1、第二章習題解答一、習題解芥1用二分法求解卜列方耍求誤差不超過io'5(1) x-lnx=2 在區"jr，4內的根：(2) x-l = 0在區間0, 1內的根:(3) ? + 4?-10= 0在區間1, 2內的根 解：(1) xis = 3.14618c二分法稈序2-1 a=2;b=4:k=0： f=lnline(x-log(幻29; ya=t(a); while (iva)>0.0()<)0重 xo=.5*( a+lh;o=r( x<0; ifya*y0<0 b=xo; else a=xo;ya=y(); end k=k+l; end format l

2、ong disp(xojc)(2)0.567146。(利用上面fi!序修改前兩行)(3> xi7= 1.3652262證明方柺1 -x-sin.r=o在區fujo. 1上打-根。使川二分法求不人k -xlo'4的根況二分多少次？證明 令/u)=l-x-sinx則 /(0)= l /(l>=-sin l f 是故所給方程在區m【o. 1】上必有根*又因為fx) = -1-cosx所以，函數肋在區問0, 1內單減.故，方程在區間0, 1內只有-個根.利用二分法收斂定理，巾<10-2 2得y 104,所以二分法求根至少® 14次二分計w能滿足誤左®求.

3、3比較以卜w種方讓求/+ 10a-2=0的擬到三位小數所®嬰的11釕吊。 (1) 在區間0, 1】內用二分法：(2)用迭代法xff+l=(2-e1-).取初位 xo=o.解：(1二分認迭代11次.xu = 0.090.(利川第101w序修改前w行) (2不動點迭代5次，x5= 0.0905。不動點迭代r序x(>=o;k=o;er=l; fl=inlinec(2.exp(x)/10,);while erxhmmhxl=fi(xo);er=abs(xl-xo);xo=xl;k=k+l;enddisp（ x 4給出求人=2+72+-+的迭代格式，并證明luux = 2。解取初偵：x=

4、 42 .迭代格式：xn41 = 2 + xn （h=lt 2，）s先證明數列有匕界，s然,xi 2.沒對人有為2成立,則對于（*+1）有由數學歸納法知，對任意n有知2.故數列w上界。 現證明數列護增* ill知,數列單調増加。由極限定理，該數列必釘極限,沒為/, illn->®x = v2+ x"化為二次方w,求出兩個根分別為：-1和2,舍i負銀，得.f=2 .5 取.¥0 = 0.5,求方程x = e x的根.分別用簡中.迭法和aitken加速方法求解，®求誤 用簡單迭代法，迭代公式為jo =0.5，xki = e a （k = o. 1，）計

5、算結果to卜0.606530650.545239210.579703090.560064620.571172140.564362940.568438040.566409450.567559630.566907210.567277190.567067350.567186360.56711s860.567157140567135430.567147740.56714076當 k-17 時，|xi8-xi7|-|0.56714076 0.56714774|c 10 故取 x 0.56714076matlab w序如卜x0=0.5;er=l;k=0: while er>0.00001x=exp(

6、-xo)： er=abs(x-xo); xo=x；kkl; end用aitken加速方法，迭代公式為仍取初=0.5*計算數據如下k123xk0.567623870 567143310.56714329氣 k=2 時，|-a：2| = |0.56714329 0.5671433110' 故取/ & 0.56714329hfatlab 序如卜x=o.5;er=l;k=o;while er>o.o(mm)ly=exp(-x);z=exp(-y); xo=z-( y-z)a 2/( z-2，y+x |; er=abs(x-xo);x=xo:k=k十 1; u(k)=x; end6

7、成川1頓迭代讓j方w= 0, v出求立方根的迭代公式，并w論收斂階*令則1.頓選代公式x'-a 2 a"3.v；3 "3x；故迭代閑數為ifu pw =爐(x)= 2_rax將.(=仏代入.得v(x)= 0，(px')= 2ia故用牛頓迭代法求解方?-« = 0. s出求立方報的迭代足二階收斂。7用牛銪迭代法求解leonardo方稃/ + 2.v2十10 j-20 = 0.盟求| .分+1-x*| < 10人 解：令凡0 = /+2乂+10義-20,則't頓迭代公式.< + 2.v； + 10.vff - 20y r n 3x;

8、 + 4.vw + 10容w驗證f()f(2)<0.故方w在1. 2區f"j內至少仃一hi収初tflro=l.計訂枯果如卜 1.41176471.36933641.36s80811.3688081取初ffix(>=2.計鋅鈷果如卜1.46666661.37151201.368s10213688081取初ffi.vo=1.5.計算結果如卜1.3736263136s814s1.36ss081巾此4知，方稈在區叫1，2內打一根，it近似仿為 x 1.3688081 h-： hl matlab求多項式零點命令rootsdl 2 1020)可得該/w的飛個根近似ffi.q =-1.

9、6844 +3.4313i>=-1.6s44 3.431 允，x3= 13688s已知方e .?_?_! = 0在.vo = 1.5附近介根，試判斷k列迭代格式的收斂性。 (1-vn41=l + l/x；： (2) xn+1=l/7tti： (3) an41 =-解:(1)(p(x)= 1 + 1/.c. (a) = -2/x3.在 xq = 1.5 附近有| 麥成立.故迭 代格式收斂： (2) x)=l/v7t. 小 廠1 在 x0= 1.5 附近打i 爐'(.r)p 1 成、z.故迭代格式+收斂:(3)m=3jl+xl 咖x0=l5 附報律1 成立.故迭代格式收斂，9 hv用

10、牛頓迭代iir-zjw/(x)= l-o.好出求t方根的迭代公式，并川此公式計算師.w為廠(x) =與，所以中頓逃代公式為2 " 2a取初偵介=11，迭代計算4次后得丄 0.7130434782608710.72378910023906 10.7238052947269310.72380529476361取ths 10.7238052947己經得到12位旮效數字。10證明由迭代格axn+i =h1-產生的醐列對酗證明：對迭代格式，= -(x； + 2).等式兩端冋并進行配方，得-v2 = (xfl-v2)2同押可得v2=(x.+v2r將i.而兩式w除，得x"44 + v2

11、(xfl + v2)'- v2(xn - v2)2 +v2 + v2)2-r0-vivo +v2則有對仃®的xo>o- fiir ll<i.故迭代序列收5j(r-v2。11 解乃程 12-3又 + 2cos.r = 0 的迭代格式j-vn+1 = 4 + -|cosxfl（1）證iw:對任意xqer.均ulim= x* （為方程的根; n-od（2収-r0 = 4. ih此迭代法求方ft銀的近似tfi.小超過10人 3）此迭代法的收斂階fi多少？2 2解：(1)令汐(.x) = 4 + ycos.r.則 (.v) = - sin r* 故對任怠.ve/?.均-fj | q)x) < 1所以迭代過w收斂，即對什總e/e,均n inn .rw = .f。（3） 取利