1、實用標準文案高等數學中值定理的題型與解題方法高數中值定理包含：1.羅爾中值定理(rolle);2.拉格朗日中值定理(lagrange);3.柯西中值定理 (cauchy);還有經常用到的泰勒展開式(taylor),其中(a, b) ，一定是開區間.全國考研的學生都害怕中值定理，看到題目的求解過程看得懂，但是自己不會做，這里往往是在構造函數不會處理，這里給總結一下中值定理所涵蓋的題型，保證拿到題目就會做。題型一：證明：f n ( )0基本思路，首先考慮的就是羅爾定理(rolle) ，還要考慮極值的問題。例 1.f ( x)C a, b 在 ( a, b) 可導， f (a)f (b)0 ， f

2、(a) f ( ab)0 ，2證明：存在(a,b) ，使得 f '()0 .分析：由 f (a)f (b)0 ， f (a) f ( ab )0 ，容易想到零點定理。證明： Q f (a) f ( ab)2(a, a b) ，使得 f (x1)0，存在 x10 ，22ab又Q f (a)f (b)0，f ( a), f (b) 同號，f (b) f (0，2)( ab , b) ，使得 f ( x2 )存在 x0 ，22f ( x1 )f ( x2 ) 0 ，所以根據羅爾中值定理：存在(a,b) ，使得 f '( ) 0 .例 2.f ( x)C0,3 在 (0,3)內可導，

3、f (0)f (1)f (2) 3 ， f(3)1 ，證明：存在(0,3)，使得f'( )0證明：（ 1）Qf ( x)C0,3，f ( x) 在 0,3 使得上有最大值和最小值M , m ，根據介值性定理 mf (0)f (1)f (2)M ，即 m1M3存在 c0,3 ，使得 f (c)1 ，（ 2 ）Q f (c)f (3)1，所以根據羅爾中值定理：存在(c,3)(0,3) ，使得 f'( )0 .例 3.f ( x) 在 (0,3) 三階可導，x0,1 ， f (1)0 ， F ( x)x3 f (x)文檔實用標準文案證明：存在(0,1)，使得F ''&

4、#39;()0證明：（ 1）Q F(0)F (1)0 ，存在1(0,1) ，使得 F '( 1 )0 ，（ 2 ） F '( x)3x2 f (x)x3 f '(x)，所以 F '(0)F '(1)0 ，存在2 (0,1) ，使得 F''(2) 0，（ 3 ）F ''(x)6xf ( x)3x2 f'(x)3x2 f '(x)x3 f ''(x) ，所以 F ''(0)F ''( 2) 0，存在(0, 2)(0,1) ，使得 F '''

5、()0 ，例 3. f ( x)C0,1在 (0,1)內可導， x0,1 ， f11(0) 1 ， f ()， f (1) 222證明：存在(0,1)，使得 f'()0證明： Qf(0) 1， f (1 )1， f (1)2存在(0,1) ，使得 f ()m ，22又 Qf ( x) 在 (0,1) 內可導，存在(0,1) ，使得 f '()0題型二：證明：含，無其它字母基本思路，有三種方法：（1 ）還原法。 ln f (x)'f '( x) 能夠化成這種形式f ( x)例 1. f ( x)C0,1在 (0,1)可導， f (1)0，證明：存在(0,1) ，使

6、得f'()3 f ()0 .分析：由 xf '(x) 3 f ( x)0f'(x)30lnf (x)'(lnx3 )'0 ，f (x)xln x3 f (x)'0證明：令( x) x3f ( x) ，Q (0)(1)1存在(0,1) ，使得'()0 ，而'()3 2 f ()3 f '()0存在(0,1)，使得f'()3 f ()0例 2. f ( x)C a, b 在 ( a, b) 可導，f (a)f (b)0，文檔實用標準文案證明：存在(a,b) ，使得 f '()2 f ()0.分析：由 f'

7、;( x)2 f (x)0f'( x)20lnf ( x)'(ln e 2 x)'0 ，f ( x)lnf ( x)e 2x '0證明：令( x)f ( x) e 2x ， Qf (a)f (b)0，(a)(b)0存在( a, b) ，使得'()0 ，而'(x)2 f ( x)e 2 xf'( x)e 2xe 2 x2 f ( x)f'(x) 0e 2 2 f ( ) f '( )0即存在(a,b) ，使得f'()2 f ()0例 3.f ( x) 在 0,1 上二階可導，f (0)f (1)，證明：存在(0,1)

8、，使得 f ''()2 f'().1分析：由 f''(x)2 f'( x)f''( x)210ln f '( x)'ln( x1)2 '0 ，1xf'( x)xlnf'( x)( x 1)2 '0證明：令( x)f '(x)( x1)2 ，Qf (0)f (1)c(0,1)，使得 f '(c)0 ，所以(c)f '(c)(c1)20 ，又因為(1)0( c)(1)0由羅爾定理知，存在(0,1) ，使得 f''()2 f '()1.記：f

9、 'kf(x)ekx f (x)f'kf( )xkf(x)x（2 ）分組構造法。f ''( )f ( )f ''(x)f ( x)0f ''( x)f '(x)f '(x)f (x)0文檔實用標準文案 f'( x)f ( x)' f '(x)f ( x)0 g' g 0g '10(ln g)'(ln ex )'0( x)e x f'( x)f (x)g f''()f ()10（還原法行不通） f '(x)1' f 

10、9;( x)10g ' g0( x)e x f ' ( x)1例 1. f ( x)C0,1，在 (0,1)內可導， f (0)0, f ( 1)1, f (1)1，22證明：存在c(0,1) ，使得存在 c(0,1) ，使得f(c)c ，f'( )2 f ( ) 1 .證明：令( x)f ( x)x ，(0)0,1)11(,(1)11222Qc(使得(c) 0 ，即 f (c)c()(1)0，,1) (0,1)22 （分析） f '( x)2 f ( x)x1 f ( x)x'2 f ( x) x0令 h( x)e 2x f ( x)x ，h(0)h(

11、c)0存在 c(0,1)，使得 f '( )2 f ()1 .題型三：證明：含,.找三點分幾種情形：情形1：結論中只有f '( ), f '( )(兩句話)兩次Lagrange例 1. f ( x)C0,1，在 (0,1) 內可導， f (0)0, f (1)1，證明：存在c(0,1)，使得 f (c)1c ，存在,(0,1) ，使得 f '() f '() 1.證明： 令( x)f ( x) 1x ，(0)1,(1)1Q(0) (1) 0c (0,1) 使得 f (c) 1c(0, c),(c,1),使得 f'( )f (c)f (0)1ccc

12、f (1)f (c)cf '(，所以存在,(0,1)，使得 f '( ) f '( ) 1)1c1 c文檔實用標準文案例 2.f ( x)C0,1 ，在 (0,1) 內可導，f (0)0, f (1)1，證明：存在 c(0,1) ，使得 f (c)1，2存在,112 .(0,1) ，使得)f '(f '()證明：令 ( x)11(1)1f (x)，(0),，Q (0) (1) 02221c(0,1) ，使得f (c)2(0, c),(c,1)f (c)f (0)1,使得 f '( )，c2cf '(f (1)f (c)1,11)c，所以存

13、在(0,1) ，使得212(1 c)f '( )f '( )情形 2 ：結論中含有 ,，但是兩者復雜度不同。1).留復 雜 e 2 f ( )2 f ( )e 2f ( )'( 某個函數的導數 )(兩句話)2).哪個函數的導數看不出 來時2 f'( )f '( )f '( )1(12) 'x1).的情況用拉格朗日中值定理2).的情況用柯西中值定理例 1.f ( x)C a, b ，在 ( a,b)( a0) 內可導證明：存在,(a, b) ，使得 f '() ( a b) f '( ) .2證明： 令 F ( x)x2，

14、F '( x)2x 0 由柯西中值定理(a,b) 使得 f (b)f (a)f '() ，所以 f (b)f (a)( ab) f '( )b2a22ba2( a,b) 使得 f '( )f (b)f (a)ba，得證。例 2.f ( x)C a, b ，在 ( a,b)( a0) 內可導證明：存在 ,(a, b) ，使得 abf '( )2 f '() .文檔實用標準文案證明：令 F ( x)1， F '(x)10 由柯西中值定理xx2(a,b) 使得f (b)f (a)f'() ，所以 abf (b)f (a)2 f '

15、;()111baba2( a,b) 使得 f '( )f (b)f (a) ，得證。ba例 3. f ( x)C a, b ，在 ( a,b) 內可導 , f (a)f (b)1證明：存在,(a, b) ，使得 e f '()f ()1.(分析：“留復雜” e f'( )f () )證明：令xex fx，由拉格朗日中值定理( )( )(a,b) 使得eb f (b)ea f (a)e f '( )f () ，baQ f (a)eb f (b) ea f (a)ebeae f '( )f ( )f (b) 1,b abaebeaee f '()f

16、(),(a, b) ，即 e f '()f () 1.ba題型四：證明：拉格朗日中值定理的兩慣性思維。f ( x) 可導 f (b)f (a)f'( )ba見到 3 點兩次使用拉格朗日中值定理。例 1. lim f '(x)e ，且 lim f ( x)f (x 1)lim( xc) x, 則 cxxxxc解： f (x)f ( x 1)f '( )( x 1x) ，lim f '(x)e .x又因為 lim(xcx2cx cx 2ce2c xlimxe2c)lim(1)2cx cx cxxcxxcc12文檔實用標準文案例 2.f '(x)0,

17、f ''( x)0 ，且 dyf '( x0 ) x,yf (x0x)f (x0 ),x0 ，則dy,y,0 的大小關系。解：由拉格朗日中值定理知yf '( x0 )x,( x0x0x) ，Q f ''(x)0,f '(x) 單調遞增又 Q x0,f '( x0 )f '( )又因為 Q x0,f '( x0 )x f '( ) x, 0dyy例 3.f ( x) 在 (a,b) 內可導，且f '(x)M ， f (x) 在 (a, b) 內至少有一個零點。證明： f (a)f (b)M (ba)證

18、明： 1）因為 f ( x) 在 (a,b) 內至少有一個零點，所以c(a,b), f (c) 02）下邊用兩次拉格朗日中值定理f (c)f ( a)f '(1)(ca),f (b)f (c)f '(2 )(bc),12(a,c) ，(c,b)所以 f (a)f '(1 )(ca),1(a, c)f (b)f '( 2 )(bc),2(c, b)Q f '(x)M ，f (a)M (c a),1 ( a,c)f (b)M (bc),2( c, b) ，f (a) f (b) M (b a)例 4.f ( x) 在 (a,b) 內二階可導，有一條曲線yf

19、( x) ，如圖文檔實用標準文案證明：(a,b) ，使得 f ''( )0證明： 1 ） 1 ( a, c),f (c)f (a)f (b)f (c)2(c,b) 使得 f '( 1 )a, f '( 2 )ccb因為 A,C , B 共線，所以 f '(1 )f '( 2 ) ，所以由羅爾定理知( 1 , 2 ) ( a, b) ，使得f ''( ) 0f (c)f (a)f '( 1 )( ca), 1( a, c)題型五： Taylor公式的常規證明。f ( x)f ( x0 )f '(x0 )( xx0 )

20、f (n ) ( x0 ) (xx0 ) nf ( n 1) ( ) ( x x0 )n 1n!(n 1)!f '(c), x0f ( c)(無f '(c), x ccx0 中點端點x端點中點任一點例 1.f '''(x)C 1,1， f ( 1)0, f '(0)0, f (1) 1證明：存在( 1,1)，使得 f'''( )3.（題外分析：考慮什么時候該用泰勒公式什么時候不用！f ( n) ( ) (n2) 時考慮，但是f ( n) ( )0 為題型一，考慮羅爾定理n 2 時比較尷尬， 有時候用拉格朗日中值定理， 有時

21、候不用， 該怎么考慮呢，分情況：f ( a), f (b), f (c) lagrange決f''( )f '(a), f '(b), f '(c)兩次拉格朗日中值定理解lagrangef '(a), f '(b), f '(c)taylor）證明： f ( 1) f (0)f ''(0) ( 1 0)2 f '''(1)( 1 0)3, 1 ( 1,0)，2!3!文檔實用標準文案f (1)f (0)f ''(0) (10)2f'''( 2 ) (10

22、)3,2(0,1)2!3!0f (0)f''(0)f '''( 1 ) ,1(1,0)261f (0)f ''(0)f'''( 2) ,2(0,1)26兩個式子相減得：f '''(1 )f '''( 2 )6Q f'''(x)C1,2 ，f'''(x) 在 1,2 上有 m, M，則2mf '''( 1) f '''( 2 ) 2Mmf '''(1)f'''(2