1、20122013學年度第一學期高三數學模擬試卷一、填空題：1若復數滿足（i是虛數單位），則= 2已知為銳角，則 3設是單位向量，且，則向量的夾角等于 4從標有數字1到4的四張卡片中任取2張，則積為偶數的概率為 5右圖是一程序框圖，則其輸出結果為 6在ABC中，C為直角，且25，則AB的長為 開始結束S=0是否輸出(第5題)12 48 16 32（第12題）7已知雙曲線的頂點與焦點分別是橢圓的焦點與頂點，若雙曲線的兩條漸近線與橢圓的交點構成的四邊形恰為正方形，則橢圓的離心率為 8已知圓：，過圓外一點作圓的切線（為切點），當點在直線上運動時，則四邊形PAOB的面積的最小值為 9設函數，若對于任意的

2、，2，不等式0恒成立，則實數a的取值范圍是 10如圖，點P是單位圓上的一個動點，它從初始位置(單位圓與x軸的一個交點)開始沿單位圓按逆時針方向運動角到達點，然后繼續沿單位圓按逆時針方向運動到達點，若的點橫坐標是，則的值等于 11在ABC中有如下結論：“若點M為ABC的重心，則”，設a，b，c分別為ABC的內角A，B，C的對邊，點M為ABC，則內角A的大小為 12將首項為1，公比為2的等比數列的各項排列如上表，其中第行第個數表示為，例如若，則 13.已知函數的圖象在點處的切線恰好與直線平行，若在區間上單調遞減，則實數的取值范圍是 14已知函數,若，且，則的最小值為 二、解答題： 15在ABC中，

3、角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且A，B，C成等差數列（1）若，b，求ac的值；（2）求的取值范圍 16. BADCFE（第16題）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，,為的中點，求證（1）平面； （2）平面平面 17如圖，某市擬在道路的一側修建一條運動賽道，賽道的前一部分為曲線段ABC，該曲線段為函數y(A0，0，)，x3，0的圖象，且圖象的最高點為B(1，)；賽道的中間部分為千米的水平跑到CD；賽道的后一部分為以O圓心的一段圓?。?）求，的值和DOE的值；（2）若要在圓弧賽道所對應的扇形區域內建一個“矩形草坪”，如圖所示，矩形的一邊在道路AE上，一個頂點在扇形半徑OD上記POE，求

4、當“矩形草坪”的面積最大時的值18.已知數列的前項和為，且滿足，其中常數（1）證明：數列為等比數列； （2）若，求數列的通項公式；（3）對于（2）中數列，若數列滿足（），在與 之間插入（）個2，得到一個新的數列，試問：是否存在正整數m,使得數列 的前m項的和?如果存在，求出m的值；如果不存在，說明理由. 19圓錐曲線上任意兩點連成的線段稱為弦.若圓錐曲線上的一條弦垂直于其對稱軸，我們將該弦稱之為曲線的垂軸弦.已知點、是圓錐曲線C上不與頂點重合的任意兩點，是垂直于軸的一條垂軸弦，直線分別交軸于點和點.（）試用的代數式分別表示和；yEPNMxOF（第19題）（）已知“若點是圓C：上的任意一點（），

5、是垂直于軸的垂軸弦，直線分別交軸于點和點，則”. 類比這一結論，我們猜想：“若曲線C的方程為（如圖），則也是與點M、N、位置無關的定值”，請你對該猜想給出證明.20已知：二次函數，其中，且函數在處取得極值.（I）求所滿足的關系；（II）若直線：與函數在上的圖象恒有公共點，求的最小值；（III）試判斷是否存在，使得對任意的，不等式恒成立？如果存在，請求出符合條件的的所有值；如果不存在，說明理由.參考答案一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分1 2 , 3 4 4 5 6乙 78 9 10 11 12122 131或 14二、解答題：本大題共6小題，共90分.解答應寫出文字說明、證明過

6、程或演算步驟15.解：（I）， 2分 =，所以y=的最小正周期為T2. 5分（），9分， 12分函數的值域為. 14分16. （1）證明：在正方形中，因為， 所以三棱柱的底面三角形的邊因為，所以，所以因為四邊形為正方形，所以，而，所以平面（2）解：因為平面，所以為四棱錐的高因為四邊形為直角梯形，且，所以梯形的面積為所以四棱錐的體積17. 解：（1）3分（當且僅當時，取等號）生產100萬套時，每套成本費用最低.6分（2）由題設，利潤，9分當，即時，當產量為萬套時，利潤最大12分當時，函數在上是增函數，當產量為200萬套時，14分18.（）解：因為是垂直于軸的一條垂軸弦，所以，則 2分 令則 4分

7、 同理可得：， 6分（）證明：由（）可知：， 8分 在橢圓C：上， . 10分 則（定值）.是與和點位置無關的定值. 15分19解：（）點的坐標依次為， 則，若共線；則，即，即，所以數列是等比數列。 （）依題意，兩式作差，則有：， 又，故， 即數列是公差為的等差數列；此數列的前三項依次為，由，可得，故，或，或。數列的通項公式是，或，或。 由知，時，不合題意；時，不合題意；時，； 所以，數列的通項公式是。 20解：（I） 由已知得，代入， 2分（II）由題意得：方程在時總有解， ，即， 當時， 在時單調遞減， 4分 當時，由，同理可得， 當時，由（當且僅當時，取“=”）得， 當時，同理可得. 6分 要使得直線：與函數在上的圖像總有交點，實數應取、（），（）三者中的最大值，（），又（