取值范圍為3,).【詳細正解】f (x) 3x2 a令3x2 a 0 3x2 a由題得a 0xJ|所以Ja 1 a3 所以a的取值范圍為a 3 .所以a 3x2在(-1,。上恒成立 a3 所以a的取值范圍為3,).t深度剖析】經典錯解錯在解I在區間511)上為減函數和城區間為"L 1)沒有區分清楚.函數在區間(-1,1)上為減國故,只前說明的熱的城區間為(

32、-IJ)或者何區間比"LD還要大，所以J'O) 50在-1,1 上恒成立，函數的漏區間為C-lilb說明就是的數的整個漏區間，除此之外沒有瀛區間所叫八力曲解集為(-1,D即73瞭解集為(-L1).所以經典錯解錯在理解為函額在區間(-1,1)是減函數.對于這兩個容易混淆的概念，大冢宙題一定要認真,a .【習題10針對訓練】已知函數 f (x) x 一 lnx, a r . xE (I)若f(x)在x 1處取得極值，求a的值;(n)若f (x)在區間(1,2)上單調遞增，求a的取值范圍;(出)討論函數 g(x) f (x) x的零點個數.高中數學經典錯題深度剖析及針對訓練第25講

33、：導數的應用參考答案【習題01針對訓練答案】【習題01針對訓練解析】32m 3x x m2x m 4x m ,由題意可知f' 228.當m 2時，在x 2兩側f' x均為正，此時x 2不是函數f x的極值點，故舍，所以m 8,故選B .【習題02針對訓練答案】當a 0時，f(x)減區間為(0,)；當2 0時，f(x)遞增區間為 0,a ,遞減區間為 a,【習題般針對訓練解析】41)/(冷=一1=二色>0). x x當ava時-fx)<ar /G)城區間為也當。>0時:由/，(力 得口 <HVQ,由)飛工>40得工)日遞增區間為(0山),遞房區間為(

34、仁木可.【習題03針對訓練答案】(1) (,1； (2) a e.2a1 2a【習題03針對訓練解析】(1) .f(x) lnx ，.-f (x)- xx x f(x)在2,)上是增函數一 12ax , f (x) 2 >0在2,)上恒成立，即aw 在2,)上恒成立.x x2人，、x令 g(x) 2,則“g (x) m , x 2,)/、 x， g(x) 2 在2,)上是增函數，g(x) min g(2) 1，a 1 .所以實數a的取值范圍為(，1x 2a(2)由(1)得 f (x) , x 1,ex若2aC.則;即了力。在"旬上恒成立，此時/琦在口,句上是增函數所以/(，)皿

35、=/(1)=3 n 3,解得口 二"(舍去)若1曲石” 號尸(力=0,再#當1VXC及時，/V)v0,所以八力在a %)上是減的鼬，當2avxc©時，如八,所以在(%上是增函物所以/L =，()=皿初+占"解得口=身(舍去) ,JL,區若2。，則K-2c 40,即/&"。在口同上恒成立,此時73在口同上是溫兇融，所以，3L =)= "=巧所以/二。【習題04針對訓練答案】(1) a 0; (2)詳見解析；(3)證明見解析.【習題04針對訓練解析】(1)函數f(x)的定義域為x|x 0,1 ln x a所以f (x) 2.又曲線y f (

36、x)在點(1,f (1)處的切線與直線x y 1 0平行，所以xf (1) 1 a 1,即 a 0.(2)令 f (x) 0,彳導x e當x變化時，f (x), f (x)的變化情況如下表：所以f(x)在x e處取得極大值，f(x)極大值ln x 1(3)當 a 1時，f (x).由于 x 1,x只需證明lnx 1 x.f(e)In ee，要證f (x)In x 11,由表可知：f(x)的單調遞增區間是(0,e ),單調遞減區間是(e ,)x(0,e)e(e,)f (x)+0一f(x)極大值、因為x 1,所以h'(x) 0,故h(x)在1, 上單調遞增，當 x 1 時，h(x) h(1

37、) 0,即 lnx 1 x成立.故當x 1時，有1nx 1,即f(x) 1. x3題。5針對訓練答案】尸7+1,2 3證明見下面解驚【習題。5針對訓練解析】(1)諛直線/與困數相切于點H (再“。由于八#)二喜廝以二 環住一碼)因為直線，過點H-L。上所以。加=屋。一毛)，整理得不步=0解得個=0,所以切線九y = x+l(2)設石00=1+/一口(工+爐。n舊:工+詡 1 x + m當工已(一呵1一帆)時,廳(力rO：xE(l網+»)時，/(力0所以氏在x=l-前處取得極小值，也是最小值.因此要使不等式成立，則 h(1 m) 2 m 0,所以m的最大值是2., . . x 1x 1

38、 一(3)由題設條件知，函數 F (x) e (x m), F (x) e 2 0,x m(x m)則 x ( m,xO)時，F (x) 0, x (x0,)時，F (x) 0所以函數F(x)有唯一的極小值，也是最小值 .當 x m時，F(x) ，當 x 時，F(x) ,所以函數F (x)有唯一零點的充要條件是其最小值為0 .即 F(x0) 0,故 ex0 1n(x0 m) 0 ,由于 一1一 ex° ,所以 ex0 % 0 x° mx,、x1111設 H(x) ex, H (x)e1 0,又因為 H ( 一)e 由零點存在性定理知1 %1.0, H ( 1) 1 022e

39、 Ib 9【習題06針對訓練答案】Cl) -> O)熔區間0)431出期j減區間(2,3)j極大值7461d2,極小值2461m3 .【習題。6卦對訓練解析】 因丁二。任一5y+6Et,故0)=火/-5) + §. x令*=1 ,得/Q>=1&7j F(D=6四，斫以曲線丁 = /(力在點(1JU»處的切線方程為 y 13 = (6必)任一11由點聲)在切線上可得6 1府=必6 ?故日=：.團由 0)知:/(x)=-(x-5)2+61dx(x>0), /'(力三h5十§ 二(.一2)(工一§), 2x x令/(二)=0

40、,解得& =2,/=3 .當 0 x 2或 x 3 時，f (x) 0,故 f(x)在(0,2), (3,)上為增函數；當2 x 3 時，f (x) 0,故f (x)在(2,3)上為減函數.9一由此可知f (x)在x 2處取得極大值f (2) 61n 2 ,在x 3處取得極小值f (3) 2 6ln 3.21 【習題07針對訓練答案】(1) a 1； (2)只有一個零點22x2【習題07針對訓練解析】(1) f (x) (x 2x a)e ,由題意知方程x2 2x a 0有兩個不同的實數解，1 1所以=4+8a 0,解得a 1.因此，實數 a的取值范圍是a 1 .2 22 xx 2(2

41、) g(x) (x 1) e x(x 1), g (x) e (x 1) 1 .x 2x 2設 h(x) e (x 1) 1(x 1) , h (x) e (x 2x 1),因為x 1,所以h(x) 0,故h(x)在(1,)上是增函數，2又h1 0，h(2) 3e 1 0,因此在(1,2)內存在唯一的實數x0,使得h(x0) 0,因為h(x)在(1,)上市增函數，所以在(1,)內存在唯一的實數 x0,使得h(x0) 0 .h(x)與h (x)隨x的變化情況如下表：x(1,x。)x0(x0,)g (x)0g(x)極小值Z由上表可知，g(x0) g(1)1 0,又 g(2) e2 2 0,故g(x

42、)的大致圖象右圖所示:所以函數g(x)在(1,)內只有一個零點.【習題08針對訓練答案】(1) m 2 21n 2; (2) (1)2, 1 ; 2e3 21習題08針對訓練解析MD原命題o 或創皿(切 先求函數p =的最小值，令/'(出=/2 = 0,得工=1 口2 .當kaI口 2時，尸(冷0；當匯clu2E寸j fg <0 .故當工=1口2時.F=r(x)取得極(最”卜值，其最小值為2而理數T=s(x)的最小值為叫曲當稀<2-2加2時, 能論成立(3)(1)：由雙力=。(在工一2力一/一熱，可得五1(»二值>工一2)-2工，把尸=拈；力這個位數看成是關

43、于口的一次國教，當底RMd司時,，一2<0,因為。eL2L故爾(力的值在區間2( -2)-2x(1 -2)-2x±t, Af(jc) = 2(-l)-2x r xe01ln2, JJJ Afr(x) = 2-2> 0 , 必在北匚0e2為增國數，故抑哺在比k2最小值為M=2,又會 同輝可求得NI禽在工亡Q In 2的最大值W«01=1 ,所以抽尸=收封在X左0, k 2的值域為2,1.(2) (2)當xw電皿可時)2)2"的最大值N=T,故對任意口HL2L 風減在 XE。加2均為里調遞城醴，所以11擻坂力噸=就。，二口一雁當 x 1n2,3時，因為 ex 2 0, a 1,2,故 h (x)的值在區間(ex 2) 2x,2(ex 2) 2x上變化,此時，對于函數M (x),存在x0 1n 2,3 , M (x)在x In 2, x0單調遞減，在x x0,3單調遞增，所以, 3_一3h(x)在 x 1n 2,3的最大值為 h(3) a(e3 6) 9 m ,因為 a 1,2, h(3) h(0) a(e3 7) 9 0 , 所以h(3) h(0),故h(x)的最大值是h(3) a(e3 6) 9 m ,又因為a 1,2,故當函數y h(x)有