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文檔簡介

1、旋轉矩陣四元素法和光束法平差模型1.旋轉矩陣的四元素表示法:由于利用傳統旋轉矩陣表示法解算時,旋轉陣中的三角函數存在多值性和奇異性,經常導致迭代計算的次數增加,甚至會出現不收斂情況。Pope從四維代數出發,提出用四個代數 參數d, a, b, c 構成R矩陣,Hinsken 導出了一整套公式,即pope-hinsken 算法(簡稱P-H 算法),使pope參數在實際攝影測量中得到了應用。設四個參數d, a, b, c服從下列條件(如式 3-1 ):2 d2 2a b2c 1(式3-1 )用這四個參數構造下列矩陣(如式3-2 )dabcdabcadcbadcbPQ a(式3-2 )bcdabcd

2、acbadcbad可以知道P,Q矩陣都是正交矩陣,從而可知(式3-3):10 0 00T PQ(式 3-3 )0 R0TT tT因T T Q P PQ |4X4可知R R I 3X3, R為正交矩陣,其形式如(式 3-4):I d2 + a - e2b +- W J 1盤=2/a b - n/ J (t - «' + h' - c' 2( be + ml J I2;J2( uc + Wj1( R atJ 丿 rf - rt" - i> +(式 3_4)上式就是旋轉矩陣R的四元素表示法,可以表示任何一種旋轉狀態。2.光束法平差模型:在解析攝影測量

3、中,將外方位元素和模型點坐標的計算放在一個整體內進行,此時稱其為光束法。光束法平差是以共線方程式作為數學模型,像點的像平面坐標觀測值是未知數的非線性函數,經過線性化后按照最小二乘法原理進行計算。該計算也是在提供一個近似解的基礎上,逐次迭代來達到趨近于最佳值的。共線方程式的表達:設S為攝影中心,在世界坐標系下的坐標為(Xs,Ys,Zs) ;M為空間一點,在世界坐標系下的坐標為(X,Y,Z), m是M在影像上的構象,其像平面和像空間輔助坐標分別為(x,y, -f), ( Xm,Ym, Zm),此時可知S、m、M三點共線。可得(式 3-5)(式 3-5)XmYmZmX XS Y YS Z ZSTR

4、YmZma2b2C2 * Yma3b3C3 Zm(式 3-6)由式3-5和式3-6可解得共線方程式為(式 3-7)x X0y y°(式 3-7)ai(X Xs) bi(Y YS) C1(Z ZS)a3(X Xs) b3(Y YS) C3(Z ZS)a2(X Xs) b2(Y YS) C2(Z ZS)a3(X Xs) b3(Y YS) C3(Z ZS)其中,Xo、yo、f是影像內方位兀素;表示像平面中心坐標和攝像機主距。共線方程式的線性化:該方程式一次項展開式為(式3-8)FxFx 0Fx -jdxsFxFx -jTs dYsZs dZs互d-Fxd-FxdFxFx -jx dxy d

5、YFx - dZFyFy0Fy 亦dxs -旦 dYs衛 dZs-Ys YsZs Zs上衛d弓dx弓dY弓dZ(式3-8)式中FX0、Fy0為共線方程函數近似值,dxs、dYs、dzs、d、d、d為外方位兀素改正數,dx、dY、dZ為待定點的坐標改正數。在保證共線條件下有:FxFx FxFxFxFxXXs, YYsJ ZZs_FyFy FyFyFyFy(式3-9)XXs , YYs,ZZs此時,根據式3-7以及旋轉矩陣可得到(式3-10):a11FxXs3a3 Fx)a12Fx YsZ (b1fbaFx)a13FxZs珂dfeFx)a 21Fy Xsa3Fy)a 22FyYs舟(b2 fb3F

6、y)a 23FyZs4(c2fC3 Fy)a14Fxy si nf (xcosy sin )f coscos(式 3-10)a15Fxf sinf (xsinycos)a16-±xya 24Fyyxsi nf (xcosysin )f sincosa25Fyf cos7 (xsinycos)Fya 26x誤差方程式的建立:據此可得到誤差方程式為(式3-11 ):Vxa11dxsa12dYsa13dZs a14d a15da16da11dxa12dYa13dZ lx(式3-11)Vya21 dxs a22 dYsa23dZs a24d a25da26da21dxa22dYa23dZ|y

7、其中有:TVVxVya11a12a13a14a15a16Aa21a22a23a24a25a26a11a12a13Ba21a22a23TXdx.;dYsdZsdddTt dxdy dZTLlx|y法方程式的建立:根據平差原理可知其法方程式為(式3-15):ataatb *XatL門0(式3-15)btabtbtbtL此時,對于加密點,只需列出誤差方程式,權賦1;對于控制點,列出誤差方程式,還要列出虛擬誤差方程式,權賦P。lxFxFx 0x fa1(X Xs) b1(Y YS) C1(ZZS)ZS)a3(X Xs)b3(YYS) C3(Z|yFyFyoy fa2(X Xs)b2(YYS) C2(Z

8、ZS)(式 3-12)a3(X Xs)b3(YYS) C3(ZZS)將誤差方程式改寫成矩陣形式可為(式3-13):dxsVxdYsdx|xa11a12a13a14a15a16ch*a11a12a13*dYVya21 a22a23a24 a25a26dda21a22a23dZ|yd(式3-13)也可簡寫成:V AB * X L AX Bt L(式 3-14)在該式中有:t虛擬誤差方程式為(式 3-16):VXX式 3-16 )PVV 為最小建立權為 P VYYVZZ列出各類點的誤差方程式后,按照最小二乘法原理建立法方程式,即按N 11 N12 N 22N 12T * XL1N12 N 221L23-18)的法方程式為(式 3-17):AT PAATPBBTPBX*tAT PLBTPABT0PL(式3-17)也可簡寫成:N 11N12XL1*0N12TN 22tL2在根據上式進行展開消元可得改化法方程式為:或者N 22 N 12 N111 N 12 * tL2N 12 N 111L13-19)根據式 3-18 可以求解出外方位元素的改正值;3-19 可以求解出點的坐標改正值。 .結果判定: 將改正數和規定的限差相比較,若小于限差則迭代完成,否則用未知數的新值又作為 近似

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